logo

Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée

   
connectez-vousforums forumsliste de tous les forums de mathématiques » EnigmesTentez votre chance à l'énigme du jour pour gagner le concours mensuel... » 3 *les énigmes difficiles » [tout]lister tous les topics de mathématiques

« Précédent 1 2 Suivant » +

3 *Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *

#msg1926795 Posté le 01-07-08 à 13:12
Posté par Profiljamo jamo Moderateur

Bonjour,

voici une petite énigme d'un nouveau genre. Si elle a du succès, on pourra en envisager de similaires.
Même si l'énigme semble très "mathématique", elle ne demande pas de connaissances très évoluées : si on comprend l'énoncé, on doit pouvoir la résoudre.

Dans un repère orthonormal d'origine O, on considère le point A de coordonnées (0;a) avec a>0, le cercle C de diamètre [OA], et la droite horizontale D d'équation y=a.

Pour toute droite non horizontale passant par le point O (en bleu sur le dessin), on définit le point N sur le cercle C et le point P sur la droite D.
On définit ensuite le point M en prenant l'abscisse du point P et l'ordonnée du point N.

Lorsque la droite bleue "tourne" autour du point O, le point M se balade donc sur une courbe, en rouge sur le dessin.

Question : donner l'équation de la courbe rouge. Cette équation doit être donnée sous forme explicite, où y est exprimé en fonction de x et du paramètre a : y=f(x,a). Aucun autre paramètre ne doit donc intervenir.


Bonne recherche !

Question subsidiaire : quel est le nom de cette courbe ?

re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1926836 Posté le 01-07-08 à 15:02
Posté par Profilpiepalm piepalm

gagnéSoient (t,r) les coordonnées polaires du point N: on a donc r=asint. P a donc pour coordonnées (a/tant, a) et M: (x=a/tant,y=a(sint)^2. et comme (sint)^2/(tant)^2=1-(sint)^2
yx^2/a^2=a-y, donc
y=a^3/(a^2+x^2)
Je pense que c'est une cubique circulaire, mais mes souvenirs sont loin...
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1926859 Posté le 01-07-08 à 15:45
Posté par Profilmikayaou mikayaou

gagnébonjour

on arrive à y = a^3/(a²+x²)

qui est la cubique d'Agnesi,( Maria Gaetana Agnesi est une des premières femmes mathématiciennes italienne du 18° )

Elle ressemble à la versiera ou la visiera ou à la conchoïde de Külp

Cependant, cette courbe avait été préalablement étudiée par Fermat

re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1926861 Posté le 01-07-08 à 15:46
Posté par ProfilTiT126 TiT126

gagnésalut Jamo,

Personnellement j'ai adoré cette énigme, j'espère que il y en aura d'autre

Allé pour la peine je me lance dans une demo

N appartient au cerle de centre 3$I(0;\frac{a}{2}) et et rayon 3$\frac{a}{2}

Donc les coordonnées de N obeissent a :
3$(x_N^2-0)^2+(y_N-\frac{a}{2})^2 = (\frac{a}{2})^2 \\ x_N^2+y_N^2-ay_N + (\frac{a}{2})^2 = (\frac{a}{2})^2 \\ x_N^2+y_N^2-ay_N = 0

La droite (D) à pour équation : y = bx or N appartient à (D) et a C
Donc N vérifie :

3$\{{y_N = bx_N \atop x_N^2+y_N^2-ay_N = 0}

3$\{{x_N = \frac{y_N}{b} \atop (\frac{y_N}{b})^2+y_N^2-ay_N = 0}

3$\{{x_N = \frac{y_N}{b} \atop y_N(\frac{y_N}{b^2}+y_N-a) = 0}

3$\blue\fbox{y_M(y_M(\frac{1}{b^2}+1)-a) = 0}(1)  Car yM = yN

Or P appartient à (D) et à y = a, donc :

3$\{{y_P = bx_P \atop y_P = a}

On conclut : 3$a=bx_P, donc 3$\blue\fbox{b=\frac{a}{x_P}=\frac{a}{x_M}}(2)  Car xM = xP


(1) et (2) =>
3$y_M(y_M(\frac{x_M^2}{a^2}+1)-a) = 0 \\ y_M(\frac{x_M^2}{a^2}+1)-a = 0 \\ y_M = \frac{a}{\frac{x_M^2+a^2}{a^2^}} \\ y_M = \frac{a^3}{x_M^2+a^2}

Donc M décrit la fonction : 4$\red\fbox{y = \frac{a^3}{x^2+a^2}}


re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1926872 Posté le 01-07-08 à 15:55
Posté par Profilgloubi gloubi

perduBonjour,

On trouve, pour tout x 0, 4$%20y%20=%20\frac{a}{\frac{1}{x^2}+1}

Une courbe de Gauss, me semble-t-il.

A+  
*challenge en cours*#msg1926875 Posté le 01-07-08 à 16:04
Posté par Profilbapader bapader

gagnéBonjour,

Je trouve y=\frac{a^3}{x^2+a^2} ; après une petite recherche, cette courbe s'appelle la cubique d'Agnesi, ou witch of Agnesi en anglais (http://www.mathcurve.com/courbes2d/agnesi/agnesi.shtml)... ce qui explique le titre de l'énigme !

Quelques étapes du calcul :
Soit (x,y) les coordonnées de M, et soit x_N l'abscisse de N.
On a d'abord : \frac{x}{x_N} = \frac{a}{y}.
Et comme N est un point du cercle C, on a : x_N^2 = y(a-y).
Reste à extraire y de l'expression.

BA.
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1926884 Posté le 01-07-08 à 16:11
Posté par Profillink224 link224

gagnéSalut jamo.

L"équation de la courbe rouge est y=\frac{a^3}{x^2+a^2}
Quant au nom de la courbe, je n'en sais rien, je vais aller voir sur Wiki...

@+ et merci pour l'énigme!
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1926918 Posté le 01-07-08 à 17:01
Posté par Profilveleda veleda

gagnébonjour jamo
je vais essayer de ne pas me laisser déborder ce mois ci
pour équation de la courbe en rouge je trouve  y=a^3/(a^2+x^2)
c'est la cubique (sorcière) de Maria Agnesie
merci et bonnes vacances
Ma courbe bien-aimée *#msg1926927 Posté le 01-07-08 à 17:10
Posté par Profilrogerd rogerd

gagnéBonjour Jamo, et merci pour cette jolie courbe!

Ayant formé l'équation du cercle, on a sans problème les coordonnées de N en fonction de celles de P. Comme l'abscisse x de M est celle de P et l'ordonnée y de M est celle de N on a immédiatement l'équation de la courbe:

y=\frac{a^3}{a^2+x^2}.

Il s'agit de la cubique d'Agnesi (du nom d'une mathématicienne italienne).
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1926950 Posté le 01-07-08 à 17:44
Posté par ProfilNofutur2 Nofutur2

gagnéL'équation de la courbe est y = a3/(x2+a2)
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1926962 Posté le 01-07-08 à 18:04
Posté par Profilmanpower manpower

gagnéBonjour,

rapido (et bourrin), en passant par les coordonnées de N et P en fonction d'un paramètre b (issu de la droite d'équation y=bx), on a:
N(\frac{ab}{1+b^2};\frac{ab^2}{1+b^2}) et P(\frac{a}{b};a)
D'où M(\frac{a}{b};\frac{ab^2}{1+b^2}) puis finalement en éliminant le paramètre b, l'équation cartésienne y=3$\frac{a^3}{x^2+a^2}.

Merci pour l'exercice !
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1926968 Posté le 01-07-08 à 18:13
Posté par ProfilThierryMasula ThierryMasula

gagnéRe-bonjour jamo,

Les coordonnées des points N et P sont:

4$\left\{\array{llll$N & = & a.\cos\,\theta & \left(\sin\,\theta ,\cos\,\theta \right)\\P & = & a. & \left(\tan\,\theta ,1\right)}\qquad \qquad avec\,\theta \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]

Les coordonnées du point M sont donc:

4$\array{llll$M & = & a. & \left(\tan\,\theta , \cos^2\,\theta \right) }

or

4$\frac1{\cos^2\,\theta } = \tan^2\,\theta +1

L'équation de la courbe est donc:

\fbox{4$ y(x) = \frac{a^3}{a^2+x^2}}

Pour ce qui est de son nom, je l'appellerais bien "attention où tu mets les pieds, y a une bosse dans le tapis".
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1926991 Posté le 01-07-08 à 18:42
Posté par ProfilFlo08 Flo08

gagnéBonjour,

On pose x et y les coordonnées du point M.

Le triangle OAP est rectangle en A, donc    OA² + AP² = OP²
Le triangle OAN est rectangle en N, donc    ON² + NA² = OA²
Le triangle ANP est rectangle en N, donc    AN² + NP² = AP²

On sait aussi que    ON + NP = OP    soit    ON² + NP² + 2.ON.NP = OP²
On a également     OA = a     et     AP = x

donc :
a² + x² = OP²
ON² + NA² = a²
AN² + NP² = x²

soit     ON² + 2NA² + NP² = OP²
et comme    ON² + NP² + 2.ON.NP = OP²
on peut en déduire que    NA² = ON.NP

Si on définit un point H, intersection des droites (OA) et (MN), on a un triangle OHN rectangle en H, avec     OH = y

Et si on note l'angle formé par les droites (OA) et (OP), les relations trigonométriques dans les triangles rectangles OAN et OHN nous donnent la relation suivante :

cos = \fr{ON}{a} = \fr{y}{ON}     soit    ON² = a.y

Sachant que les droites (MN) et (AP) sont parallèles, le théorème de Thalès nous donne la relation suivante dans le triangle OAP :

\fr{OH}{OA} = \fr{ON}{OP}      soit     \fr{y}{a} = \fr{ON}{OP}     soit     y = \fr{ON}{OP} a

En élevant au carré cette relation, on obtient :

y² = \fr{ON^2}{OP^2} a²

Sachant que     ON² = a.y     et que    OP² = a² + x²

on obtient la relation suivante :    5$ \blue \fbox{ y = \fr{a^3}{a^2 + x^2} }


Et pour ce qui est du nom de la courbe... j'espère que la subsidiaire n'est pas éliminatoire  
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1926994 Posté le 01-07-08 à 18:46
Posté par Profilplumemeteore plumemeteore

gagnébonjour
soit g l'angle POX
AP = a*cos(g)
les angles OAN et POX ayant les côtés perpendiculaires chacun à chacun sont égaux : ON = a*sin(g)
l'ordonnée de N est ON*sin(g) = a*sin²(g)
pour tout x, g = arccos(x/a)
y = f(x,a) = a * sin²(arccos(x/a))
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1926997 Posté le 01-07-08 à 18:58
Posté par ProfilNofutur2 Nofutur2

gagnéIl s'agit de la cubique d'Agnesi .
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1927001 Posté le 01-07-08 à 19:14
Posté par Profilxtasx xtasx

gagnéBonjour,

Je trouve comme équation pour cette courbe:

5$ y=\frac{a}{1+\frac{x^2}{a^2}} \\

Merci !
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1927039 Posté le 01-07-08 à 21:22
Posté par ProfilEric1 Eric1

gagnésoit X=AP

f(X,a)=a-PM

on cherche l'ordonnée du point N
=> intersection du cercle et de la droite

cercle: x^2+(y-a/2)^2=(a/2)^2
droite: y=(a/X)x

=> x^2(1+a^2/X^2)-a^2x/X=0 => x(x(1+a^2/X^2)-a^2/X)=0
=> x=0 ou x=(a^2X)/(X^2+a^2)
la deuxieme solution est interessante

elle a pour ordonnée: y=a^3/(x^2+a^2)

Donc f(a,x)=a^3/(x^2+a^2)
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1927096 Posté le 01-07-08 à 22:17
Posté par Profilinfophile infophile

gagnéBonjour

Citation :
La courbe rouge a pour équation 4$ \rm \red \fbox{y=\frac{a^3}{x^2+a^2}}


\red \clubsuit Démonstration \red \clubsuit

Le cercle a pour équation paramétrique 3$ \rm \blue \fbox{\{x_N=a\cos(t)\\y_N=\frac{a}{2}+a\sin(t)}

Ainsi la droite 3$ \rm (ON) étant linéaire donc de la forme 3$ \rm y=\alpha x et passant par 3$ \rm N appartenant au cercle, on a :

3$ \rm \fbox{\frac{a}{2}+a\sin(t)=\alpha a\cos(t) \Longleftright \alpha =\frac{\frac{1}{2}+\sin(t)}{\cos(t)}}

L'équation de la droite 3$ \rm (ON) est donc 3$ \rm \magenta \fbox{y=\(\frac{\frac{1}{2}+\sin(t)}{\cos(t)}\)x}

Elle coupe la droite 3$ \rm y=a au point 3$ \rm P d'où :

3$ \rm \fbox{a=\(\frac{\frac{1}{2}+\sin(t)}{\cos(t)}\)x_P\Leftright x_P=\frac{a\cos(t)}{\frac{1}{2}+\sin(t)}}

Puisque le point 3$ \rm M a même abscisse que 3$ \rm P et même ordonnée que 3$ \rm N le lieu de point engendré par 3$ \rm M a pour équation paramétrique :

3$ \rm \blue \fbox{\{x_M=\frac{a\cos(t)}{\frac{1}{2}+\sin(t)}\\y_M=a\(\frac{1}{2}+\sin(t)\)}

En reportant 3$ \rm x_M dans la deuxième équation horaire il vient :

3$ \rm \magenta \fbox{y_M=a\times \[\frac{a\cos(t)}{x_M}\]}

Or on a 3$ \rm x_N=a\cos(t) d'où 3$ \rm y_M=\frac{ax_N}{x_M}

Elevons cette égalité au carré : 3$ \rm y_M^2=\frac{a^2x_N^2}{x_M^2}

Par ailleurs 3$ \rm y_N=y_M avec :

3$ \rm \blue \fbox{(x_N-0)^2+\(y_N-\frac{a}{2}\)^2=\(\frac{a}{2}\)^2\Leftright x_N^2=y_M(a-y_M)}

On reporte dans l'égalité précédente :

3$ \rm \red \fbox{y_M^2=\frac{a^2y_M(a-y_M)}{x_M^2} \Longleftright y_M=\frac{a^3-ay_M}{x_M^2} \Longleftright y_M\(1+\frac{a}{x_M^2}\)=\frac{a^3}{x_M^2} \Longleftright y_M=\frac{a^3}{x_M^2+a^2}

La courbe correspondant à cette équation est tracée en rouge pointillé sur le graphique ci-dessous et coïncide bien avec le lieu de points représenté en jaune. La fonction est bien paire par symétrie, vaut 3$ \rm a en 3$ \rm O et tend à s'annuler au voisinage de l'infini.



\blue \clubsuit Supplément \blue \clubsuit

On peut s'amuser à calculer l'aire sous la courbe 3$ \rm I puisque l'on connaît une primitive de 3$ \rm x\to \frac{1}{x^2+a^2} à savoir 3$ \rm x\to \frac{1}{a}\arctan\(\frac{x}{a}\).

Par conséquent 3$ \rm \red \fbox{I=\Bigint_{-\infty}^{+\infty}\frac{a^3}{x^2+a^2}=\[a^2\arctan\(\frac{x}{a}\)\]_{-\infty}^{+\infty} =\pi a^2}

On peut également calculer la courbure au point 3$ \rm A grâce à la formule :

3$ \rm \fbox{C(x)=\frac{|f''(x)|}{(1+f'(x)^{\frac{3}{2}}}}

On trouve pour 3$ \rm x=0 un rayon de courbure de 3$ \rm \blue \fbox{R=\frac{1}{C}=\frac{a}{2}}

On en déduit que le cercle bleu est le cercle de courbure au point 3$ \rm A.

Quant au nom de la courbe en question je n'en ai aucune idée, ça me fait penser à une enveloppe

Merci pour l'énigme fort intéressante !

Ma réponse#msg1927247 Posté le 02-07-08 à 11:23
Posté par Profilthiblepri thiblepri

perduf(x;a)=x/(1+(x/a)^2) est l'équation de la courbe.
Pour le nom....
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1927373 Posté le 02-07-08 à 13:55
Posté par Profildhalte dhalte

gagnéBonjour

y=\frac{a^3}{a^2+x^2}

Cubique d'Agnesi , étudiée par Pierre Fermat en 1630.
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1927798 Posté le 02-07-08 à 20:52
Posté par Profillotfi lotfi

perdusalut,
bon en utilisant talès(ou bien les cos et les sin dse triangles rectangles) et l'equation d'un cercle je trouve: y=a^5/(x²-a^4).
cordialement;
             Lotfi
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1928367 Posté le 03-07-08 à 20:37
Posté par Profilpisur2 pisur2

gagnéSoit x l'abscisse de P et y l'ordonnée de N
Et M a pour coordonnées (x ; y)
On cherche y = f(x)
La droite pivotante a pour équation aX = xY
Le cercle C a pour équation X² + (Y - a/2)² = a²/4
L'intersection des 2, c'est N de coordonnées :
             (xN = 0 et y = 0) ou (xN = a²x/(a²+x²) et y = a^3/(a²+x²))

On trouve donc y = a^3 /(x²+a²)
enigme 41#msg1928967 Posté le 04-07-08 à 18:50
Posté par Profiltotti1000 totti1000

perduje défini les angles w1 et w2 (voir schéma)

on a alors :
sin(w2)=\frac{y-\frac{a}{2}}{\frac{a}{2}}=\frac{2}{a}.y-1

et
tan(w1)=\frac{a}{x}

la relation entre w1 et w2 est:
\frac{\pi}{2}-w2=2(\frac{\pi}{2}-w1) \\ \\ w2=2w1-\frac{\pi}{2}


donc en remplaçant on obtient:
sin(2w1-\frac{\pi}{2})=\frac{2}{a}.y-1
soit


y=\frac{a}{2}(1+sin(2Arctan(\frac{a}{x}-\frac{\pi}{2}))

Cette courbe fait partie des courbes de Gauss
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1929125 Posté le 04-07-08 à 23:02
Posté par ProfilPIL PIL

gagnéBonsoir,

J'ai trouvé  

3$\rm y = f(x,a) = \frac{a^3}{a^2+x^2}

On pourrait aussi écrire de façon plus homogène :

3$\rm \frac{y}{a} = \frac{1}{1+(\frac{x}{a})^2

J'ignore le nom de cette courbe !
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1929201 Posté le 05-07-08 à 08:46
Posté par Profilevariste evariste

gagnéy=a3/(x2+a2)
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1929336 Posté le 05-07-08 à 14:44
Posté par Profilbizbiz bizbiz

gagnéBonjour,  

Je crois que c'est :4$ \red \fbox{ y=\frac{a^3}{x^2+a^2}

cordialement
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1929572 Posté le 05-07-08 à 19:30
Posté par Profilyoyodada yoyodada

gagné

   à mon avis l'équation de la courbe des points M a pour équation :

f(x,a): y = a^3 /(x² + a²)

par contre aucune idée pour ce qui est du nom !

re: Ma courbe bien-aimée#msg1930268 Posté le 06-07-08 à 21:08
Posté par Profillaotze laotze

perduBonsoir:

Personnellement j'aime bien ce genre de problèmes! Bingo!

alors sans être vraiment explicatif, soit une fonction f qui définit la courbe représentée:  pour tout x réel: f(x)=\frac{a^2}{a+x^2}

Bonnes continuation!
re: Ma courbe bien-aimée#msg1930269 Posté le 06-07-08 à 21:11
Posté par Profillaotze laotze

perduc'est marrant, la réponse s'affiche...en clair?! vous avez changé la présentation?
Ma courbe bien-aimée #msg1930366 Posté le 07-07-08 à 08:51
Posté par Profiltorio torio

gagnéA+
Torio

énigme 41#msg1930370 Posté le 07-07-08 à 09:27
Posté par Profiljver jver

gagnéy=a^3/(a^2+x^2)
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1930422 Posté le 07-07-08 à 11:13
Posté par Profil1emeu 1emeu

gagnéBonjour,

voici ma réponse :

y=\frac{a^3}{x^2+a^2}

Merci pour l'énigme

1emeu
challenge en cours#msg1930824 Posté le 07-07-08 à 18:14
Posté par Profilmadani madani

perduBjr ts le monde
y=a^3/a^2+x^2
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1930863 Posté le 07-07-08 à 18:52
Posté par ProfilPloufPlouf06 PloufPlouf06

perduBonjour,

La droite D a pour équation : y=mx avec m réel
Le cercle C a pour équation : x^2+y^2-6y=0

Les coordonnées de N sont obtenues par résolution du systéme : \rm {\left {y=mx\\x^2+y^2-6y=0

De même pour le point P avec : \rm {\left {y=mx\\y=a

Soit : \rm N(\frac{6m}{m^2+1} ; \frac{6m^2}{m^2+1}) et P(\frac{a}{m} ; a)

Le point M a donc pour coordonnées : \rm M(\frac{a}{m} ; \frac{6m^2}{m^2+1})

Après quelques essais, on arrive très vite à trouver la relation suivante :
\rm\frac{yx^2}{a^2}+y-6=0

D'où finalement l'équation finale : 5$\red\fbox{y=\frac{6a^2}{x^2+a^2}}

Question subsidiaire : Il me semble qu'une telle courbe est appelée courbe serpentine, mais sans conviction

Voilà, sauf erreur de ma part. Merci pour l'énigme
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1930878 Posté le 07-07-08 à 19:03
Posté par ProfilPloufPlouf06 PloufPlouf06

perduJ'ai dû faire une bêtise ça colle pas finalement... Tant pis c'est le jeu.

Voilà sinon j'ai adoré cette énigme donc en ce qui me concerne j'approuve le :
Citation :
voici une petite énigme d'un nouveau genre. Si elle a du succès, on pourra en envisager de similaires.


A bientôt
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1931107 Posté le 08-07-08 à 00:47
Posté par ProfilPloufPlouf06 PloufPlouf06

perduEt voilà, j'aurais dû attendre au lieu d'avoir peur que l'énigme soit clôturée...
Tant pis au moins pour pas être ridicule je mets le résultat pour le fun :

4$\red\fbox{y=\frac{a^3}{x^2+a^2}}

Dommage ...
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1932075 Posté le 09-07-08 à 20:04
Posté par ProfilQuent225 Quent225

perduSalut!
Je sais que c'est la sorcière d'Agnesi mais de là à donner son équation... c'est bizard, je connais le nom et pas l'équation!?
Je crois que je vais aller sur wikipédia
A+
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1932522 Posté le 10-07-08 à 17:09
Posté par Profilkioups kioups

gagnéLa courbe a pour équation y=\frac{a^3}{x^2+a^2}.

Il s'agit de la Cubique d'Agnesi.

Je dois bien avouer, je l'ai trouvée sur le net. Perso, j'arrivais à la courbe paramétrée mais j'avais du mal à repasser en expression explicite.
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1933207 Posté le 11-07-08 à 21:21
Posté par ProfilDaniel62 Daniel62

gagnéBonjour tout le monde,
bon, je me lance, j'essaye d'insérer une image.
celle ci apparait bien en dessous du message mais pas dans l'aperçu.
j'ai seulement défini un point H qui est la projection de N (ou de M) sur l'axe Oy:
OH = y   HN = z   HM = x

je pars de l'équation classique du cercle \rm x^2 + y^2 = R^2 dans un repère ayant pour origine le centre du cercle.

soit R le rayon du cercle avec R = \frac{a}{2}
soit z et y les coordonnées de N
x et y étant les coordonnées de M
dans le repère \vec{Ox},\vec{Oy} l'équation de notre cercle devient \rm z^2 + (y-R)^2 = R^2
d'où je tire \rm z^2 = 2Ry - y^2

d'autre part avec les triangles OAP et OHN (merci Thalès) on a : \frac{AP}{HN} = \frac{OA}{OH}
\Longrightarrow   \rm \frac{x}{z} = \frac{2R}{y}
\Longrightarrow   \rm z = \frac{xy}{2R}
\Longrightarrow   \rm z^2 = \frac{x^2y^2}{4R^2}

j'obtiens donc 2 équations: \(\array{z^2=2Ry-y^2\\z^2=\frac{x^2y^2}{4R^2}}\)
\Longrightarrow \rm 2Ry - y^2 = \frac{x^2y^2}{4R^2}
\Longrightarrow \rm 4R^2\times{(2Ry - y^2)} = x^2y^2
\Longrightarrow \rm 8R^3y - 4R^2y^2 - x^2y^2 = 0
\Longrightarrow \rm 8R^3 - 4R^2y - x^2y = 0
\Longrightarrow \rm 8R^3 - y(4R^2 + x^2) = 0
\Longrightarrow \rm y = \frac{8R^3}{4R^2 + x^2}

en remplaçant R par \frac{a}{2} j'obtiens la formule finale et ma réponse:
   \rm \fbox{y = \frac{a^3}{a^2 + x^2}}

Question subsidiaire:
entre les tractoires, les tractrices, la courbe de l'âne et tout ce qui est en ...oïde j'ai pas trouvé.
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1933898 Posté le 13-07-08 à 12:28
Posté par ProfilNanoo2b Nanoo2b

gagnéBonjour,
je pense que le point M (x,y) décrit la courbe y= a3 / (x2 + a2)
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1934710 Posté le 15-07-08 à 13:51
Posté par ProfilITMETIC ITMETIC

gagnéAppelons l'angle que fait la droite D avec l'axe des abscisses.

L'équation en coordonnées polaires du cercle C est R=a sin(). Les coordonnées de N seront Xn=a sin()cos() et Yn=a sin²()

Les coordonnées de P sont Xp=a/tg() et Yp=a

Les coordonnés de M sont donc Xm=XP=a/tg() et Ym=Yn=a sin²()=a(1-cos(2))/2

Appelons tg()=t , d'après la formule de l'angle moitié on a cos(2)=(1-t²)/(1+t²)

On a ainsi Ym=a(1-(1-t²)/(1+t²))/2=at²/(1+t²)

Or Xm=a/tg()=a/t  d'où t=a/x

En remplaçant on obtient Ym=a3/(a²+x²)


Question subsidiaire

Selon les sources cette courbe s'appelle la cubique (ou la versière) d'Agnesi, les anglais parlent de « Witch of Agnesi », les italiens de « Versiera d'Agnesi » (versiera=diablesse en italien)
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1934999 Posté le 15-07-08 à 19:05
Posté par Profilwiat wiat

perduCoucou tout le monde !
Voivi ma réponse: y=(2*a^3)/(a²+x²)
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1935111 Posté le 16-07-08 à 10:44
Posté par Profilkiko21 kiko21

gagnéBonjour,

L'équation de la courbe rouge est 5$ \magenta \fbox{\textrm y=\frac{a}{1+(\frac{x}{a})^2}=\frac{a^3}{a^2+x^2}

Question subsidiaire : On appelle cette courbe sorcière d'Agnesi ou verseau.

Merci et A+, KiKo21.
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1935162 Posté le 16-07-08 à 14:11
Posté par Profilgloubi gloubi

perduBonjour,

Une courbe de Gauss?   n'importe quoi!

De plus, j'ai oublié le point A: pour x = 0, y = a, of course  

Encore un mois de juillet qui sent le

A+,
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1935898 Posté le 18-07-08 à 08:40
Posté par Profiljamo jamo Moderateur

Cloture de l'énigme

Il s'agissait donc de la "Sorcière d'Agnesi", ce qui expliquait le titre de l'énigme

On peut trouver des infos ici par exemple :

J'ai accepté la réponse de plumemeteore car elle est correcte (un smiley spécial "pourkouafersimplekanonpeufercompliké" )

Par contre, la réponse de totti1000 est fausse : j'ai essayé de tracer sa fonction, et ça ne marche pas.

Et voilà l'image que je n'avais pas osé mettre dans le sujet de l'énigme, cela aurait été un indice trop important.

re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1935923 Posté le 18-07-08 à 10:45
Posté par Profilkiko21 kiko21

gagnéBonjour,

> Jamo
Citation :
voici une petite énigme d'un nouveau genre. Si elle a du succès, on pourra en envisager de similaires.

Alors on pourra... C'était vraiment très intéressant à étudier.
Citation :
Et voilà l'image que je n'avais pas osé mettre dans le sujet de l'énigme, cela aurait été un indice trop important.

Effectivement !!

Encore merci et A+, KiKo21.
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1935929 Posté le 18-07-08 à 11:10
Posté par Profiljamo jamo Moderateur

J'ai déjà une autre courbe sous le coude, ce sera pour bientôt !
re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1935931 Posté le 18-07-08 à 11:19
Posté par Profilmikayaou mikayaou

gagnébonjour

>kévin
Dans tes suppléments, tu peux alors chercher à calculer le volume du solide de révolution obtenu en faisant tourner la courbe autour de son asymptote horizontale...

A toi

re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1935932 Posté le 18-07-08 à 11:23
Posté par Profilmikayaou mikayaou

gagnéDommage que d'excellents sites dont les liens ont été donnés dans les réponses des participants ( ceux de Serge MEHL ou Robert FERRÉOL ou ... ) référencent toutes ces courbes avec même, pour certaines, le détail d'obtention des équations

re : Enigmo 41 : Ma courbe bien-aimée * * *#msg1936031 Posté le 18-07-08 à 13:48
Posté par Profilinfophile infophile

gagnéElle était chouette cette énigme, ça nous apprend des choses

mika > Je déjeune et je regarde ça ^^

« Précédent 1 2 Suivant » +

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 38
:)76,32 %23,68 %:(
29 9

Temps de réponse moyen : 91:59:23.

Répondre à ce sujet

réservé Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster
attention Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.

  • Ce topic

    imprimer Imprimer
    réduire la tailleRéduire   /   agrandir la tailleAgrandir
    Pour plus d'options, connection connectez vous !

  • Fiches de maths

connectez-vousforums forumsliste de tous les forums de mathématiques » EnigmesTentez votre chance à l'énigme du jour pour gagner le concours mensuel... » 3 *les énigmes difficiles » [tout]lister tous les topics de mathématiques
   

Rechercher loupe

Menu

Espace membre

membre-hors-ligne

Changer d'île



page d'accueil.   favoris  imprimer
cours particuliers - cours de maths haut de pagehaut Retrouvez cette page sur ilemaths l'île des mathématiques
© Tom_Pascal & Océane 2009