Niveau Licence Maths 1e ann

Maximum d'une fonction de trois variables

Posté par
Hibou2014 14-03-16 à 18:24

Bonjour,

Soit f la fonction de $\mathbb{R}^{3*}$ dans $\mathbb{R}$ qui à $(x,y,z)$ associe $\frac{4 \pi x y z}{3}$ .

La fonction f admet-elle un maximum sur $\mathbb{R}^{3*}$ ?

Je choisis la norme $||x||_1 = \sum_{i = 1}^3 |x_i|$ équivalente à toutes les autres normes sur $\mathbb{R}^{3*}$ car $\mathbb{R}^{3*}$ est de dimension finie.

On a donc $f(x,y,z) \geq 3 min(|x|, |y| , |z|)$

Or $3 min(|x|, |y| , |z|)$ tend vers l'infini lorsque $|x|$ , $|y|$ et $|z|$ tendent vers l'infini.

Donc f n'est pas bornée sur $\mathb{R}^{3*}$ .

Est-ce juste?

Merci d'avance.

Posté par re : Maximum d'une fonction de trois variables 14-03-16 à 19:14

salut

pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple ...

$f(x, y, z) = \dfrac 4 3 \pi xyz$

$f(\dfrac 1{\pi}, \dfrac 3 4, z) = z$ qui n'est pas borné quand z varie dans $\R^*$

REM : on peut prendre aussi $f(1, 1, z) = \dfrac 4 3 \pi z$

d'autre part le résultat est un réel donc pourquoi s'em.... avec une norme sur R*^3 ....

et pourquoi se priver de 0 ? ....

Posté par re : Maximum d'une fonction de trois variables 14-03-16 à 22:56

Bonjour
il n'y a que moi que ça choque, la dimension d'un truc qui n'a aucune chance d'être un espace vectoriel ?
(Déjà, la notation $\R^{3*}$ est surprenante : quelle loi multiplicative sur $\R^3$ permet-elle de définir des inversibles ? Peut-être s'agit-il plutôt de $(\R^*)^3$ ? Mais comme Carpi, pourquoi écarter d'éventuels zéros pour une fonction ainsi définie ?)

Posté par re : Maximum d'une fonction de trois variables 14-03-16 à 23:05

Merci pour vos réponses. L'ensemble où l'énoncé demande de chercher les extremums est $(\mathbb{R}^*)^3$

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