Bonjour MKY,

ici, on ne peut pas blanquer...
1)Dans le premier cas, il n'y a qu'une solution, non ?

A+, KiKo21.

oui, salut kiko21

Je n'ai pas trop compris ce que tu veux.

Pour l'ellipse:

Aire ellipse = Pi*a*b
Aire rectangle = 4a'b'

Pi*ab = 4a'b'

(a'/a) * (b'/b) = Pi/4

Je ne vois pas ce que tu veux dans le point C1.
Comme (a'/a) * (b'/b) vaut Pi/4 et est donc imposé , je ne vois pas comment on pourrait le rendre maximum.

Je ne vois pas ce que tu veux dans le point C2.
Comme (a'/a) * (b'/b) vaut Pi/4
Si on fait grandir le rapport a'/a alors le rapport b'/b diminue et vive-versa.
Il ne peuvent donc pas être maximum tous les 2 en même temps.
  
Je n'ai pas compris ce que tu demandes.

Bonjour mikayaou,

voilà encore une occasion pour placer la fameuse sitation :
"Ce qui ce conçoit mal s'énonce confusément et les mots pour le dire s'embrouillent allégrement".

salut J-P

Ce que je demande - sans savoir bien le formuler (j'en conviens) d'où mes essais avec la condition (C1) ou la condition (C2) - c'est d'avoir un rectangle qui soit le plus possible "recouvrant" vis à vis de l'ellipse.

Par ailleurs, en posant cette question dans [autre] et non [détente], c'est pour dire que c'est une question dont je n'ai pas la réponse...

L'idée est d'obtenir un rectangle de même aire que l'ellipse et qui soit le plus "proche" ( sans avoir encore la métrique de proximité ) possible d'ellipse.

En espérant avoir été plus clair ?

Ben oui JJa, j'essaie d'être clair mais ce n'est pas simple

Je tente de formaliser cette notion intuitive de proximité de forme entre deux figures de même aire et de structure prédéfinie (ellipse et rectangle ayant toutes deux deux axes de symétrie)...

Aïe, aïe, aïe, les fautes d'orthographe !  
Citation : "Ce qui se conçoit mal s'énonce confusément et les mots pour le dire s'embrouillent allégrement".

.

Pourquoi ne pas posser la question suivante :
Etant donné une ellipse, calculer les dimensions d'un rectangle (ABCD), d'aire égale à celle de l'ellipse et tel que, disposé selon la figure jointe, la somme des petites aires coloriées en bleu soit minimum ?
Remarque : pour quelle raison imposes-tu que les axes de l'ellipse et du rectangle coïncident ? Le rectectangle pourrait être incliné par rapport à l'ellipse, ce qui donnerait éventuellement un minimum encore plus minimum !

Pourquoi ne pas posser la question suivante :
Etant donné une ellipse, calculer les dimensions d'un rectangle (ABCD), d'aire égale à celle de l'ellipse et tel que, disposé selon la figure jointe, la somme des petites aires coloriées en bleu soit minimum ?
Remarque : pour quelle raison imposes-tu que les axes de l'ellipse et du rectangle coïncident ? Le rectectangle pourrait être incliné par rapport à l'ellipse, ce qui donnerait éventuellement un minimum encore plus minimum !

... Donc ce qu'on essaie de faire, c'est de trouver les dimensions du rectangle de même aire que l'ellipse pour avoir l'aire en bleu sur ton dessin minimum.

C'est bien ça ?

Avec l'ellipse et le rectangle comme sur le dessin:

x²/a² + y²/b² = 1
y = b'

x²/a² + b'²/b² = 1
x² = a²(1 - b'²/b²)
x² = (a²/b²)(b² - b'²)
---
x²/a² + y²/b² = 1
x = a'

a'²/a² + y²/b² = 1
y² = (b²/a²)(a² - a'²)

(a'/a) * (b'/b) = Pi/4
a' = (Pi/4)*(ab/b')
a' = Pi.ab/(4b')



f(b') représente 1/4 de l'aire en bleu.

Il suffit de résoudre l'intégrale donnant f(b') et d'ensuite trouver la valeur de b' qui rend f(b') minimum.

Erreurs incluses bien-entendu.

Bonsoir,

Oui MKY, mais J-P stipule (j'aime bien ce verbe...) que cette surface non commune doit être la plus petite possible, ou en d'autres termes que la surface commune (l'intersection) doit être la plus grande possible.

A+, KiKo21.

oui kiko21, c'est justement ceci que je n'arrivais pas à "formaliser"

j'ai peur, cependant, à voir " l'attirail " déployé par J-P que ce ne soit guère traitable " simplement "...

Le principe que j'ai utilisé est simple.

Pour un b' quelconque (on conserve b' en littéral), on calcule l'abscisse X1 positive du point de rencontre de l'ellipse et de la droite y = b'.
Tout simplement en résolvant le système:
x²/a² + y²/b² = 1
y = b'
  
On a donc X1 en fonction de b'.
  
On fait ensuite l'intégrale de (g(x) - b')dx avec g(x) fonction représentant la partie "positive" de l'ellipse (g(x) est tiré de l'équation de l'ellipse).
Cette inétégrale de 0 à X1 représente le 1/4 de la surface bleue du haut et du bas du dessin.

Et rebelote en croissant les rôles de x et de y et en remplaçant b' par a' pour trouver la surface bleue du gauche et du droite du dessin.

En tenant compte que a' = Pi.ab/(4b') (pour que l'ellipse et le rectangle soient d'aires égales)

On fait la somme des 2 intégrales et on f(b') qui représente le 1/4 de l'aire totale bleue en fonction de b'.
  
Il reste à déterminer le minimum de f(b') en considérant b' comme variable dans [0 ; b] (par une étude classique de la fonction f(b'))

Il faut bien entendu vérifier si je ne me suis pas trop planté en écrivant les intégrales ...

Si c'est OK, il n'y a pas de problèmes pour les calculer, elles semblent élémentaires.
----

Sauf erreur probable, on arrive à:



Il reste à trouver la valeur de b' dans [0 ; b] pour avoir f(b') minimum.

Si je plante cette formule sur un traceur de courbe, avec par exemple a = b = 1 (cas du cercle de rayon 1), le minimum de la fonction est trouvé pour x = 0,8662269... qui semble bien être , ce qui est bien la valeur à trouver dans ce cas, c'est déjà bon signe, mais n'assure pas que c'est juste.

... ni d'ailleurs, comme l'a fait remarquer JJa, qu'il n'est pas possible d'avoir un meilleur recouvrement si les cotés du rectangle ne sont pas // aux axes de l'ellipse.

Merci J-P

Pendant que tu planchais, je tentais de reformuler le problème avec une ellipse d'aire piR², comme le cercle

On aurait donc un côté a donné de l'ellipse et l'autre côté b valant R²/a ( car piab = piR² ), a étant alors un paramètre.

Je me demandais, alors, si ça simplifiait pas les calculs...

-------------

Par ailleurs, intuitivement, j'ai le sentiment qu'incliner le rectangle n'optimisera pas le recouvrement,

Respecter la symétrie ellipse/rectangle ne devrait-il pas rendre la surface bleue la plus petite ?

me trompé-je ?

Merci en tout cas de vous y êtes penché

Merci encore, c'est très sympa surtout que ce pb est...gratuit et n'a aucun enjeu, le seul étant celui d'assouvir ma curiosité

Voilà ce que j'ai obtenu:
- le minimum est bien lorsque les axes de l'ellipse et du cercle coïncident.
- Pour ce minimum, les valeurs de a' et b' sont données par les relations suivantes :
( calculé par géométrie analytique, le résultat final est remarquablement simple ).

merci JJa

si tu savais mettre la démo in extenso... merci

on retrouve le racine(pi)/2 propre au cercle...

Bonjour

Pour ma part, j'avais intuitivement procédé par déformation du cercle de rayon R et de surface piR² pour en faire une ellipse de demi-grandd axe kR et de demi-petit axe R/k de façon a conserver la surface piR²



Puis - et c'est là où je ne suis pas sûr et qu'il me manque des connaissance de topologie je pense où d'autres justifications - j'en ai déduis que le carré initial qui correspondait au meilleur recouvrement ( côté = Rracine(pi) ) se transformait en rectangle de côtés "dilatés" :
longueur = k( Rracine(pi)/2 ) et largeur = ( Rracine(pi)/2 )/k



Cette façon intuitive de faire manque naturellement de rigueur; si vous saviez la justifier correctement, je suis preneur

Merci

le dessin est fait "à l'échelle" avec un rayon R = 3 cm et un rapport k = 1,5

On "constate" que ça semble aussi être le "meilleur" rectangle jaune vis à vis de l'ellipse bleue

mais je n'ai rien démontré...

Bonjour,

je renonce à rédiger içi la démonstration du fait que le minimum est obtenu lorsque l'angle entre les axes respectifs de l'ellipse et du rectangle est égal à zéro. En effet, ce serait beaucoup trop long et trop volumineux. Pour les parties les plus bourrin de transformations des équations, je me suis aidé d'un logiciel de calcul formel : A la main cela m'aurait pris trop de temps.
Dans le cas où les axes coïncident, on peut assez facilement le faire "à la main". La la figure et la page jointes indiquent sommairement la méthode et la solution :

Merci beaucoup, JJa, pour ton développement

Je vais le décortiquer comme on déguste un tourteau...lentement et dans tous les recoins

Remarque : Dans la page précédente, S_1 n'est que le quart de l'aire totale de non-recouvrement. Il n'est pas très significatif de comparer ce quart à l'aire totale de l'ellipse (ou du rectange). Il serait préférable, pour être plus clair, d'écrire :
Aire totale de non-recouvrement = Aire de l'ellipse / 11,044..