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Triangle isocèle et médiane
bonjour,
comment démontrer qu'un triangle ABC isocèle en A a deux médianes de même longueurs ?
on me conseille d'utiliser la symétrie axiale avec la médiane partant de A mais je ne sais pas comment m'y prendre.
Pouvez-vous m'éclaircir, s'il vous plait.
Merci
Bonjour,
Moi j'aurais dit : les deux triangles BIC et BJC ont un angle égal (JCB=CBI parce que le triangle est isocèle) compris entre deux cotés égaux (CJ=BI car tout deux égaux à la moitié des cotés AB et AC qui sont égaux) et BC qui leur est commun.
Ces deux triangles sont donc égaux (c'est le deuxième cas d'égalité des triangles), et leur troisième coté aussi, donc BJ=CI.
Merci Glapion.
Et inversement, pour démontrer que si deux médianes sont de meme longueurs, le triangle est isocèle.
Je sais pas si je peux partir d'une propriété pour démontrer?
on me conseille d'utiliser la symétrie axiale avec la médiane partant de A
Si cela est spécifié dans l'énoncé, tu devrais également étudier ce cas
Inversement, c'est un peu plus délicat. On peut y arriver avec le théorème de la médiane 
On écrit donc :
AB²+BC²=AC²/2+2BI²
AC²+BC²=AB²/2+2CI² et on soustrait les deux équations :
AB²-AC²=AC²/2-AB²/2 (le reste est nul puisque les deux médianes sont égales)
Ca donne 3AB²=3AC² donc AB=AC, le triangle est bien isocèle.
On peut y arriver avec le théorème de la médiane
Ce n'est pas au programme de seconde.
(normal que tu aies des soucis de compréhension)
mais je sais pas comment m'y prendre.
As-tu tracé ton triangle et les 3 médianes ?
Pour faire ta démo, tu peux t'aider des propriétés du segment moyen d'un triangle ainsi que de la médiane issue de A qui est aussi une...
Eh bien si tu appelles m et n les points du segment moyen (points d'arrivée de tes médianes) tu dois quand même réussir à voir que n est l'image de m par symétrie axiale, l'axe étant la médiane issue de A. Mais pour que cela fonctionne, il faut que mn soit perpendiculaire à l'axe, d'où l'histoire des hauteurs...
Merci, donc chaque médiane du triangle isocèle est aussi une hauteur?
Absolument pas. Uniquement celle issue du sommet de référence, à savoir A ici. Et c'est précisément ce qui nous intéresse...
Pouvez-vous me montrer où vous voulez en venir, après je continuerai moi-même et je vous demandrez de vérifier. SVP
As-tu compris que n est l'image de m et que C est l'image de B, par symétrie axiale ? (selon axe défini plus haut)
As-tu compris que l'intersection O des 2 médianes (de B et C) est sur la hauteur (médiane) issue de A ?
Au vu de ça, tu as Om = On et OB = OC 
les médianes issues de B et de C sont isométriques.
Dans le triangle ABC, isocéle en A on a,
AB=BC
I milieu de [AB] et J milieu de [AC].
la mediane issue de A est aussi l'axe de symétrie de [IB] et [JC].
Donc IB=IC.
et IC=JB
C'est bien ça?
Donc IB=IC.
IB = JC , pas IC
On peut conclure de différentes façons. La plus simple :
Le segment IB est l'image du segment JC par symétrie axiale (selon axe défini)
BJ = ICJ'ai le même exercice à faire et je ne sais pas comment faire la réciproque, pour démontrer que si deux médianes sont de même longueur, le triangle est isocèle. Merci d'avance.
Oui j'ai vu mais en cours, on n'a pas encore vu cette démonstration donc je pense qu'il y a un autre moyen de le démontrer.
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