Bonjour,

Je ne saisis pas bien ta question.
Tu veux savoir pourquoi si B et B' sont deux bases orthonormées la matrice de changement de base de l'une vers l'autre est orthogonale ?

Exactement, je saisis pas bien le rapprochement et j'arrive pas à le montrer

Ok.
Dans ce cas, appelons P la matrice de passage et C1,...,Cn ses colonnes. Par définition d'une matrice de passage, les colonnes C1,...,Cn de P sont les coordonnées des éléments de la base B'=(f1,...,fn) dans la base B=(e1,...,en).
Ces colonnes forment des vecteurs de R^n et on a le produit scalaire de R^n donné par : <X,Y>=^tXY.

Essaie de montrer que <Ci,Cj>=1 si i=j et 0 sinon.
Après quoi tu peux en déduire que la famille (C1,...,Cn) est orthonormée puis que P est orthogonale (pour rappel, ^tPP_ij = ^tC_iC_j.)

J'ai compris la démarche mais j'arrive pas à montrer <Ci,Cj>=1 si i=j et 0 sinon
En fait j'arrive pas à faire le rapprochement entre les colonnes Ci et les bases orthonormés

Ok, alors je précise un peu plus les choses.
Je note p_ij les coeff de la matrice de passage P définie dans mon poste.
Par définition d'être une matrice de passage, les colonnes de P sont les coordonnées des vecteurs f1,...,fn exprimé dans la base (e1,...,en), c'est à dire :
   et   .


Mais que vaut <C_i,C_j> et que vaut <f_i,f_j> ?

<f_i,f_j>=P_i,i

<fi,fj>=Pi,i si i=j et 0 sinon
et c'est aussi égal à 1 si i=j et 0 sinon

Non, je vois pas comment <f_i,f_j> pourrait etre égale seulement à p_ii.
Fais le calcul explicitement avec les sommes etc. Ca vient tout seul.

non pardon si j'ai bien compris <f_i,f_j>=P_i,j²   ?

Toujours pas.
Encore une fois, pose ton calcul et ca vient tout seul :
De meme, calcul <P_i,P_j>.

J'ai mal écrit un indice dans la deuxieme somme en copiant-collant : il faut lire

Oulà en fait, j'ai vraiment du mal dans les deux cas j'obtiens  

Parfait !
Tu viens ainsi de montrer que <C_i,C_j>=<f_i,fj>, mais que sait-on sur la base (f1,...,fn) ?

mais on a aussi <fi,fj>= 1 si i=j 0 sinon

mais c'est aussi égal à <Ci,Cj> et on en conclut que A est orthogonale

Oui, on en déduit que les colonnes de P ( ou A comme tu veux ^^ ) sont orthogonales entre elles puis en calculant le produit ^tPP on trouve bien I_n.

Merci beaucoup  Narhm

De rien

Juste je viens de remarquer un truc, en fait ici si j'ai bien compris il y a une petite subtilité car on calcule
<Ci,Cj> on utilise le produit scalaire de Rⁿ
alors que quand on calcule <fi,fj> on utilise le produit scalaire de notre espace euclidien càd celui pour lequel les bases B et B' sont orthonormés
En fait il y a deux produit scalaires différents et c'est ce qui permet de comparer l'endomorphisme (donné par la matrice de l'identité pour B et B') et à la matrice
C'est bien ça ?
En tout cas, vraiment merci pour le temps que tu m'a accordé

Effectivement, tu as mis le doigt ou il faut.
On est en présence de deux produits scalaires : le canonique de R^n et un autre définit sur l'espace vectoriel ambiant de dimension n . Ainsi tu as bien raison, <Ci,Cj> correspond au produit scalaire de R^n mais <fi,fj> correspond à un autre produit scalaire.