Inscription / Connexion Nouveau Sujet
équation différentielle : loi newton :refroidissement d'un corps
voici l'énoncé :
Une loi de Newton stipule que la vitesse de refroidissement d'un corps reste proportionnelle à la différence entre la température de ce corps à l'instant t et la température constante de l'air ambiant (le coefficient de proportionnalité dépend essentiellement de la surface de contact entre le corps et son milieu, et on considérera ici que ce coefficient est constant).
En notant f(t) la température du corps à l'instant t, T la température de l'air et k le coefficient de proportionnalité, on a donc : f'(t)=k(f(t)-T)
1) Résoudre l'équation différentielle vérifiée par la température f(t)d'un corps porté initialement (c'est à dire a l'instant t0 ) à la température T0 et qui est plongé dans un environnement dont la température est T.
2) La température de votre cuisine (et de votre appartement) est constante, égale à 20°C. Quand vous le sortez du four à 20h, la température du gâteau que cous avez préparé pour vos invités est de 180°C. Vous observez qu'à 20h30 elle est encore de 100°C.
A quelle heure pourrez vous le servir à la température idéale, soit 25 °C?
3) Comme vous voulez absolument servir votre gâteau à 22h précises, vous commencez par le placer dès 20h sur le rebord de votre fenêtre, où l'air ambiant est à une température de 0°C.
Combien de temps devrez-vous le laisser sur ce rebord avant de le rentrer à l'intérieur pour que vos invités puissent le déguster à 22h à la température idéale?
_____________________________________________________________________________
Je voudrais savoir si les solutions de mon équation sont justes (question 1) : j'ai déjà transformé l'équation sous la forme y'=k(y-t)
donc y= Ce^(kx) + T
Pour la question 2 j'ai réussie a résoudre j'ai trouvé k = 0.0231 et le temps pour que la température du gâteau tombe a 25° est de 150 minutes en prenant pour équation f(t)= 160e^(-kt)+20
pour la question 3 je ne vois pas comment faire....
Merci de me donner des pistes.
1)
La variable est t et pas x -->
y'= k(y-T)
y = C.e^(kt) + T
f(t) = C.e^(kt) + T
f(0) = To --> To = C.e^(0) + T
C = To - T
f(t) = (To - T).e^(kt) + T
Attention que k est négatif.
-----
2)
f(t) = (To - T).e^(kt) + T
T = 20
origine des temps pris à 20h.
si t est en minute, alors:
f(0) = 180
f(30) = 100
100 = (180 - 20).e^(30t) + 20
80 = 160.e^(30k)
e^(30k) = 1/2
30k = ln(1/2)
k = (1/30)*ln(1/2) = -0,0231
f(t) = 160.e^(-0,0231.t) + 20
soit T le temps pour que f(t) = 25
25 = 160.e^(-0,0231.T) + 20
e^(-0,0231.T) = 5/160
T = 150
On peut servir à 20 h + 150 min = 22h 30
-----
3)
f(t) = (To - T).e^(kt) + T
f(t) = 180.e^(-0,0231.t) + 0
f(t) = 180.e^(-0,0231.t) tant que le gâteau est dehors.
Si on le laisse dehors jusque 22h (t = 120)
f(120) = 180.e^(-0,0231*120) = 11
--> trop froid, on doit le remettre à l'intérieur avant 22h
soit to, le temps à laisser le gateau dehors, on a:
f(to) = 180.e^(-0,0231.to)
On le remet dedans pendant un temps 120-to -->
25 = (180.e^(-0,0231.to) - 20).e^(-0,0231.(120-to)) + 20
Dont la solution est to = 70 (environ)
Il faut donc le laisser dehors jusque 20h + 70 min = 21h 10
-----
Calculs à vérifier.
Sauf distraction. 
Bonjour,
Ce que tu as fait est bon.
Pour la troisième question il va falloir utiliser tout ce que tu viens de démontrer.
Le refroidissement du gâteau va se faire en deux temps :
premier temps pour une durée t sur le rebord de la fenêtre. Il va refroidir beaucoup plus vite que dans la cuisine. En 120 minutes il serait donc trop froid. Il va falloir le rentrer (au temps t) et (c'est le deuxième temps) il se retrouvera alors, encore un peu chaud, dans l'ambiance à 20 °C où il va continuer à refroidir et à 22 heures... il sera juste à 25 °C
Equation pour le premier temps :
Elle ressemble beaucoup à celle que tu as trouvée pour la sortie dans l'ambiance à 20 °C. N'oublie pas que l'énoncé te dit que le coefficient k est constant. Tu as trouvé sa valeur de -0,0231 min-1
A l'instant t le gâteau est rentré. Il est alors à la température 
et il va refroidir encore pendant une durée (120 - t) minutes pour atteindre la température de 25 °C
Sauf erreur de ma part t = un peu moins que 70 minutes (69 minutes et 40 secondes 
). Trouves-tu cela ?
eh bien merci beaucoup a tous les deux je dois m'absenter un moment je m'y remet dès que je suis de retour et je vous en donnerai des nouvelles. Merci 
J-p? qu'est que veut dire votre dernière phrase pour ma question 1 ? "Attention que k est négatif."
J-P est probablement occupé ailleurs.
Il y a deux manières d'écrire :
comme l'a fait J-P : e^(kt), en précisant que k est négatif
ou bien
comme tu l'as fait : e^(-kt) en adoptant une valeur de k positive.
oui d'accord mais je ne comprends pas pourquoi car dans mon cours les solutions de y'=ay+b sont y= Ce^(ax)-b/a en aucun cas il y a un "-" devant mon "a" :s
Le problème est le suivant:
L'écriture f'(t)=k(f(t)-T)
Ici, comme il s'agit d'un refroidissement, f(t) est décroissante) --> f '(t) est négative
Or f(t) > T puisque le température à l'instant t est > à la température ambiante qui est T (comme il s'agit d'un refroidissement) . On a donc f(t)-T > 0
f'(t)=k(f(t)-T) avec f'(t) < 0 et (f(t)-T) > 0 n'est possible que si k est négatif.
OK ?
-----
Si on veut prendre k positif, comme il s'agit d'un refroidissement, on DOIT alors écrire: f'(t)= k(T - f(t))
-----
OK ?
Bonjour,
je ne comprend pas le principe de ce calcul :
"On le remet dedans pendant un temps 120-to -->
25 = (180.e^(-0,0231.to) - 20).e^(-0,0231.(120-to)) + 20"
Merci de votre compréhension.
Entre le moment où le gâteau est sorti du four et le moment où on veut le manger, il y a 120 minutes.
Si on a laissé le gâteau à l'extérieur pendant un temps to, on l'a laissé à l'intérieur pendant un temps (120-to) min.
On calcule la température du gâteau laissé un temps to a l'éxtérieur (donc avec température ambiante = 0°C), et on trouve;
Température = 180.e^(-0,0231.to).
On considère alors que la température de départ du gâteau remis à l'intérieur est celle calculée ci-dessus et en reprenant l'origine des temps à cet instant, on calcule la température du gâteau (120-to) minutes plus tard avec le gâteau à l'intérieur (donc avec température ambiante = 20°C)par:
f(120-to) = (180.e^(-0,0231.to) - 20).e^(-0,0231.(120-to)) + 20
Et on sait que cela doit faire 25°C -->
25 = (180.e^(-0,0231.to) - 20).e^(-0,0231.(120-to)) + 20
Qui, par approximations successives, permet de calculer to ...
Merci bien pour vos explications claires et précises.
Bonsoir à tous
J'ai essayé de calculer le to mais je n'y arrive, je tombe sur des choses incalculables... Pourriez vous svp détailler un peu plus ? (je dois me tromper dans les étapes importantes)
Merci d'avance
Bonjour,
Pas du tout incalculable...
Rappel : k= -0,0231 = -(ln2)/30
Je pars de la dernièr ligne écrite par J-P (bonjour à lui ! )
25 = (180.e^(k.to)-20).e^(k.(120-to)) + 20
5 = 180.e^(k.120) - 20.e^(k.120).e^(-k.to)
5/(e^(k.120)) = 180 - 20.e^(-k.to)
80 = 180 - 20.e^(-k.to)
e^(-k.to) = 100 / 20 = 5
-k.to = ln 5
to = (ln 5) / ((ln 2) / 30) = 30 * (ln 5) / (ln 2) = 30 * 2,322... = 69,66 minutes
c'est-à-dire 69 min 40 s
"Sauf distraction"
Génial merci beaucoup !!!! J'ai pu voir où était l'erreur...
Encore merci à tous pour tout ce que vous faites sur ce forum
Annuler
connectez vous