Bonsoir Skyly,

C'est une question intéressante que tu te poses, et il faut bien être conscient que la théorie des ensembles ne s'est pas faite en un jour, il y a des subtilités dès lors qu'on s'approche de plus près.

Es tu d'accord qu'on peut dire {1;2} {1;2;3}  mais  {1;2} {{1;2};{2;3}}.
On peut faire des ensembles d'ensembles, un ensemble qui contient le vide ({}) n'est pas vide : il contient l'ensemble vide, qui est un élément.
D'ailleurs {}

Reprenons de façon plus rigoureuse : tu définis le vide ainsi : x , x
La négation est : E non vide ssi x tq xE
Alors montrons que {} :
l'égalité à un sens fort en mathématique, deux objets sont égaux s'ils ont les mêmes propriétés. Si ={} les deux doivent donc avoir les mêmes propriétés. Pourtant x tq x{} : x=.
Ces deux objets n'ont donc pas les mêmes propriétés, ils ne sont pas égaux.

Mais si tu veux des bizarreries de la théories des ensembles, il y a pire :

A={X | X X }. Alors, AA ou pas ?
C'est à cause de ce genre d'exemple qu'il a fallu un peu mieux définir ce qu'est un ensemble en tant qu'objet mathématique (mieux que "c'est un gros sac") et mettre des axiomes solides la dessous.

Pour faire simple, et rester avec les sac, pour l'instant dis toi (c'est comme ça que mon prof de sup nous le présentait) :

AB c'est quand tu ouvres le sac A et B, tout ce qu'il y a dans le sac A est aussi dans le sac B.
AB c'est quand lorsque tu ouvres B, l'un des objets mathématiques présents dans B est A.
Mais il ne faut pas se restreindre à mettre des nombres dans les ensembles. Un ensemble peut contenir des ensembles. (j'ai l'impression que c'est ce qui te pose problème ici).

Merci infiniement, j'ai compris ! ( du moins je l'éspère :p )

Ne pas confondre ensemble et élément d'un ensemble. Un ensemble vide ne contient aucun élément. Un ensemble formé de l'ensemble vide contient un élément.

Pour rester avec les sacs, l'ensemble vide Ø est un sac qui ne contient rien.
Alors que {Ø} est un sac qui contient l'ensemble vide (pour savoir ce qu'il contient - ouvrir le sac - tu enlèves la paire extérieure d'accolades) : i.e. c'est un sac qui contient un autre sac, qui lui ne contient rien. (deux sacs emboîtés, quoi).
On peut continuer : {{Ø}} est un sac qui contient {Ø} --> ça nous fait trois sacs emboîtés, dont le dernier est vide.
etc...

Pour ta question avec N : {N} et N sont différents.
- N={1,2,3,...} est un ensemble dont les éléments (en nombre infini) sont les entiers naturels
- {N}={{1,2,3,...}} est un ensemble dont l'unique élément est l'ensemble N.
Ces deux ensembles n'ont pas les mêmes éléments, donc sont différents. Dis-toi que dans {N} il y a un sac de plus (tu ouvres {N}, tu trouves N={1,2,3,...} qui est un autre sac contenant les entiers - tu ouvres ce deuxième sac et tu tombes sur les entiers. Alors qu'à partir de N tu n'as qu'un seul sac à ouvrir).

De la même façon, {1,2,3,4}≠{{1,2},{3,4}} : le premier a 4 éléments, et le deuxième en a seulement 2 (qui ont chacun eux-mêmes 2 éléments).

Voilà, Critou exprime mieux que moi cette histoire de sac. C'est exactement ce que je voulais dire
Avec ça tu ne peux plus te tromper Skyly.

Pour répondre à ta question aussi :

x{} ssi x=
x ssi x est un entier (x=0,1,2,3,...)

Merci encore !