Bonjour,

Comment par choisir opportunément une inconnue x.
Puis exprimer DF en fonction de x.

Nicolas

Par exemple, pose AE = x.

En utilisant le théorème de Thalès, exprime DE en fonction de x.

En utilisant le théorème de Thalès, exprime EF en fonction de x.

Déduis-en l'expression de DF² en fonction de x.

DE en fonction de x :
AE/AC = DE/BC = AD/AB  donc X/5 = DE/4 = AD/3
DE = Xx4/5
   = 4X/5


EF en fonction de x :
AE/AC = BF/BC = EF/AB donc X/5 = BF/4 = EF/3
EF = Xx3/5
   = 3X/5

DF² = DE² + EF²
    = (4X/5) + (3X/5)
    = 7X/5
    = ...
    

Attention, pour "EF en fonction de x", tu utilises mal le théorème de Thalès.

CE/CA = CF/CB = Ehttps://www.ilemaths.net/sujet-fonctions-geometrie-404621.html#msg3429980F/AB
CE/5 = CF/4 = EF/3

Euh...à part ça je vois pas. =S

OK.
CE/5 = EF/3
donc EF = 3.CE/5
Reste à exprimer CE en fonction de x. Ce n'est pas bien dur.

CE = 5 - X
Donc EF = 3.5-X/5

DF² = DE² + EF²
DF² = (4X/5) + (15X/5)
DF  = 19X/5

Je ne comprends pas ton "EF = 3.5-X/5"
EF est égal à 3*(5-x)/5

La suite du calcul (DF²) est fausse. Où est passé le "5-x" ?

Oups' j'ai oublié de mettre au carré!

DF² = (4X/5)² + (15X/5)²
    = 16X²/25 + 225X²/25
DF  = 241X²/25

Je ne comprends toujours pas.
EF = 3*(5-x)/5
Comment passes-tu à EF² = (15x/5)² ?

Désolé, le point voulait dire fois.
. = *

3 . 5-X/5 = 3 * 5-X/5
J'avais oublié les parenthèses donc maintenant avec les parenthèses : 3*(5-X)/5
EF = 3*(5-X)/5
EF = 15-3X/5

Attention, il manque des parenthèses dans la dernière ligne.
EF = (15-3x)/5

Finalement, quelle expression de DF² en fonction de x trouves-tu ?

Ah oui merci!

DF² = (4X/5)² + ((15-3x)/5)²
    = 16X²/25 + ((15-3X)²/25)

Il faut que je développe (15-3x)² là, non?

Développe, mets sur le même dénominateur, etc... jusqu'à avoir une expression propre.

16X²/25 + (225-90X+9X²)/25
16X² + 225-90X+9X²/25
25X²+225+90X /25

à partir de là je bloque et je ne suis pas sûre que le calcul soit fini.

Je n'ai pas vérifié ton calcul.
Apparemment, tu peux un peu simplifier.
Puis trouve le minimum (c'est un trinôme du second degré).

25x²+45*5-90X/5*5

25X²+45-90X/5

Par contre, j'ai pas encore appris le trinôme du second degré

La première ligne est fausse.
Il manque encore des parenthèses.
DF² = (25x²-90x+45*5)/(5*5)
Continue en simplifiant numérateur et dénominateur par 5.

Tu peux plutôt en rester à :
DF² = ( 25x² - 90x + 225 ) / 25
Tu reconnais dans la parenthèse le début d'une identité remarquable :
DF² = ( (5x)² - 2*5x*9 + 225 ) / 25
DF² = ( (5x)² - 2*5x*9 + 9² - 9² + 225 ) / 25
DF² = ( (5x-9)² - 9² + 225 ) / 25
DF² = ( (5x-9)² + 144 ) / 25
Un carré est toujours positif.
Donc DF² est minimum quand ce carré est nul, c'est-à-dire quand x = 9/5.
Sauf erreur.

J'ai déjà simplifié numérateur et dénominateur.

(25X²+45-90X) / 5   => J'ai supprimé le chiffre 5 en haut et en bas
(25X²+45-30X²) /5   => 90X = 30X²
(-5X²+45) /5

Mais où faut-il placer le point E dans ce cas?

Non, non.
Quand tu simplifies par 5, il faut diviser tous les termes du numérateur par 5, pas uniquement celui du milieu !
Nouvelle erreur dans la ligne d'en-dessous : tu écris que 90x = 30x², c'est-à-dire que x = 3. Rien ne te permet de dire cela !

(5X²+45-18X) / 5

Voilà j'ai tout divisé par 5! =)

Ah oui, d'accord!
x représente AE. Donc DF est minimum à 9/5 donc C'est ici que ce trouve le point E!

OK avec ta division par 5.

Merci beaucoup!!

(réalisé avec Geogebra)

Merci aussi pour le graphique! Normalement, j'ai compris ^^

Je t'en prie.

Une version interactive et dynamique de l'image ci-dessus est disponible au bout du lien suivant : http://www.geogebratube.org/student/m102599
(déplacer le point E à la souris et la figure s'adapte automatiquement)