Quotient infini !

 Cliquez pour afficher

Vive Fibonacci !

 Cliquez pour afficher

x = 1 + 1/x avec x > 0
x²-x-1 = 0
x est le nombre d'or
à chaque écriture de 1/1, on obtient le rapport de deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci

 Cliquez pour afficher

Non.
Je ne comprend pas ton raisonnement en tout cas ce que tu écris au départ est faux :
x1+1/x
Peux tu m' expliquer ?

 Cliquez pour afficher

Oui c'est correct, j'avais trouvé mais en fait c'est
Mais comment as-tu trouvé si vite ?

 Cliquez pour afficher

Je me permet de répondre.

Si je définis la suite par , alors le nombre que l'on recherche est la limite (éventuelle) de cette suite.

vérifie donc , équation dont les solutions sont le nombre d'or et

Les termes de la suite étant tous strictement positifs, la limite ne peut être strictement négative. Le nombre d'or est donc le seul à convenir. Il ne reste plus qu'à prouver que la suite est convergente. (en effet rien n'assure à priori qu'un tel nombre x tel que tu l'as défini existe bien)

 Cliquez pour afficher

Je comprend mieux le raisonnement.
En fait le x (qui est tout au fond là-bas) n'a quasiment pas d'impact.
Mais je ne comprend pourquoi tu choisis ?
______________________________________________________________

Voici comment j'ai fait (c'est pas très rigoureux).

1)Etude des cas simples :

*n c'est le "niveau"





2) Généralisation :

bref on comprend vite qu'on additionne 2 polynômes pour en avoir un troisième :

avec toujours un "petit" sur un "grand"

3)Trouver une équation finie en fonction de n :

*F_n est la suite de fibonacci (u₀=0) :




d'où

ainsi :

4) Calcul de la limite en + : solution

Les solutions sont donc :
_________________________________________________________________

Merci d'avoir suivi mon raisonnement tordu jusque là.

 Cliquez pour afficher

Ce qui me gène un peu, c'est ce qu'à fait remarquer otto. Le  x ne devrait pas apparaitre à droite. Il n'y a pas de "tout au fond là-bas".
Ce qu'on recherche en fait, c'est un tel que , le "etc" signifiant un passage à la limite.

Sinon, dans ta résolution, tu as procédé par implications, il faut maintenant vérifier si tes solutions sont exactes, c'est comme ça que l'on élimine la valeur négative.

 Cliquez pour afficher

Je comprend de mieux en mieux !
Ca me genait à moi aussi, je n'ai pas compris ce que voulait dire otto.
Je repose donc l'énnoncé car ce n'était pas tout à fait ça...

 Cliquez pour afficher

Bon, je ne comprend pas trop, -\phi peut convenir aussi non ?
J'aimerais avoir la totalité du raisonnement(détaillé), merci !
Non !
Comme je te l'ai dit tu ne fais qu'intervenir des sommes et quotients de nombres positifs, ca ne peut donc pas être négatif.

Une facon rigoureuse de prouver ce que tu veux est la suivante:

f(x)=1+1/x
f est continue sur [1,+oo).
Posons
U(n+1)=f(Un)
U(1)=1

Clairement f(Un)>=1 pour tout n et puisque f est continue sur [1,oo) on doit avoir
f(L)=L où L est la limite éventuelle de la suite.
On résoud et on trouve donc ce que je t'ai annoncé.

Finalement il reste à prouver la convergence, ce qui n'est pas compliqué puisque f est décroissante sur [1,+oo).

 Cliquez pour afficher

Merci !
J'espère que tu n'es pas trop exaspéré(e) par mes questions incessantes.
Pourrais-tu regarder mon post de 11:10. Merci !

Si par exemple on résout : x = 1+1/(x+1) x = V2 ou -V2

ou x = 1+1/(1+1/(1+x)) x = V3 ou -V3

et x = 1+1/(1+1/(1+1/(1+x))) x = V(5/2) ou -V(5/2)

il semble que ça converge vers et .

_{ps : tu note les intervalle I = [a;+oo) alors que je note I=[a;+oo[ sans doute une différence canada-france...}