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Résoudre un problème
Bonjour.
Pouvez vous m'aider à résoudre ce problème par avance merci.
La statue de la Liberté
La statue de la Liberté, haute de 150 pieds, est posée sur un piédestal de 150 pieds. Nous vous proposons de trouver à quelle distance de la base du piédestal il faut placer un appareil photo pour que l'angle sous lequel on voit la statue dans l'objectif soit le plus grand possible. L'objectif de l'appareil est à 5 pieds du sol, supposé plat.
Pour cela, notons x la distance de l'appareil photo à la statue. Les angles oméga, alpha et béta (exprimés en radians), indiqués sur la figure, sont fonctions de x.
Nous supposerons que la fonction f oméga(x) est dérivable sur ]0 ; +infini[.
1. Exprimez tan alpha(x) et tan béta(x) en fonction de x.
Puis, en écrivant que oméga(x) = alpha(x) - béta(x), vérifiez que tan oméga(x) = (150x) / [x² + (295 * 145)].
2. Posons f(x) = tan oméga(x).
a. Démontrez que f est dérivable sur ]0 ; + infini[et donnez sa fonction dérivée. Déduisez-en que : [1 + tan²oméga (x)] oméga'(x) = [150((295*145) - x²)] / [(x² + (295*145))²].
b. Donnez le tableau de variations de Omega.
Démontrez que Omega admet un maximum sur ]0 ; +infini[, puis concluez.
edit T_P :
Un schéma de l'exercice :
salut
a=alpha
b=beta
o=omega
tan a =(150+150-5)/x=295/x
tan b=(150-5)/x=145/x
o=a-b
donc tan o=tan(a-b)=sin(a-b)/cos(a-b)=(sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b))/(cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b))
tan(o)=(1-tan(b)/tan(a))/(1/tan(a)+tan(b))
(en simplifiant par sin(a)*cos(b))
tan o=(1-145/295)/(x/295+145/x)
tan o=(150/295)*295*x/(x^2+295*145)=(150x) / [x² + (295 * 145)]
2a) f est derivable sur ]0,+inifini[ car composée de fonctions derivables sur ]0,+inifini[
on a deux possibilités d'ecrire f(x)
f(x)=tan o(x) ce qui donne :"[1 + tan²oméga (x)] oméga'(x)"=f'(x)
f(x)=(150x) / [x² + (295 * 145)] ce qui donne
f'(x)=" [150((295*145) - x²)] / [(x² + (295*145))²]"
b) o'(x)=([150((295*145) - x²)] / [(x² + (295*145))²])/(1 + tan²oméga (x))
sachant que tan o(x)=(150x) / [x² + (295 * 145)]
je te laisse simplifier ceci.
en voyant le schema on voit que o(x)->0 qd x->0
et o(x)->0 qd x->0
(ou on le calcule)
pour le signe de o', apres simplification,ce devrait etre simple...
tableau de variation de o => il existe un maximum
sur ]0,+infini[ (on va dire en y)
c'est a cette distance y que la statue sera la plus grande possible sur l'objectif et donc sur la photo...
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