Bonjour

Tu n'as aucune autre précision ou question intermédiaire ?

Quel est un polynôme annulateur de ton endomorphisme ?

Non la question es independantes

Alors on ne peut rien conclure. En plus, ça dépend aussi du corps (K) utilisé.

Quel est un polynôme annulateur évident ici ?
Quelle est la définition du polynôme minimal ?
Quel est le lien entre polynôme minimal et diagonalisabilité ?

Voila ce qui 'est ecrit dans l'enoncé ( c'est la seule donnée )

Soit IK un corps commutatif et M_n(K) l'espace vectoriel sur IK des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans IK

Bonjour,

Donne l'énoncé complet, si tu veux avoir une aide pertinente.

Soit IK un corps commutatif et Mn(K) l'espace vectoriel sur K des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans K
1.   Montrer que toute matrice A ∈ Mn(K) ne possedant pas 0 comme valeur propre est
inversible et donner l'expression de son inverse.
2.  Montrer qu'une matrice nilpotente A ∈ Mn(K) est diagonalisable si et seulement si elle
est nulle.
3.   Soit A ∈ Mn(C) telle que Aⁿ= I_n où I_n est la matrice identité dans Mn(K). Montrer que A est diagonalisable.
J'ai deja repondu au deux premiere question

Donc la question n'est pas celle que tu as posée dans ton premier message.

Je répète ma question : quel polynôme évident est annulateur ?

Je sais pas monsieur 😅

Réfléchis mieux. , c'est la même chose que .

Pas la peine de m'appeler monsieur, j'ai que 20 ans ça me vieillit

On applique l identité remarquable
A³-I³= (A-I)(A²+A+I)=0
Mais comment on peut obtenir A ?

Ce n'est pas ce qu'on te demande.
Relis la question 3.

Pardon je me suis trompé dans l'ecriture de l'ennoncé
La forme correcte du question est :
Soit A ∈ Mn(C) telle que A³= I_noù In est la matrice identité dans Mn(K). Montrer que A est diagonalisable.

OK.
Tu n'as toujours pas répondu clairement sur la question d'un polynôme annulateur pour .

J'arrive pas a le trouvé monsieur

Comment indiqué monsieur le polynome annulateur n

est la même chose que .
Ne vois-tu pas de polynôme annulateur pour ?

A³-I_n³ =0
(A-I)(A²+A+I)
Alors P(X)= (X-1)(X²+X+1) est une polynome anulateur de A

Inutile de passer par une factorisation (d'ailleurs incomplète puisqu'on est sur ). est polynôme annulateur.
Tu devrais pouvoir en déduire que est diagonalisable sur .