Bonsoir à tous,
On me propose ∑ , la surface d'équation dans un repère orthonormé O,ex,ey,ez :
17x2 +2y2 +17z2−8xy−2xz−8yz−36x+36z = 0
a) Écrire la matrice symétrique S de la forme quadratique q associée.
b) Déterminer le signe des valeurs propres à l'aide de l'algorithme de Gauss. Rechercher une base orthonormée de diagonalisation de S.
c) Donner un repère orthonormé réducteur pour la surface ∑ et en donner sa nature.
Mes recherches :
a. Forme quadratique :
q(X) = 17x2 +2y2+17z2−8xy−2xz−8yz = 0
Matrice associée :
b. Je ne sais comment commencer. Dois je pendre ma partie quadratique et éliminer les variables pour n'en avoir plus qu'une ? Je survole ce principe sans le comprendre. Dois-je diagonaliser ma matrice pour avoir une nouvelle base ? Dois-je utiliser la formule q(X)=tXAtAX ?
Merci de votre aide.
Bonjour
ton énoncé t'impose pourtant la méthode : algorithme de Gauss
17x2 +2y2 +17z2−8xy−2xz−8yz = 2y² -8xy - 8yz + 17x² + 17z²-2xz = 2(y - 2x -2z)²-2(2x+2z)²+ 17x² + 17z²-2xz etc...
Oui et je n'ai pas entièrement compris cet algorithme, c'est pour cela.
Actuellement je suis rendu a une expression comme celle ci pour avoir le signe de mes valeurs propres :
Pour avoir ça, j'ai exprimé puis .
Je me suis recorrigé.
Je cherche toujours .
Ais-je maintenant le signe de mes valeurs propres ? + et + ?
tu tiens absolument aux fractions ? j'avais commencé par la variable y pour les éviter ....
17x² +2y² +17z²-8xy-2xz-8yz = 2y² -8xy - 8yz + 17x² + 17z²-2xz = 2(y - 2x -2z)²-2(2x+2z)²+ 17x² + 17z²-2xz
=2(y - 2x -2z)² - 8x²-8z²-16xz+ 17x² + 17z²-2xz
=2(y - 2x -2z)² +9x²+9z²-18xz
=2(y - 2x -2z)² +9(x-z)²
et là tu as le signe de tes valeurs propres ...
dans ce que tu as fait, il reste à tenir compte des termes "oubliés" en x et y, quand même
le principe de l'algorithme, c'est de choisir une variable, par exemple x, de regrouper tout ce qui la contient sous la forme Ax² + 2AxB(y,z,...) + C(y,z,...) où B est une forme linéaire et C une forme quadratique
dans Ax² + 2AxB(y,z,...) on reconnait alors le début du développement de A(x + B(y,z,...))²
du coup Ax² + 2AxB(y,z,...) + C(y,z,...) = A(x + B(y,z,...))² -A(B(y,z,...))² + C(y,z,..) = A(x + B(y,z,...))² + une forme quadratique qui ne dépend plus que des n-1 autres variables : on recommence.
Ok ... j'ai mis du temps a capter.
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