Niveau Licence Maths 1e ann

Nombres complexes

Posté par
jimijims 15-12-13 à 18:58

Bonsoir,

En pleine révisions pour mes partiels, je bloque sur un autre exercice portant sur les complexes, mais avant cela j'avais une question :
Voici les égalités que j'ai dans mon énoncé :
$a = z + \overline{z}, z^2(a^2 + a - 1) = 1 + z + z^2 + z^3 + z^4, z \neq 1.$
Je connais également les racines cinquièmes de 1.
Je dois déduire que $cos(\frac{2\pi}{5}) = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{4}$ .
Je remarque que les solutions de $a^2 + a - 1$ sont $a_1 = \dfrac{- 1 - \sqrt{5}}{2}$ et que $a_2 = \dfrac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$ et que $cos(\frac{2\pi}{5}) = cos(\frac{8\pi}{5})$ mais pourquoi $cos(\dfrac{2\pi}{5}) = a_2 \times \frac{1}{2}$ ?

Sinon pour l'exercice sur lequel je bloque le voici :
On veut calculer $cos(\frac{2\pi}{5})$ et $sin(\frac{2\pi}{5})$ . Pour cela, on pose $a = 2cos(\frac{2\pi}{5}), b = 2cos(\frac{4\pi}{5})$ et $z = e^{i\frac{2\pi}{5}}$
1) Vérifier que $a = z + z^4$ et $b = z^2 + z^3$
J'ai su le faire.
2) Montrer que $1 + z + z^2 + z^3 + z^4 = 0.$
J'ai calculé les racines 5ème de 1, et l'une de ces racines est $z = e^{i\frac{2\pi}{5}}$ donc cela fait bien 0.
3) Calculer $a + b$ et $a \times b$ .
Pour calculer $a + b$ , puis-je dire que comme $1 + a + b = 0$ alors $a + b = - 1$ ?
Pour $a \times b$ , dois-je utiliser $a = z + z^4$ et $b = z^2 + z^3$ ?
4) En déduire a et b puis les valeurs exactes de $cos(\frac{2\pi}{5})$ et $cos(\frac{2\pi}{5})$ .
Je suppose que je vais devoir trouver combien vaut a et le diviser par 2 ?
5) En déduire au moyen d'une formule trigonométrique la valeur exacte de $cos(\frac{\pi}{5})$ et $sin(\frac{\pi}{5})$ .

Merci d'avance !

Posté par re : Nombres complexes 15-12-13 à 21:38

Tu aurais gagné à séparer les deux exercices pour moins décourager les réponses (et cela aurait été plus conforme à A LIRE AVANT DE POSTER).

Les racines de $1 + z + z^2 + z^3 + z^4$ sont les racines cinquièmes de l'unité différentes de 1 (factorisation de $1 - z^5$ ). Elles annulent donc aussi le premier membre et comme elles ne sont pas nulles elles annulent $a^2 + a - 1$ .

Or a est la partie réelle de z. Regarde alors le signe des parties réelles des racines cinquièmes de l'unité différentes de 1 (connues par leur forme exponentielle et trigonométrique) pour conclure.

Posté par re : Nombres complexes 15-12-13 à 21:54

Citation :
Or a est la partie réelle de z

Pardon, le double de la partie réelle de z.

Citation :
mais pourquoi $cos(\dfrac{2\pi}{5}) = a_2 \times \frac{1}{2}$ ?

Justement pour ça.

Posté par re : Nombres complexes 15-12-13 à 22:04

Mais pourquoi a est le double de la partie réelle de z ?

Posté par re : Nombres complexes 16-12-13 à 08:05

$z = x + iy \\ \overline{z} = x - iy \\ a = z + \overline{z} = 2x$

Posté par re : Nombres complexes 16-12-13 à 08:58

3)

a+b = -1 (OK)

a*b = (z+z^4).(z²+z³) = z³(1+z³).(1+z) = z³.(1+z+z³+z^4) = z³.(-z²) = -z^5 = -e^(i.2Pi) = -1
---
4)

a+b = -1
a*b = -1

a = -b-1
-b²-b = -1
b²+b-1 = 0

b = (-1 +/- V5)/2

Avec b = 2.cos(4Pi/5), comme 4Pi/5 est dans le 2eme quadrant, b < 0 --->
b = (-1 - V5)/2

et a = -2/(-1 - V5) = -2(-1+V5)/(-4) = (-1+V5)/2
---
5)

cos(2Pi/5) = a/2 = (-1+V5)/4
cos(4Pi/5) = b/2 = -(1+V5)/4
-----
Sauf distraction.

Posté par re : Nombres complexes 16-12-13 à 15:42

Bonjour

en ce qui concerne cet exercice :

Citation :
On veut calculer $cos(\frac{2\pi}{5})$ et $sin(\frac{2\pi}{5})$ . Pour cela, on pose $a = 2cos(\frac{2\pi}{5}), b = 2cos(\frac{4\pi}{5})$ et $z = e^{i\frac{2\pi}{5}}$
1) Vérifier que $a = z + z^4$ et $b = z^2 + z^3$
J'ai su le faire.
2) Montrer que $1 + z + z^2 + z^3 + z^4 = 0.$
J'ai calculé les racines 5ème de 1, et l'une de ces racines est $z = e^{i\frac{2\pi}{5}}$ donc cela fait bien 0.
3) Calculer $a + b$ et $a \times b$ .
Pour calculer $a + b$ , puis-je dire que comme $1 + a + b = 0$ alors $a + b = - 1$ ?
Pour $a \times b$ , dois-je utiliser $a = z + z^4$ et $b = z^2 + z^3$ ?
4) En déduire a et b puis les valeurs exactes de $cos(\frac{2\pi}{5})$ et $cos(\frac{4\pi}{5})$ .
Je suppose que je vais devoir trouver combien vaut a et le diviser par 2 ?
5) En déduire au moyen d'une formule trigonométrique la valeur exacte de $cos(\frac{\pi}{5})$ et $sin(\frac{\pi}{5})$ .

Question 1 :
$z + z^4 = e^{i\frac{2\pi}{5}} + e^{i\frac{8\pi}{5}} = e^{i\frac{2\pi}{5}} + e^{i\frac{-2\pi}{5}} = 2\cos (\frac{2\pi}{5}) = a$
$z^2 + z^3 = e^{i\frac{4\pi}{5}} + e^{i\frac{6\pi}{5}} = e^{i\frac{4\pi}{5}} + e^{i\frac{-4\pi}{5}} = 2\cos (\frac{4\pi}{5}) = b$

Question 2 :
$z\ne 1$ , donc $1 + z + z^2 + z^3 + z^4 = \dfrac{1-z^5}{1-z}.$ (somme de termes d'une suite géométrique ...) or $z^5 = e^{i\frac{10\pi}{5}}=1$ . Donc $1 + z + z^2 + z^3 + z^4 =0$

Question 3 :
$a + b = (z + z^4) + (z^2 + z^3) = (1 + z + z^2 + z^3 + z^4) - 1 = -1$
$ab=(z + z^4)(z^2 + z^3) =z^3 + z^6 + z^4 + z^7 \\ = z^3 + z^{5+1} + z^4 + z^{5+2}=z^3 + z + z^4 + z^2$ (car $z^5 = 1$ )
donc $ab = a+b = -1$

Question 4 :
a et b sont les deux racines de l'équation (x-a)(x-b) = 0, autrement dit x² - (a+b)x + ab = 0, autrement dit x² + x - 1 = 0 : $\Delta = 5$ , $a,b = \dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$

pour savoir laquelle des racines est a et laquelle est b, on regarde leur signe : a est positif, et b négatif, donc
$a = \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$ et $b = \dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$
$\cos (\frac{2\pi}{5}) = \dfrac{a}{2} = \dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$ et $\cos (\frac{4\pi}{5}) = \dfrac{b}{2} = \dfrac{-1-\sqrt{5}}{4}$

Question 5 :
$\cos(2x) = 2\cos^2x -1$ , donc $\cos x = \pm\dfrac{\sqrt{\cos(2x)+1}}{2}$ (plus si x entre - pi/2 et pi/2 modulo 2 pi, moins sinon)

appliqué avec $x = \dfrac{\pi}{5}$ , ça donne
$\cos \dfrac{\pi}{5} = \dfrac{\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}+1}}{2} = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{5}}{4}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{6+2\sqrt{5}}{8}} \\ =\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{5+2\sqrt{5}+1}{8}} =\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{(\sqrt{5}+1)^2}{8}} =\dfrac{\sqrt{5}+1}{4\sqrt{2}}$

j'ai un peu la flemme de $\text{[math]}$ ifier le calcul analogue du sinus, en partant de $\cos(2x) = 1-2\sin^2x$ ...

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