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restes d une division euclidienne par 11
1) Trouver suivant les valeurs de l'entier naturel n, le reste de la division de 3^n par 11
2) En déduire, suivant la valeur du naturel m, les restes de la division euclidienne par 11 des nombres :
A = 1978^m
B = 451^5m + 421^4m + 421^3m + 421^2m + 421^m
on distinguera cinq cas selon la valeur du reste de la division euclidienne de m par 5
La question 1 est faite mais la question 2 me pose plus de poblèmes...
comment tu résoud la question 1?
Pour n=5k, le reste vaut 1
n=1+5k, le reste vaut 3
n=2+5k, le reste vaut 9
n=3+5k, le reste vaut 5
n=4+5k, le reste vaut 4
avec k un entier naturel
Par contre je bloque toujours pour la question 2.
Bonjour
pour la question 2A applique ce que tu as trouvé en 1 : 1978=5k+3 d'où reste=5
Je retire ce que j'ai écris. avec mes excuses.
On a 1978 9 (modulo 11)
19782 4 (modulo 11)
19783 3 (modulo 11)
etc ...on retrouve le cycle 9, 4, 3, 5 et 1 pour toutes les puissances de 1978. Remarque : l'ordre du cycle est différent pour 1978 que pour 3.
Pour m = 5k, 19785k 1 (modulo 11)
Pour m = 5k+1, 19785k+1 9 (modulo 11)
Pour m = 5k+2, 19785k+2 4 (modulo 11)
Pour m = 5k+3, 19785k+3 3 (modulo 11)
Pour m = 5k+4, 19785k+4 5 (modulo 11)
Pour le 2 B, il faut étudier les résidus de 421 (attention du as tapé 451 pour l'exposant 5m est-ce bon ?) puis additionner tous les résidus dans chaque cas (les 5 cas) d'exposants.
(mes calculs à vérifier)
Bonjour,
pour utiliser les résultats du 1).
1978 est congru à 3² modulo 11
alors 1978^n est congru à 3^(2n) modulo 11.
Si n est congru à 0 modulo 5, 2n est congru à 0 modulo 5 et le reste est 1
Si n est congru à 1 modulo 5, 2n est congru à 2 modulo 5 et le reste est 9
etc...
3(modulo 11) et donc on trouve les restes facilement
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