Equations matricielles (2)

Posté par raymond raymond

Bonsoir.

Le premier topic sur les équations matricielles a montré que ce n'était pas toujours très simple d'arriver à la solution.

En cherchant des exercices sur la dualité, je suis tombé par hasard ce soir sur un sujet proposé au centre Condorcet.
Il s'agit du problème suivant.



Après avoir bien cherché, je pense avoir résolu la question. Je vous laisse réfléchir.

A plus RR.

Posté par blang blang

Bonjour

Si M existe, on a : tr(M)(1+tr(A))=tr(B)

- Supposons tr(B)0 ;

donc tr(A)-1 et

d'où (réciproquement, on peut vérifier que M marche bien).

- Si tr(B)=0 ;

-- Soit tr(A)-1 et alors tr(M)=0 d'où M=B (réciproquement M marche bien)

-- Soit tr(A)=-1 et n'importe quelle matrice du type M=B-A ( ) fonctionne.

BILAN :

- Si tr(B)0 et tr(A)=-1,  S=


- Si tr(B)0 et tr(A)-1,  S=


- Si tr(B)=0 et tr(A)-1,  S={B}


- Si tr(B)=0 et tr(A)=-1,  S={B-A, }

Posté par blang blang

Remarque : On peut bien sûr regrouper les cas n°2 et n°3 du BILAN en un seul

Posté par raymond raymond

Bonjour blang.

J'arrive aux mêmes conclusions que toi, mais cela m'a coûté beaucoup plus de travail que ce que tu proposes.

Ta méthode est très efficace.

A plus RR.

Posté par raymond raymond

Un up uniquement technique.

Cordialement RR.

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Bonsoir tout le monde,

Raymond >> J'avais fait cet exo dans le cours de réduction, il y a un moment avec la même méthode que blang. J'avoue ne pas trop voir comment procéder de manière naturelle autrement. Peux-tu nous exposer ta solûce, ou au moins l'idée de ta démo?

Posté par raymond raymond

Bonjour 1 Schumi 1.

J'ai rédigé quatre chapitres sur la dualité. Le chapitre IV est en relecture actuellement.

Dans ce chapitre IV, j'expose cet exercice. Je ne t'en donne donc ici qu'un bref résumé.

J'étudie l'endomorphisme F € L(M_n(K)) défini par F : M ---> M + tr(M).A

Polynôme minimal et conséquences.

Quand la relecture et le traitement du chapitre IV seront effectués, tu pourras consulter la correction.

A plus RR.

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Ok raymond, 5 you.