Bonjour à tous!!
Voila j'ai un paquet d'exercice à faire en maths et il s'avère que c'est la matière où je m'en sort le moins! Votre aide m'est donc indispensable tout au long de ces soi-disant vacances..
Merci à tous et à toutes!

On a la fonction f(x)= α²xe^(αx), où α désigne une constante réelle strictement positive. Cette fonction est couramment utilisée pour modéliser le courant unitaire des synapses.
1) Quel est le développement limité de cette fonction à l'ordre 3 au voisinage de x=0?
2) Faire une étude complète de cette fonction .



A. On considère la fonction g définie sur ]0,+inf[ par g(x)= x²-2ln(x) .
1) Etudier le sens de variation de g.
2) En déduire le signe de g(x) sur ]0,+inf[

B. On considère la fonction f définie sur ]0,+inf[ par f(x)= x/2 +((1+ln(x))/x). On appelle C la courbe de f dans un repere orthonormé.

1) a/ Déterminer la limite de f en 0.

2) a/ Déterminer la limite de f en +inf
b/ Montrer que la droite delta d'équation y= x/2 est asymptote à la courbe C.
c/ Déterminer la position de C par rapport à delta sur ]0,+inf[. Montrer en particulier que delta coupe C en un point A que l'on déterminera.

3) Montrer qu'il existe un point B et un seul de la courbe C où la tangente T à C est parallèle à delta. Préciser les coordonnées de B.

4) Montrer que l'équation f(x) = 0 à une solution unique α.