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Opérateur Laplacien
bonjour,
on me demande de calculer le laplacien d'une expression. Cet opérateur à été défini dans le cours comme étant la somme des dérivées partielles de degré 2 sur la même coordonnée.
en plus clair : Si f est une fonction de alors :
seulement, il parait que ce n'était qu'un rappel et que tout le monde sait calculer un laplacien... donc pas d'exemples...
En ce qui me concerne, c'était la premiere fois que je voyais cette notion.
Me voici donc devant mon exercice où l'on me demande de calculer un laplacien ... et là....c'est le drame...
On se place dans
Soit
calculer
je suppose que |x| est la norme 2 de x c'est a dire |x|² = x² + y² + z² (ce n'est précisé nulle part mais parait plus ou moins logique...).
Que faire a ce stade? remplacer |x|² par x²+y²+z² et deriver comme une brute? j'ai essayer et mis a part des calculs assez compliqués, ca ne conduit pas au résultat (que je connais, le prof nous l'a donné).
Je ne vois donc que deux possibilités :
soit je me suis planté dans mes dérivées (ce qui est possible vu la gueule des calculs...)
soit, sachant que cet exercice a été donné lors d'un partiel, il doit y avoir une méthode plus simple que les calculs barbares...mais je ne vois pas laquelle...
si quelqu'un sait... je suis preneur!!
merci d'avance!!
Mihawk
Le calcul barbare semble bien approprié. 
Sinon tu as toujours la possibilité de passer en polaires (sphérique).
L'expression du Laplacien change bien évidemment:
où Delta_{N-1} est l'opérateur de Laplace-Beltrami, c'est à dire l'opérateur de Laplace, mais sur autre chose que R^n. Il est défini par div(grad(u)).
En dimension 3, tu dois pouvoir trouver ce que ca vaut exactement sur wikipedia, mathworld ou n'importe quel site de maths pour la physique.
Si ça ne semble pas approprié, peut être qu'un changement en cylindrique serait mieux. Tu trouveras surement la formule au même endroit.
Ici, j'ai bien entendu appelé N la dimension de l'espace (ici N=3) et r=|X|.
Pour ce qui est des exemples, si tu comprends la définition, tu n'as pas vraiment besoin d'exemple. En revanche, ce que tu as à calculer semble effectivement brutal.
Il faut voir que l'on a quelques règles de calculs:
Donc ici, je prendrais le numérateur pour u et le dénominateur pour v et avec un peu de chance, les calculs se font bien.
a+
rapelle moi juste un truc :
ce que tu notes c'est le produit scalaire (au sens usuel hein?) des gradients de u et v c'est bien ca?
chuis vraiment pas a l'aide avec ces notations et j'ai fait fait tres peu de physique (volontairement...j'aime pas ca du tout... ^^; )donc je connais peu d'opérateur utilisé couramment en physique...
sinon merci pour tes explications, je vais essayer comme ca 
Oui c'est bien ca.
Moi non plus je ne fais pas de physique, mais ce sont des opérateurs qui interviennent tout le temps quand tu travailles avec plusieurs variables ou avec des champs
En gros, le gradient joue le rôle de la dérivée en plusieurs variables, c'est la raison de son apparition partout.
Le laplacien joue le rôle de la dérivée seconde en plusieurs variables, c'est donc aussi une bonne raison pour le mettre partout .
a+
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