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limite de la fonction exponentielle

Posté par
just41night 22-04-11 à 15:34

Bonjour

j'ai un problème de compréhension concernent la limite de la fonction exponentielle ...
lorsque je rencontre une forme indeterminer je n'arrive pas a lever cette derrière
par exemple si je doit trouver la limite en +oo de (ex-x)/(2ex+3)
pour trouver cette limite j'ai essayer de mettre ex en facteur ce qui me donne:
[1-(x/ex)]/[2+(3/ex)] mais la encore je suis en face d'une forme indetermineé car x/ex est de la forme /

est ce que j'ai le droit de parler de croissances comparées dans le cas de x/ex ou on peut parler de croissances comparées que dans 3cas c-a-d :
pour    ex/x en + = +
pour    (ex-1)/x en 0 qui est égale a 1
et pour xex en - =1

MERCI

Posté par
mdr_nonre : limite de la fonction exponentielle 22-04-11 à 15:45

bonjour

Citation :
mais la encore je suis en face d'une forme indetermineé car x/ex


e^x/x n'est pas indéterminé (c'est un résultat du cour)

\Large \textrm \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty


donc, on peut trouver l'inverse 1/(e^x/x) = x/e^x  et   1/+inf = 0+:

\Large \textrm \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = 0^+

tu comprends ça ?

Posté par
mdr_nonre : limite de la fonction exponentielle 22-04-11 à 15:49

ensuite oui, tu as le droit d'utiliser (e^x - 1)/x en 0 égale à 1  (dérivabilité de exp en 0)

et par contre:

4$ \rm \lim_{x \to -\infty}\ x.e^x = 0

Posté par
mdr_nonre : limite de la fonction exponentielle 22-04-11 à 15:52

4$ \rm \frac{e^x - x}{2e^x + 3} = \frac{e^x\(1 - \frac{x}{e^x}\)}{e^x\(2 + 3.e^{-x}\)} = \frac{1 - \frac{x}{e^x}}{2 + 3.e^{-x}\)}

maintenant, avec ce que je t'ai dis sur x/e^x   tu peux trouver la limite, il n'y a aucune indétermination en mettant e^x en facteur ...

Posté par
just41nightre : limite de la fonction exponentielle 22-04-11 à 15:53

a oui d accord je pense avoir compris .. je ne savais pas que je pouvais faire l'inverse merci
donc pour  (ex-1)/x on peut faire la même chose ?

le problème c'est que j'ai pas les résultats du cour... est ce que il n'ya  que les 3 que j'ai cité ou il y en a encore d'autre ?

Posté par
mdr_nonre : limite de la fonction exponentielle 22-04-11 à 15:58

pour  (e^x - 1)/x   c'est une autre chose:



On sait que la fonction exponentielle est dérivable en 0
et   exp'(0) = 1

------------------

On sait aussi que:

Une fonction f est dérivable en   a
4$ \rm \Leftright \, \lim_{x \to a}\ \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f^'(a)


j'applique cette formule à la fonction exponentielle en 0:

4$ \rm \red \lim_{x \to 0}\ \frac{e^x - e^0}{x - 0} = \lim_{x \to 0}\ \frac{e^x - 1}{x} = \exp^'(0) = 1




tu comprends le résultat de cette limite maintenant? (mais ici on a pas besoin de l'appliquer

Posté par
just41nightre : limite de la fonction exponentielle 22-04-11 à 16:03

ahhhhhhhhhhhhhhhh j'ai compris merci BEAUCOUP

Posté par
mdr_nonre : limite de la fonction exponentielle 22-04-11 à 16:04

tu veux savoir si il y a d'autre résultat de limite remarquable


pour la fonction exponentielle je pense que c'est tout.

4$ \rm \fbox{ \lim_{x \to +\infty}\ e^x = +\infty \\ \\ \lim_{x \to -\infty}\ e^x = 0 \\ \\ \lim_{x \to +\infty}\ \frac{e^x}{x^n} = +\infty \\ \\ \lim_{x \to -\infty}\ e^x.x^n = 0 \\ \\ \lim_{u \to 0}\ \frac{e^u - 1}{u} = 1}

Posté par
just41nightre : limite de la fonction exponentielle 22-04-11 à 16:18

merci infiniment mdr_non vous étés  le roi de l'ile!!!!... vous me donner l'envie de faire des maths alors qu'à la base je n'aime pas trop ...

Posté par
mdr_nonre : limite de la fonction exponentielle 22-04-11 à 16:22

(^^)!

de rien.. bonne continuation !

Posté par
just41nightre : limite de la fonction exponentielle 22-04-11 à 23:13

mdr_non je ne voudrai pas trop vous embetez avec ca mais j'ai encore une question concernant les limites d ex   en faite j'aimerai savoir si il y a une "methode" pour savoir si on doit mettre en facteur ou utiliser le conjuguee ?
par exemple si on me demande de calculer la limite en + de (x2+x)-x moi au debut je vais mettre x2 en facteur et puis a la fin je vais me rendre compte que cela ne permet pas de lever l'indetermination ... donc je doit utiliser la quantite conjuguee ... mais pour ne pas perdre de temps comment aurais-je pu le savoir avant ?

Posté par
mdr_nonre : limite de la fonction exponentielle 23-04-11 à 05:48

il n'y a pas vraiment de méthode


le plus souvent, quand tu rencontre l'indétermination   /  OU   -   
il faut mettre le terme de plus haut degré (ou la fonction qui croit le plus vite) en facteur
dans ton cas c'était e^x en facteur

si tu rencontre l'indétermination   0/0   il faut utiliser la dérivabilité (taux de variation)


lorsque tu as à faire à des radicales, on utilise le plus souvent le conjugué,


ici:
((x² + x) - x)((x² + x) + x)/((x² + x) + x) = (x² + x - x²)/((x² + x) + x) = x/((x² + x) + x)

ici tu verras qu'on trouve alors,  /
On met alors le terme de plus haut degré en facteur, (au dénominateur c'est x)

>>>


(x² + x) = [x²(1 + 1/x)] = x²(1 + 1/x)


maintenant, tu as du apprendre que:
(a²) = a   SI   a > 0
(a²) = -a  SI   a < 0

ici on calcul la limite en +inf, on peut considérer  x > 0

donc x²(1 + 1/x) = x(1 + 1/x)


et maintenant, (x² + x) + x = x((1 + 1/x) + 1)




et donc  x/((x² + x) + x) = 1/((1 + 1/x) + 1)


plus d'indétermination

Posté par
mdr_nonre : limite de la fonction exponentielle 23-04-11 à 05:53

tu comprends ?


mais dans un devoir tu n'en rencontreras qu'une seule, de limite comme ça! ça prend du temps et demande
assez de rigueur...


pour savoir quoi appliquer, tu peux te contenter de ce que je t'ai dis plus haut

sinon   en faire beaucoup de calcul de limite, tu verras qu'au bout d'un certain temps, tu auras des automatismes ...

Posté par
just41nightre : limite de la fonction exponentielle 23-04-11 à 12:18

oui j'ai une fois de plus tres bien compris grace vos explications si bien detaille merci beaucoup        
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Citation :
...en faire beaucoup de calcul de limite..

je suis en train de faire beaucoup d'exercices et si jamais j'ai d'autres questions sur la fonction ex pourrai-je vous demader ici? ou vaut mieux que je cree un nouveau topic?

Posté par
mdr_nonre : limite de la fonction exponentielle 23-04-11 à 12:39

je sais pas.(comme tu veux.tu ne seras certainement pas pénalisé en postant d'autre limite ici!)


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