Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.

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Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.
Posté par 
Camélia   16-10-08 à 14:16
Bonjour

J'ai eu hier cette commande:

Citation :
Dis moi Camélia, n'as-tu pas problème qui regroupe différentielle première, différentielle seconde, th. des accroissements, d'inversion local et de Schwarz 

Alors voilà une jolie application (il manque quand même un ingrédient de la commande!)

On se place dans l'espace euclidien . Soit f: EE une fonction de classe C1 qui est une isométrie infinitésimale, c'est-à-dire telle que

Montrer que f est une isométrie affine (donc un C difféomorphisme).

Comme c'est loin d'être évident, je cache les questions intermédiaires.

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1) Montrer que pour tout x et tout y de E, on a .

2) Soit aE. Montrer que f est un difféomorphisme local au voisinage de a. En déduire l'existence d'un voisinage ouvert Vade a sur lequel la restriction de f est une isométrie.

3) Soit . Montrer que F possède une différentielle partielle seconde  et montrer que

4) Montrer que Df est constante sur Va.

5) OUF! Conclure!
 Posté par 
H_aldnoerre : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  16-10-08 à 18:02
Merci pour la commande fraichement livrée!

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1) Il faut utiliser le Thm. des accroissements finis.

 est de classe  donc est différentiable en tout point de  et est continue sur toute restriction.

On peut donc appliquer le thm. qui dit qu'il existe un  tel que .

En posant par exemple , je tombe sur . Soit, comme , on a bien que 
 Posté par 
H_aldnoerre : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  16-10-08 à 21:20
Après, je bloque.

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2) Je suppose qu'il faille appliquer le thm. d'inversion local. Puisque  est de classe , on sait que  est différentiable au voisinage de  et que  est continue en .

Il reste a montrer que .

On aura qu'il existe un voisinage  ouvert de  et un voisinage  ouvert de  tel que  soit un difféomorphisme de  sur .

C'est bien cela un difféomorphisme local ?
 Posté par 
Camélia re : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  17-10-08 à 14:25
>H_aldnoer 

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Pour 1) OK. Pour 2) c'est bien ça. Tu as une manière évidente de montrer que Df(a) est un iso! je te laisse continuer...
 Posté par 
H_aldnoerre : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  17-10-08 à 16:55
J'crois que cette fois, c'est bon!

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On va exploiter le fait que  soit une isométrie infinitésimale.

On se donne un  dans le noyau de l'application linéaire . On a alors que .

Mézalor  aussi, et comme , on a  et par suite, .

L'application linéaire considérée est donc injective; nous travaillons sur des espaces de dimension finie, ceci est équivalent à dire que cette même application est bijective.

 est une application linéaire bijective de  dans  ie .
 Posté par 
Camélia re : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  17-10-08 à 16:59
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Ouais! 
 Posté par 
H_aldnoerre : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  17-10-08 à 17:26
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Ensuite, je suppose que le , c'est le  défini dans de mes précédents posts (le 16-10-08 à 21:20).

On veut montrer que, pour ,  si je ne me trompe pas. Je patine un peu, faut-il montrer que  et  ou bien c'est plus évident ?
 Posté par 
H_aldnoerre : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  17-10-08 à 22:14
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En fait, je n'arrive pas à voir pourquoi "en déduire". Dans mes recherches, je n'utilise que les hypothèses du 1) ainsi que le fait que l'on ait une isométrie infinitésimale. Cela n'aboutit pas.
 Posté par 
H_aldnoerre : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  18-10-08 à 13:42
Autre chose qui me turlupine dans le th. des accroissements finis depuis hier soir : 

dans mon cours, j'ai 

je n'arrive pas à estimer la norme de  proprement; que deviens exactement l'inégalité ?

 Posté par 
Camélia re : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  18-10-08 à 14:44

>H_aldnoer

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Pour la fin de la question 2): En déduire... Tu commences par prendre g=f-1 sur un voisinage de a, puis tu choisis un voisinage convexe de f(a). Va est l'image de celui-ci. Ensuite tu remarques que g est aussi une isométrie infinitésimale et tu reprends les inégalités du début, ce qui revnerse les inégalités sur f. (Ce serait presque plus rapide de l'écrire, mais je ne veux pas te gacher le plaisir... après tout c'est toi qui l'as voulu!
 Posté par 
1 Schumi 1re : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  18-10-08 à 14:44
Salut 

Ecris y=x+h et x+th= x+h + (t-1)h. C'est le même truc que sur R... 

 Posté par 
H_aldnoerre : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  18-10-08 à 15:29
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Si j'ai bien suivi, il faut prendre l'application  de  sur  ??

Je dois montrer que . J'essaye de retourner dans tous les sens l'égalité  sans succès 
 Posté par 
Camélia re : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  18-10-08 à 15:38
>H_aldnoer

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C'est général! la réciproque d'une isométrie en est une! car  

 Posté par 
H_aldnoerre : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  18-10-08 à 15:41
Voici ce que j'ai fait pour l'instant.

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On a  par définition. Or .

Or, comme  et que pour , , par passage au sup on a .

Il suit que  et donc  ie .
 Posté par 
H_aldnoerre : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  18-10-08 à 15:45
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Mais je ne sais pas encore que  est une isométrie! C'est ce que je veux montrer. Je pensais qu'il fallait pour ce faire, montrer que  était une isométrie infinitésimale (ie vérifiant l'égalité en norme du premier post) puis reprendre l'inégalité de la question 1.

Ai-je mal compris ?
 Posté par 
Camélia re : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  18-10-08 à 15:55
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Oui, bien sur; je me suis mal exprimée. Tu sais que . Tu en déduis comme je l'ai écrit plus haut que  donc  a les mêmes propriétés que f. 
 Posté par 
H_aldnoerre : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  18-10-08 à 16:25
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Oh je vois mieux, l'hypothèse signifie donc que  est une isométrie! Effectivement, on a bien ce que tu annonces.

Par suite, , donc .

Le passage de l'égalité  à l'égalité  ne me dis rien 
 Posté par 
Camélia re : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  18-10-08 à 16:38
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Non, il n'y a pas en général de passage de ||f(x)-f(y)||=||x-y|| à ||f(x)||=||x||; sauf si f(0)=0, ce qui est bien le cas d'une application linéaire!
 Posté par 
H_aldnoerre : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  18-10-08 à 16:49
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Donc  est une isométrie si  ? (car ici, rien ne dit que  est linéaire!)
 Posté par 
Camélia re : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  18-10-08 à 16:59
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Oui, c'est bien ça qu'il faut montrer. Mais tu l'as fait pour sa restriction à Vaà 16:25 et pour l'instant on ne peut espérer mieux.
 Posté par 
H_aldnoerre : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  18-10-08 à 17:28
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Donc je finis la question 2) en disant :

On a  donc  est une isométrie ?

Pour la suite, on considère les trois applications :

,

,

.

On a ; comme  sont deux fois différentiables, il reste à montrer que  l'est aussi ?
 Posté par 
mrnocnocre : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  18-10-08 à 18:31
J'ai une idée qui semble abréger la conclusion:

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 La fonction  coincide sur  (on utilise par exemple la norme euclidienne) avec une isométrie . Soit 

. On sait déjà que . Par continuité, on sait que  sur . Si , on peut par compacité de  trouver un nombre fini de boules  centrées en des points de norme , recouvrant , et telles que  est une isométrie sur chacune de ces boules. Comme ces boules ont une intersection d'intérieur non vide avec ,  coincide avec  sur ces boules. Maintenant, on constate que  sur  où  (distance entre un fermé et un compact qui ne se rencontrent pas). On a donc contredit  CQFD.

Enfin, abréger peut-être pas, mais je trouve ça plus simple.
 Posté par 
mrnocnocre : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  18-10-08 à 19:16
On peut trouver plus simple en utilisant la connexité pultôt que la compacité pour finir l'exercice:

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La fonction f coincide sur un voisinage ouvert de 0, , avec une isométrie i. Soit O le plus grand ouvert sur lequel f=i (c'est la réunion des ouverts sur lesquels f=i). Il faut montrer que O est fermé, et on pourra conclure par connexité de E. A cette fin , considérons un point d'adhérence x de O. On a  un ouvert  contenant x et une isométrie  tels que f= sur . Comme x est point d'adhérence de O, l'intersection de O et  est un ouvert non vide sur lequel f=i= donc les deux isométries i et  sont égales. Ainsi, 

 O. O est donc fermé, et O=E CQFD.

 Posté par 
Camélia re : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  19-10-08 à 15:07
Bonjour mrnocnoc

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En fait l'exo ne supposait pas du tout connue la forme d'une isométrie (même locale). Dans ta proposition reste le fait que tu admets une espèce de théorème de prolongement unique des isométries. A posteriori c'est bien sur vrai, mais sinon ça demande des explications! 
 Posté par 
H_aldnoerre : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  19-10-08 à 23:22
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Bon après, j'ai de grosse lacune sur la calcul.

Je me suis dit que pour dériver selon , on fixe  et on regarde l'application , qui est différentiable car  est de classe .

Je trouve .

Ensuite, l'application  est en fait l'application norme qui est différentiable avec .

On peut appliquer un premier coup le T.D.A.C pour obtenir que l'application  est différentiable et .

Mais aussi, l'application  est différentiable, et en appliquant un deuxième coup le T.D.A.C, j'obtiens que l'application  est différentiable avec .

Au final, l'application  est différentiable ie  est partiellement différentiable selon  et .

Vraiment pas certain 
 Posté par 
H_aldnoerre : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  19-10-08 à 23:38
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Si cela est correcte, je fixe ensuite  et je regarde l'application .

On peut l'écrire comme la composée des applications suivantes :

 et .

En effet, . Chacune de ces deux applications étant différentiable (la première, c'est clair, la seconde parce qu'elle est linéaire et continue), on peut appliquer le T.D.A.C.

Soit .

On vient donc de prouver que l'application  était différentiable ie l'application  est partiellement différentiable selon  et .

J'obtiens, sans grande conviction, .
 Posté par 
Camélia re : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  20-10-08 à 14:29
>H_aldnoer

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Le post de 23:22 est OK.

Pour celui de 23:38, c'est à peu près ça, sauf que le choix des notations est malheureux, donc ça aboutit quand même à des non-sens. Une différentielle seconde (même partielle) est une fonction de deux variables.

En fait le résultat correct est

C'est pas mal, le métier rentre et tu es courageux! Alors, ne te décourage pas!
 Posté par 
H_aldnoerre : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  20-10-08 à 15:39
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Arf, oui. J'ai encore du mal a m'y faire!

.En fait, j'ai du mal encore avec cette notation . Je comprend beaucoup mieux la notation . Bref, je modifie : 

C'est mieux ainsi!

.Par contre, je reste toujours sceptique quand à ma démonstration du fait que  soit une isométrie. J'ai écris : 

(...) donc  et donc  est une isométrie.

.Sinon, après, l'idée qui me vient serait de dire que  et de retrouver l'application .
 Posté par 
Camélia re : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  20-10-08 à 15:51
> H_aldnoer

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Dans le post du 18-10 16:25, tu as montré que si x et y sont dans Va, tu as . Comme tu savais depuis la première question que  tu as bien prouvé que la restriction de f à Va est une isométrie.

Pour la suite tu as une excellente idée... 
 Posté par 
H_aldnoerre : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  20-10-08 à 17:40
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En reprenant les notation de mon post précédent, je trouve  et .

Donc . Et donc  !
 Posté par 
H_aldnoerre : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  21-10-08 à 13:16
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Et dans la 4, tu veux dire que c'est l'application  qui est constante ? (ou bien l'application linéaire continue  ?)
 Posté par 
Camélia re : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  21-10-08 à 15:07
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C'est l'application xDf(x) qui est constante. (L'application linéaire hDf(x)(h) n'est constante que si Df(x)=0, ce qui n'est certainement pas le cas ici).
 Posté par 
H_aldnoerre : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  21-10-08 à 19:30
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J'aimerais montrer que  et conclure avec la connexité de .

Mais je ne vois comment procéder!

Une piste ?
 Posté par 
H_aldnoerre : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  22-10-08 à 00:41
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Je ne sais pas pourquoi, je sens le Cauchy-Schwarz, alors voyons.

Pour , on a  et donc  : plutôt sympathique mais je ne vois comment l'exploiter!
 Posté par 
Camélia re : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  22-10-08 à 14:37
>H_aldnoer

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Eh non! Cauchy-Schwarz est l'ingrédient manquant! Tu n'as pas le droit de parler de différentielle seconde, f est supposée uniquement de classe C1. Il se trouve que la différentielle seconde partielle qui a servi existait bien, mais c'est tout.

Alors la méthode est consiste à calculer  pour x et y dans Va et en tenant compte de ce qui est déjà fait.
 Posté par 
H_aldnoerre : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  22-10-08 à 19:06
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On a .

Par suite  et donc .

C'est donc que  et comme  était quelconque, l'application est bien constante!

Mais pourquoi je n'avais pas trouvé  
 Posté par 
Camélia re : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  23-10-08 à 14:24
> H_aldnoer

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Pleure pas... tu te débrouilles plutôt pas mal!

Alors maintenant c'est fini avec le calcul diff. Tu fixes un point a, tu poses Df(a)=A (belle matrice orthonormée) et tu fais marcher la connexité pour montrer que Df(x)=A pour tout x. 
 Posté par 
H_aldnoerre : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  24-10-08 à 20:13
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Mouais, en calcul diff, je galère pas mal! J'ai l'impression de bien maitriser mon cours et pourtant je fais toujours un blocage sur les exercices et applications. Il me suffit d'une toute petite indication pour dérouler pourtant!

Enfin bref.

J'avais ce résultat dans mon cours : 

si  est une application définie sur ouvert connexe non vide  et tel que  pour tout  de  alors  est constante.

Cela y ressemble, mais je ne vois pas vraiment...
 Posté par 
Camélia re : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  25-10-08 à 16:37
Ici
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, c'est d'abord un peu plus compliqué. Alors posons Df(a)=A. Soit  Il est fermé, car Df est continue. Il est ouvert, puisque Df est localement constante et il est non vide, puisqu'il contient a. Comme E est connexe, X=E et enfin, nous savons que Df(x)=A pour tout x.

Mais alors, soit g(x)=f(x)-A.x. On a Dg(x)=0 sur E donc g est constante.

Donc

 Posté par 
H_aldnoerre : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  26-10-08 à 16:42
Merci Camélia pour cet exercice!
  Posté par 
H_aldnoerre : Défi calcul différentiel. Isométries infinitésimales.  26-10-08 à 16:42
Et pour sa correction!