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SPé Math, exercice
Salut, à tous j'ai besoin d'aide:
On considère deux entiers naturels non nuls x et y premier entre eux.
S= x+y et P= xy
1)a) Démontrer que x et S sont premiers entre eux, de même que y et s.
b) En raisonant par l'absurde, démontrer que S= x+y et P= xy sont premiers entre eux.
c)Démontrer que les nombres S et P sont de parités différentes (l'un pair, l'autre impair).
Réponse:
Je n'arrive pas à faire cela
2) Déterminer les diviseurs positifs de 84 et les rangers par ordre croissant.
Réponse:
D+84{1;2;3;4;6;7;12;14;21;28;42;84}
3) Trouver les nombres premiers entre eux x et y tels que SP=84
Réponse: J'ai trouver: En utilisant les diviseurs de 84, les solutions:
(1;84) et (3;28) et (4;21) et (7;12) et (84;1) et (28;3) et (21;4) et (12;7)
4) Déterminer les deux entiers naturels a et b vérifiant les conditions suivantes:
a+b=84 et ab=d^3 avec d=PGCD(a;b)
Réponse:
Je tien à dire que je n'ai pas sus le terminé.
Soit a=dx et b=dy avec PGCD(x;y)=1
ON a a+b= dx+dy= d(x+y) donc comme a+b=84, alors x+y= 84/d
Or PGCD(a;b)=d donc d=PGCD(dx;dy) d'où d=dPGCD(x;y) (or PGCD(x;y)=1)
ON peut donc dire que d=1
Apres Les nombres premiers entre eux qui ont pour somme 84, sont:
1+83
5+79
11+73
13+71
17+67
19+65
23+61
25+59
29+55
31+53
37+47
41+43
Mais apres ca je n'arive pas à conclure.
BOn je n'arive pas à faire le 1) et finir le 4), puis pouvez vous vérifiez les autres (pas besoin pour le 2) on peut pas dire que c'était très difficile). Je vous en remercie D'avance et je doit rendre Cet exercice que je dois faire en DM, LE MARDI 21 NOVEMBRE.
Bonjour,
1)a)
Soit d un diviseur positif commun à x et S.
Alors d divise également S-x, c'est-à-dire y.
Donc d=1.
Donc x et S premiers entre eux.
De même, y et S premiers entre eux.
1)b)
Soit d un diviseur premier positif commun de S et P.
d divise alors aussi Sx-P = x², or d est premier, donc d divise x.
De même, d divise aussi Sy-P = y², or d est premier, donc d divise y
donc d divise x et y
donc d=1
donc S et P premiers entre eux.
1)c)
Facile. Examine les cas possibles de parité de x et y.
salut
pour le 4)
je crois qu'il y a un probleme "Or PGCD(a;b)=d donc d=PGCD(dx;dy) d'où d=dPGCD(x;y) (or PGCD(x;y)=1)
ON peut donc dire que d=1"
d'ailleurs pour la solution 1+83 tu aurais 83*1 = 1^3 ....de plus on dit les 2 entiers naturels et j'ai l'impression que tu en trouves beaucoup trop
non je pense qu'il faut poursuivre ton raisonnement que tu avais fait pour la somme mais cette fois avec le produit tu a*b= d*d*x*y = d^3 => x*y=d
on cherche donc a et b ou si tu preferes x,y,d tels que x et y premiers entre eux
x*y=d et x+y=84/d
or x+y entier naturel donc d divise 84.
la question 2 n'est pas la pour rien reste à regarder tous les cas.
on pourra utiliser la question 1 et montrer que si x > 1 et y > 1 alors P > S
ou sinon on voit tous les cas.
d=1 on a P < S NON
d=2...7 non plus
d=12 P=12 et S=7
parite differente on a a resoudre X²-7X+12=0
donc x=4 et y=3 (ou x=3 et y=4)
donc a=36 et b=48 ou a=48 et b=36
on verifiera que a et b verifie toutes les conditions initiales
d=14 P=14 et S=6 meme parite d'apres 1 non
d=21 P=21 S=4 non plus
d=28 P=28 S=3 X²-3X+28=0 pas de solution
d=42 P=42 S=2 meme parite non
d=84 P=84 S=1 X²-X+84=0 pas de solution
donc je trouve 36 et 48.
pgcd(36,48)=12 36*48=1728=12^3 et 36+48=84
bye
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