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Espace vectoriel

Posté par
Maki001
11-01-22 à 11:09

Bonjour à toutes et à tous  .J'ai besoin de votre aide sur cet exercice.
Soit l'application g: 3 ,(x,y,z) x-y+2z.
1. Déterminer kerg puis donner une base de kerg.
2.Determiner Img .quel est le rang de g?

Posté par
sanantonio312
re : Espace vectoriel 11-01-22 à 11:14

Bonjour,
Dans 3, quel objet est-il représenté par une équation du type ax+by+cz+d=0 ?

Posté par
Maki001
re : Espace vectoriel 11-01-22 à 11:18

Kerg= {(x,y,z) 3/g(x,y,z)=0 }
x-y+2z=0
x=y-2z
(x,y,z)= (y-2z,y,z) = y(1,1,0) + z(-2,0,1)
kerg=Vect{(1,1,0), (-2,0,1)}
Comme ces deux vecteurs sont libres ils forme une base de kerg.

Posté par
Maki001
re : Espace vectoriel 11-01-22 à 11:23

Équation cartésienne d'un plan .je crois.

Posté par
Maki001
re : Espace vectoriel 11-01-22 à 11:23

Mon problème c'est au niveau de la question 2.

Posté par
Maki001
re : Espace vectoriel 11-01-22 à 11:31

2,Img= {(x') (x,y,z,) 3/f(x,y,z,)= (x')}

x-y+2z= x'

Posté par
Maki001
re : Espace vectoriel 11-01-22 à 11:32

C'est ici que je n'arrive pas à passer.

Posté par
GBZM
re : Espace vectoriel 11-01-22 à 11:47

Bonjour,

On a une application \R-linéaire qui arrive dans \R.
Quelles possibilités a-t-on pour son image ?

Posté par
Maki001
re : Espace vectoriel 11-01-22 à 12:11

Avoir un seul vecteur ?

Posté par
Maki001
re : Espace vectoriel 11-01-22 à 12:26

Pour l'image j'ai trouvé le vecteur(1,-1,2)
Mais je ne suis pas convaincu

Posté par
GBZM
re : Espace vectoriel 11-01-22 à 13:59

Oh la, il faut revenir aux fondamentaux.
Quelle est la définition de l'image d'une application linéaire ?
Soit f : E\to F une application linéaire entre espaces vectoriels. Que peut-on dire de l'image de f ? Quelles sont ses propriétés ? Est-ce que ça peut être un sous-ensemble quelconque de F ?

Posté par
Maki001
re : Espace vectoriel 11-01-22 à 15:01

Definition
Si f : E → F est une application linéaire, son image, notée Imf est
l'ensemble des vecteurs de F de la forme f(v) avec v ∈ E :
Imf := {f (v)|v ∈ E}.

Posté par
GBZM
re : Espace vectoriel 11-01-22 à 15:21

L'image d'une application linéaire peut-elle être n'importe quel sous-ensemble de F ? Sinon, quel type de sous ensemble est-ce ?

Posté par
Maki001
re : Espace vectoriel 11-01-22 à 16:17

Non. C'est le sous ensemble contenant les images de tous les éléments de E.

Posté par
GBZM
re : Espace vectoriel 11-01-22 à 16:25

Est que l'image contient 0 ? Est-elle stable par addition ? Est-elle stable par multiplication par un scalaire ?
En un mot, que peut-on dire d'elle ?

Posté par
Maki001
re : Espace vectoriel 11-01-22 à 17:18

On peut dire que c'est un sous groupe de F.

Posté par
GBZM
re : Espace vectoriel 11-01-22 à 18:00

Il faut vraiment te tirer les vers du nez ! Un sous-groupe additif stable par multiplication par les scalaires, c'est quoi ?

Posté par
Maki001
re : Espace vectoriel 11-01-22 à 18:27

Un espace vectoriel ?

Posté par
GBZM
re : Espace vectoriel 11-01-22 à 18:35

Franchement, on ne t'a jamais dit dans ton cours que l'image d'une application linéaire est un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée ??

Posté par
Maki001
re : Espace vectoriel 11-01-22 à 19:23

A vrai dire c'est un concours que je prépare ça fait longtemps que j'ai laissé les études. C'est la vraie raison de mes tâtonnements.

Posté par
Maki001
re : Espace vectoriel 11-01-22 à 19:25

Maintenant comment faut-il faire pour trouver l'image ?

Posté par
GBZM
re : Espace vectoriel 11-01-22 à 21:05

Quels sont les \R-sous-espaces vectoriels de \R ?



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