Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau maths spé
Partager :

Espaces Euclidiens - Forme Quadratique

Posté par
Leododo
14-03-16 à 18:47

Bonsoir à tous,

On me propose ∑ , la surface d'équation dans un repère orthonormé O,ex,ey,ez :

17x2 +2y2 +17z2−8xy−2xz−8yz−36x+36z = 0

a) Écrire la matrice symétrique S de la forme quadratique q associée.
b) Déterminer le signe des valeurs propres à l'aide de l'algorithme de Gauss. Rechercher une base orthonormée de diagonalisation de S.
c) Donner un repère orthonormé réducteur pour la surface ∑ et en donner sa nature.


Mes recherches :

a. Forme quadratique :

q(X) = 17x2 +2y2+17z2−8xy−2xz−8yz = 0

     Matrice associée :

\begin{pmatrix} 17&-4&-1\\ -4&2&-4\\ -1&-4&17 \end{pmatrix}

b. Je ne sais comment commencer. Dois je pendre ma partie quadratique et éliminer les variables pour n'en avoir plus qu'une ?  Je survole ce principe sans le comprendre. Dois-je diagonaliser ma matrice pour avoir une nouvelle base ? Dois-je utiliser la formule q(X)=tXAtAX  ?

Merci de votre aide.

Posté par
Leododo
re : Espaces Euclidiens - Forme Quadratique 14-03-16 à 20:30

Je tente d'éliminer les variables ...

17z²-2xz-8yz = 0

17[z^2- \frac{2}{17} z(x-8y)] = 0

17[z^2- \frac{2}{17} z(x-8y)+(\frac{2}{34})^2-(\frac{2}{34})^2] = 0
...

17[z+ (\frac{1}{17} z(x-8y))^2-\frac{245}{578} ] = 0

17z+\frac{z}{17} (x-8y)^2-\frac{245}{578}  = 0

Cela doit pas être ça. Je re-cherche.

Posté par
Leododo
re : Espaces Euclidiens - Forme Quadratique 14-03-16 à 20:57

Finalement, j'arrive à ça :

17\Big((z\!-\!\frac{x}{17}\!)^2-\!\frac{x+17y}{289}\!\Big)


car ax²+bx+c = a\Big((X\!+\!\frac{b}{2a}\!)^2-\!\frac{b^2-4ac}{4a^2}\!\Big)

Mais maintenant je suis bien embêté pour supprimer mon autre variable ...

Posté par
lafol Moderateur
re : Espaces Euclidiens - Forme Quadratique 14-03-16 à 22:44

Bonjour
ton énoncé t'impose pourtant la méthode : algorithme de Gauss

17x2 +2y2 +17z2−8xy−2xz−8yz = 2y² -8xy - 8yz + 17x² + 17z²-2xz = 2(y - 2x -2z)²-2(2x+2z)²+ 17x² + 17z²-2xz etc...

Posté par
Leododo
re : Espaces Euclidiens - Forme Quadratique 14-03-16 à 23:05

Oui et je n'ai pas entièrement compris cet algorithme, c'est pour cela.

Actuellement je suis rendu a une expression comme celle ci pour avoir le signe de mes valeurs propres :

(2y^2+2xz) +  \frac{1}{17}(17z\!-\!x\!-\!4y)^2-\frac{1}{17}x^2-\frac{8}{17}xy+\frac{16}{17}y^2 +  \frac{1}{17}(17x\!-\!z\!-\!4y)^2-\frac{1}{17}z^2-\frac{8}{17}yz+\frac{16}{17}y^2

Pour avoir ça, j'ai exprimé 17z^2-2xz-8yz puis 17x^2-2xz-8xy.

Posté par
Leododo
re : Espaces Euclidiens - Forme Quadratique 14-03-16 à 23:16

Citation :
17x2 +2y2 +17z2−8xy−2xz−8yz
= 2y² -8xy - 8yz + 17x² + 17z²-2xz
D'accord.
Citation :
= 2(y - 2x -2z)²-2(2x+2z)²+ 17x² + 17z²-2xz
J'essaye de capter mais je n'ai pas compris l'algorithme de Gauss. Dans mon cours, c'est sous la forme d'un exemple où je remarque l'utilisation des formes canoniques. J'ai essayé plusieurs sites afin de comprendre cet algorithme ...

Tout ce que j'ai utilisé à présent c'est la forme canonique.

Posté par
Leododo
re : Espaces Euclidiens - Forme Quadratique 15-03-16 à 10:04

Je me suis recorrigé.
Je cherche toujours 17z^2-2xz-8yz .

= \frac{1}{17}(17z\!-\!x\!-\!4y)^2-\frac{1}{17}x^2-\frac{8}{17}xy+\frac{16}{17}y^2
= \frac{1}{17}(17z\!-\!x\!-\!4y)^2+\frac{1}{17}(-x+4y)^2
= \frac{1}{17}[(17z\!-\!x\!-\!4y)^2+(-x+4y)^2]

Ais-je maintenant le signe de mes valeurs propres ? + et + ?

Posté par
lafol Moderateur
re : Espaces Euclidiens - Forme Quadratique 15-03-16 à 13:00

tu tiens absolument aux fractions ? j'avais commencé par la variable y pour les éviter ....

17x² +2y² +17z²-8xy-2xz-8yz = 2y² -8xy - 8yz + 17x² + 17z²-2xz = 2(y - 2x -2z)²-2(2x+2z)²+ 17x² + 17z²-2xz
=2(y - 2x -2z)² - 8x²-8z²-16xz+ 17x² + 17z²-2xz
=2(y - 2x -2z)² +9x²+9z²-18xz
=2(y - 2x -2z)² +9(x-z)²

et là tu as le signe de tes valeurs propres ...

Posté par
lafol Moderateur
re : Espaces Euclidiens - Forme Quadratique 15-03-16 à 13:08

dans ce que tu as fait, il reste à tenir compte des termes "oubliés" en x et y, quand même

le principe de l'algorithme, c'est de choisir une variable, par exemple x, de regrouper tout ce qui la contient sous la forme Ax² + 2AxB(y,z,...) + C(y,z,...) où B est une forme linéaire et C une forme quadratique

dans Ax² + 2AxB(y,z,...) on reconnait alors le début du développement de A(x + B(y,z,...))²

du coup Ax² + 2AxB(y,z,...) + C(y,z,...) = A(x + B(y,z,...))² -A(B(y,z,...))² + C(y,z,..) = A(x + B(y,z,...))² + une forme quadratique qui ne dépend plus que des n-1 autres variables : on recommence.

Posté par
Leododo
re : Espaces Euclidiens - Forme Quadratique 15-03-16 à 13:59

Ok ... j'ai mis du temps a capter.

lafol @ 15-03-2016 à 13:08

Le  principe de l'algorithme, c'est de choisir une variable, par exemple x, de regrouper tout ce qui la contient sous la forme Ax² + 2AxB(y,z,...) + C(y,z,...) où B est une forme linéaire et C une forme quadratique.


Mon ennuie se situe à partir de ce passage :
2y²-8xy-8yz+17x²+17z²-2xz

Tu transformes  2y²-8xy-8yz  en  2(y-2x-2z)²-2(2x+2z)²
Je ne voie pas l'identité que tu utilises, je pensais que tu faisais 2 (a²-b²) mais non.

Posté par
lafol Moderateur
re : Espaces Euclidiens - Forme Quadratique 15-03-16 à 20:48

j'utilise Aa² + 2Aab = A(a+b)² - Ab²

ici A = 2, a = y et b = -2x-2z (et on sait que deux nombres opposés ont le même carré, donc on ne s'enquiquine pas avec les "moins" dans (2x+2z)²)



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !