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La réduction en carrés de Gauss

Posté par
Ennydra 10-03-16 à 18:52

Bonjour,

J'aimerais que quelqu'un puisse m'expliquer ceci : la réduction en carré de Gauss.
Honnêtement, je ne la comprends pas lorsqu'il y a des carrés au départ.

Par exemple :

q(x)=2x_1x_2-6x_1x_3-6x_4x_2+2x_4x_3=\dfrac{1}{2}(x_1+x_2-3x_3-3x_4)^2-\dfrac{1}{2}(x_1-x_2+3x_3-3x_4)^2-4(x_3+x_4)^2+4(x_3-x_4)^2.

Ou q(x)=3x_1x_2+2x_1x_3+x_2x_3, je les comprends et j'arrive à les réduire, en regroupant d'abord les x_1 puis ensuite les x_2...

Mais avec un carré, je n'arrive pas à comprendre :

q(x)=16x_1^2-16x_2^2+5x_3^2-16x_1x_3+16x_2x_3+2x_3x_4 \\ \\ =16(x_1-\dfrac{1}{2}x_3)^2-4x_3^2-16x_2^2+5x_3^2+16x_2x_3+2x_3x_4 \\ \\ =16(x_1-\dfrac{1}{2}x_3)^2-16x_2^2+x_3^2+16x_2x_3+2x_3x_4 \\ \\ =16(x_1-\dfrac{1}{2}x_3)^2-16(x_2-\dfrac{1}{2}x_3)^2+4x_3^2+x_3^2+2x_3x_4 \\ \\ =16(x_1-\dfrac{1}{2}x_3)^2-16(x_2-\dfrac{1}{2}x_3)^2+5x_3^2+2x_3x_4 \\ \\ =16(x_1-\dfrac{1}{2}x_3)^2-16(x_2-\dfrac{1}{2}x_3)^2+5(x_3+\dfrac{1}{5}x_4)^2-\dfrac{1}{5}x_4^2 \\ \\ =(4x_1-2x_3)^2-(4x_2-2x_3)^2+(\sqrt{5}x_3+\dfrac{1}{\sqrt{5}}x_4)^2-(\dfrac{1}{\sqrt{5}}x_4)^2 \\

Je ne comprends vraiment pas comment ils ont procédé, et ça me bloque vraiment dans un grand nombre d'exercices...
Je ne comprends pas le passage de la ligne 1 à la ligne 2, de la ligne 3 à la ligne 4, et de la ligne 5 à la ligne 6...

Je devais également effectuer une réduction de Gauss et déterminer noyau, rang et signature de la forme quadratique suivante :

q(x)=q(x,y,z)=x^2+x^2-az^2+3xy-bxz+yz, suivant les valeurs a et b réelles.

J'aimerais vraiment que quelqu'un m'explique les étapes incomprises ci-dessus, de manière claire, je serais vraiment infiniment reconnaissante à celui ou celle qui prendra le temps de m'aider là-dessus, c'est un point qui me bloque systématiquement.

J'ai essayé d'être le plus concise possible, je me suis relue, j'espère que certaines fautes ne se sont pas glissées...

Merci d'avance,
Bonne fin de journée.

Posté par
carpediemre : La réduction en carrés de Gauss 10-03-16 à 20:34

salut

il suffit de connaître la forme canonique d'un trinome du second degré ...

q(x, y, z, t) = 16x^2 - 16y^2 + 5z^2 - 16xz + 16yz + 2zt = 16(x^2 - xz) + ... = 16(x^2 - 2 x \dfrac 1 2z + \dfrac {z^2}4 - \dfrac {z^2}4) + ... = 16 (x - \dfrac z 2)^2 - 4z^2 + ...

et on recommence avec ce qui reste ....

Posté par
lafol Moderateurre : La réduction en carrés de Gauss 10-03-16 à 22:49

Bonjour
en d'autres termes, tu choisis UNE variable, par exemple x, tu regroupes tout ce qui contient cette variable, et tu remarques que tu as du ax², et du 2ax(qqch) : c'est le début du développement d'un truc du genre a(x + qqch)². tu ajoutes et enlèves ce qu'il faut pour avoir aussi le terme a(qqch)² et pouvoir ainsi regrouper tous tes x dans l'expression a(x + qqch)², et ce qui reste ensuite ne contient plus du tout de x : tu recommences avec une autre variable, et ainsi de suite jusqu'à épuisement des combattants

Posté par
Recomic35re : La réduction en carrés de Gauss 11-03-16 à 00:02

C'est marrant, d'habitude les étudiants n'ont pas trop de difficulté à "compléter les carrés" pour éliminer une variable et peinent plutôt à faire correctement l'élimination simultanée de deux variables quand il n'y a pas de carrés.

Posté par
lafol Moderateurre : La réduction en carrés de Gauss 11-03-16 à 00:31

je me faisais la même réflexion !

Posté par
luzakre : La réduction en carrés de Gauss 11-03-16 à 08:06

Bonjour !
Même remarque que les deux messages précédents.
Peut-être faut-il rappeler à Ennydra qu'il faut  traiter les termes carrés en priorité et travailler sur les couples de variables que s'il n'y a plus de termes carrés.
Et cette priorité est remise en cause à chaque étape puisque des carrés peuvent réapparaître.

Posté par
Ennydrare : La réduction en carrés de Gauss 11-03-16 à 19:07

D'accord, merci pour vos réponses, je vais tenter de réduire certaines expressions

Posté par
carpediemre : La réduction en carrés de Gauss 11-03-16 à 19:37

Recomic35 @ 11-03-2016 à 00:02

C'est marrant, d'habitude les étudiants n'ont pas trop de difficulté à "compléter les carrés" pour éliminer une variable et peinent plutôt à faire correctement l'élimination simultanée de deux variables quand il n'y a pas de carrés.


visiblement une bête application d'une formule où on remplace une expression par une autre sans aucune réflexion ....

Posté par
lafol Moderateurre : La réduction en carrés de Gauss 11-03-16 à 19:45

possible aussi que l'enseignant ait comme nous l'expérience du cas "sans carré" qui passe moins bien, et du coup l'explique très en détail, sauf que depuis la dernière réforme, il faut bien se rendre à l'évidence : la plupart des jeunes arrivent dans le supérieur sans maîtriser ce qu'on pensait être un bagage acquis en sortant de collège il y a encore cinq ans : les identités remarquables ne sont plus remarquées, par exemple, et le moindre calcul algébrique prend des heures, et fait par sa longueur perdre toute idée du fil conducteur que l'étudiant était censé suivre ....
Du coup il faut qu'on se mette à expliquer très en détail le cas avec carrés aussi, la mise sous forme canonique n'allant pas du tout de soi ...

Posté par
Ennydrare : La réduction en carrés de Gauss 14-03-16 à 20:40

Avec deux variables j'y arrive maintenant (effectivement, grâce à la forme canonique).
Avec trois variables, je n'y arrive toujours pas.

Par exemple :
x^2+y^2-az^2+3xy-bxz+yz

Je vais commencer à regrouper les x :
x^2+x(3y+bz)+...
Mais comment faire ensuite...

Si c'était x^2+3xy, je saurais facilement le faire.

Je connais l'égalité \dfrac{ab}{4}=(a+b)^2-(a-b)^2. Elle n'intervient pas pour le moment...

Posté par
carpediemre : La réduction en carrés de Gauss 14-03-16 à 20:47

je ne vois pas où est le pb ...

x^2 + x(3y + bz) = x^2 + 2x \frac 1 2 (3y + bz) + \dfrac 1 4 (3y + bz)2 - \dfrac 1 4 (3y + bz)^2 = ...

Posté par
Ennydrare : La réduction en carrés de Gauss 14-03-16 à 22:40

Merci.

Donc on a bien (x+\dfrac{3y}{2}+\dfrac{bz}{2})^2-\dfrac{(3y+bz)^2}{4}+y^2+az^2+yz.

Je vais essayer de terminer

Posté par
Ennydrare : La réduction en carrés de Gauss 15-03-16 à 20:24

Je up :

J'avais trouvé (en corrigeant les fautes de signe du poste précédent) :

(x+\dfrac{3y}{2}-\dfrac{bz}{2})^2-\dfrac{1}{4}(3y-bz)^2+y^2-az^2+yz = (x+\dfrac{3y}{2}-\dfrac{bz}{2})^2-\dfrac{5}{4}y^2+(\dfrac{3b}{2}+1)yz-(\dfrac{b^2}{4}+a)z^2

Pour développer selon y, je bloque :

J'ai trouvé :
-\dfrac{5}{4}y^2+(\dfrac{3b}{2}+1)yz = -\dfrac{5}{4}(y-\dfrac{(3b+2)z}{5})^2+\dfrac{(\dfrac{3b}{2}+1)^2z^2} {5} = -\dfrac{5}{4}(y-\dfrac{(3b+2)z}{5})^2+ \dfrac{\dfrac{9b^2+12b+4}{4}z^  2}{5}

Ai-je fait une erreur ? Je me demande comment je vais pouvoir simplifier tout ça...

Posté par
carpediemre : La réduction en carrés de Gauss 15-03-16 à 20:31

1/ pourquoi développer (3b/2 + 1)^2 ?

2/ (a/b)/c = ... ?

Posté par
lafol Moderateurre : La réduction en carrés de Gauss 15-03-16 à 20:50

indice : diviser par un nombre, c'est multiplier par son ?

Posté par
Ennydrare : La réduction en carrés de Gauss 15-03-16 à 20:52

Oui par son inverse, mais même avec le tout multiplié par (1/5) je n'arrive toujours pas à simplifier l'expression (la dernière)....

Posté par
lafol Moderateurre : La réduction en carrés de Gauss 15-03-16 à 21:11

n'oublie pas le premier point de Carpi

Posté par
Ennydrare : La réduction en carrés de Gauss 16-03-16 à 12:37

Donc je reprends :

-\dfrac{5}{4}y^2+(\dfrac{3b}{2}+1)yz = -\dfrac{5}{4}(y-\dfrac{(3b+2)z}{5})^2+\dfrac{(\dfrac{3b}{2}+1)^2z^2} {5}

Mais je reste bloquée sur le dernier terme, que je n'arrive pas à simplifier davantage...

On a bien \dfrac{1}{5}((\dfrac{3b}{2}+1)^2 z^2)=\dfrac{1}{5}((\dfrac{3b+2}{2})^2 z^2)

J'ai l'impression qu'il ne faut pas chercher à développer plus, mais ça m'aurait simplifié la vie pour les calculs suivants...

Posté par
carpediemre : La réduction en carrés de Gauss 16-03-16 à 17:21

indépendamment de l'exactitude des calculs ::

il est évident que j'écris ::

-\dfrac{5}{4}y^2+(\dfrac{3b}{2}+1)yz = -\dfrac{5}{4}(y-\dfrac{(3b+2)z}{5})^2+\dfrac{(\dfrac{3b}{2}+1)^2z^2} {5} = -\dfrac 1 {20} (5y - (3b - 2)z)^2 + \dfrac 1 {20}((3b + 2)z)^2

tellement plus agréable à lire, manipuler ... et surtout écrire proprement ...


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