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doc en sept page
amethyste
bonjour
ici un doc en sept pages je posterai ce qui reste de la page 6 et de la page sept avant mardi matin
le sujet est:
assertion :Il n'existe pas d'objets en soi . le prouver en utilisant la géométrie affine
ici il est inutile d'écrire en LATEX vu que c'est lisible
page 1/7 (la démo en tant que telle est à la page 7)
assertion :Il n'existe pas d'objets en soi et cela en utilisant que la géométrie affine
En partant du principe que l'existence d'un objet est liée au fait
qu'il soit possible de definir un referenciel par lequel on puisse en donner les propriétes
et que en fait on a les quatre équivallences logiques
I objet existe <=> données sur l'objet existe
II données sur l'objet existe <=> referentiel par lequel on peut obtenir ces données existe
ce referentiel on va l'appeler {B,N}
III referentiel {B,N} par lequel on peut obtenir ces données existe(ici je parle pas des données que l'on puisse avoir sur lui mais le fait qu'il existe ces données)
<=>ce referentiel {B,N} existe independemment de l'existence d'autres referenciels
IV ce referentiel {B,N} existe independemment de l'existence d'autres referenciels<=> {B,N} existe en soi
Alors dans ce cas si je prouve qu'il faut au moins un autre referenciel et different de {B,N} -on va l'appeler {A,M} -
par lequel on puisse avoir la preuve que le referenciel{B,N} existe et dans le cas contraire son existence n'est pas prouvable donc ne releve pas des faits
je prouve de fait que {B,N} n'existe pas en soi puisque sans au moins l'autre referenciel il n'existe aucun fait qui puissent confirmer son existence
Developpement didactique:
tout d'abord on se place dans ce qu'on appelle l'espace affine euclidien à trois dimensions (ce que communément on appelle l'espace 3D)
et on simplifie cet espace là en ne considérant que dans celui-ci seul existe les points et les référentiels
un referentiel est un couple formé d'un point O(dit origine du repere )et d'une base M on note ce référentiel {O,M}
soient deux référenciels {A,M} et {B,N} alors ces deux référenciels sont identiques si et seulement si
A et B désignent le même point on obtiens A = B et si en plus les deux bases M et N sont identiques on obtiens M = N
par conséquent les deux référenciels {A,M} et {A,N} sont différents si et seulement si M |= N ( |= symbole pour non égal)
communément une base se représente par trois droites normées non colinéaires et non coplanaires ce qui permet de positionner un point
non colinéaires parce qu'elles ne se confondent pas
non coplanaires parce que la troisième ligne n'est pas situé sur le plan formé par les deux autres
normés parce que tout point situé sur l'une de ces droites est positionnable en terme de distance à partir d'une origine et dans un sens positif ou negatif
cependant il faut aussi que ces trois droites soient sécantes
si ces conditions sont remplies alors il existe un seul et unique point O qui constitue l'origine de ce referentiel:
il s'agit du point par lequel sont sécantes ces trois droites
tout point positionné à partir d'un referenciel se defini par trois composantes réelles c'est à dire par trois nombres réels, l'ensemble des nombres réels se note |R
ces trois nombres réels sont la position de la projection orthogonale de ce point sur chacunes des droites qui constituent la base
l'espace affine euclidien à trois dimension se note |R^3
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Avant de continuer on va décrire l'espace vectoriel euclidien
la notation pour designer l'espace vectoriel euclidien est identique à celle qui designe l'espace affine euclidien
par consequent quand on parlera de l'un ou de l'autre à la notion associée on dira expressement de quel espace on parle
en effet l'espace vectoriel euclidien se note de même |R^n où n est un entier naturel de l'ensemble |N*={1,2,3,4,...}
l'etoile associée à cet ensemble |N={0,1,2,3,...} declare que l'element 0 de |N n'appartiens pas à cet ensemble |N*
de même l'ensemble |R* ne possede pas l'élément 0
de la même maniere l'espace affine euclidien se note |R^n on devra donc expressement préciser duquel on parle
deux précisions à apporter ici l'une pour information l'autre est plus importante
quand on dit espace vectoriel ou affine |R^n on parle ici d'un espace de dimension finie -on dit plus correctement espace fini:attention à ne pas condondre
avec une finitude de distance-puisque n est un element de |N*, l'ensemble |N étant infini
il existe aussi la possibilitée de definir des espaces vectoriels ou affines de dimensions infinis mais ici il s'agit juste d'une information car dans tout ce qui suit
de tels espaces seront ignorés de plus cette notation |R^n ne reste plus valable pour de tels espaces
l'autre précision qui s'avere utile de donner concerne la notation |N_n ou |N_n* ces deux ensembles sont finis selon
|N_n={0,1,2,...,n} et ici n appartiens à |N
|N_n*={1,2,...,n} et ici n appartiens à |N*
par consequent on pourrait tout aussi bien noter |R^n avec n appartiens à |N_n* pour un espace vectoriel ou affine fini mais cette notation alourdie le propos
et de plus elle est inutile
par contre et cela est plus important à re-dire la notation |R^n avec n appartiens à |N* n'en reste pas moins non valable pour designer
un espace vectoriel ou affine infini
Bref ...dans l'espace vectoriel euclidien à n dimensions -donc fini- |R^n les seuls objets existants sont des vecteurs et des bases
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Avant de continuer on va décrire un peu les points de l'espace affine et les vecteurs de l'espace vectoriel
bien que pour le propos deux précisions devront êtres apportées en ce qui concerne les vecteurs
la premiere est de definir les lois auquels ils sont soumis
la seconde est de definir le rapport qu'entretiennent entre eux les vecteurs et les bases (ce qui obligera à aborder juste ce qu'il faut concernant les matrices nXp)
pour simplifier et mieux visualiser mentalement le propos dans ce qui suit on parlera d'espace à trois dimensions
un point P=(p_1,p_2,p_3) possede ici donc trois composantes p_i qui le positionne
ces composantes on les appelles des scalaires
si on prend deux points P=(p_1,p_2,p_3) et Q=(q_1,q_2,q_3)
alors si donc ces points sont un seul et même point on a
p_1=q_1 , p_2=q_2 , p_3=q_3
sinon ils sont distincts
dans ce cas on peut construire un segment de droite PQ
quand on parle du vecteur vec {V}=vec {PQ}=(v_1,v_2,v_3)=(q_1-p_1,q_2-p_2,q_3-p_3)
la notation vec {...} signifiant que se qui se trouve entre les symboles { et } est un vecteur
donc ici v_1=q_1-p_1 , v_2=q_2-p_2 , v_3=q_3-p_3
en le nommant vec{PQ} on imagine une fleche partant du point P on le nomme point d'application du vecteur et arrivant au point Q
mais si on dit vec {V}=vec {PQ}=(v_1,v_2,v_3) sans que l'on connaisse la position des deux point P et Q
alors on ne peut pas dire que par les informations dont on dispose sur ce vecteur et qui sont les scalaires v_i
que l'on puisse considerer que ce vecteur possede un point point d'application
ce qui compte chez un vecteur c'est la longueur du segment des deux points qui le compose,sa direction et son sens
pour visualiser on peut prendre deux droites paralleles dans l'espace elles ont mêmes direction et pourtant elles sont distinctes de plus
si on imagine un point se baladant sur l'une des droites et pareil un autre point se baladant sur l'autre droite
on peut voir si ces points vont dans le même sens et la longueur qu'il parcourent
ce qui fait que si deux vecteurs ont mêmes direction et même sens et de plus ont même longueur(la "longueur d'un vecteur se nomme norme d'un vecteur)
bien en fait il s'agit du même vecteur même si ils n'ont pas le même point d'application
ce qui fait prenons quatre points P,Q,F,G tels que
vec {V}=vec {PQ}=vec {FG}=(v_1,v_2,v_3)=(q_1-p_1,q_2-p_2,q_3-p_3)=(g_1-f_1,g_2-f_2,g_3-f_3) alors bien que ces points puissent êtres tels que F |= P et G |= Q
rappel ici la notation |= signifie non égal
et bien cela n'empêche que vec {PQ}=vec {FG}=(v_1,v_2,v_3) de plus les informations v_i ne permettent pas de connaitre les positions de ces points
parler d'un vecteur en le decrivant uniquement que par ses composantes c'est parler d'un vecteur dont le point d'application est l'origine du repere par lequel
on definit les positions de tout point
et un vecteur nul est en fait un vecteur dont la norme est nulle
pour un vecteur vec {V}=(v_1,v_2,v_3)
sa norme est definie par ||vec {V}||=sqrt {v_1^2+v_2^2+v_3^2} la notation sqrt {...} signifiant racine carrée de ce qui se trouve entre les symboles { et }
donc ainsi qu'on a dit la distance entre deux points P=(p_1,p_2,p_3) et Q=(q_1,q_2,q_3) est donnée par la norme du vecteur vec {PQ}=(q_1-p_1,q_2-p_2,q_3-p_3)
on obtiens donc: distance PQ=||vec {PQ}||=sqrt {(q_1-p_1)^2+(q_2-p_2)^2+(q_3-p_3)^2}
par ailleurs un vecteur nul peut se noter vec {0}=(0,0,0) par conséquent ||vec {0}||=0
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donc avant de continuer on va definir les lois auquels ils sont soumis les vecteurs
ici dans le propos il s'agit d'espace vectoriel R^3
l'espace vectoriel euclidien est munis du produit par un scalaire
il s'agit d'une application que l'on note RXR^3 ->R^3 je détaille le propos:
lambda appartiens à R est un scalaire et
vec {X}=(x_1,x_2,x_3) appartiens à R^3 est un vecteur on obtiens l'opération
lambda .vec {X}=(lambda .x_1, lambda .x_2, lambda .x_3) appartiens à R^3 est un vecteur
donc dans la notation RXR^3 ->R^3 le terme situé à l'extreme gauche est R
cela se traduit par le fait que dans l'operation lambda .vec {X}=(lambda .x_1, lambda .x_2, lambda .x_3)
le terme situé à l'extreme gauche est: lambda un scalaire(un élément de R)
dans la notation RXR^3 ->R^3 le terme situé en deuxième position à partir de la gauche est R^3
cela se traduit par le fait que dans l'operation lambda .vec {X}=(lambda .x_1, lambda .x_2, lambda .x_3)
le terme situé en deuxième position à partir de la gauche est: vec {X} un vecteur donc un element R^3
dans la notation RXR^3 ->R^3 le terme situé en troisième position à partir de la gauche est R^3
cela se traduit par le fait que dans l'operation lambda .vec {X}=(lambda .x_1, lambda .x_2, lambda .x_3)
le terme situé en troisième à partir de la gauche est: vec {X} un vecteur donc un element R^3
l'opération (attention il faut respecter l'ordre des termes ) lambda .vec {X} a pour solution (lambda .x_1, lambda .x_2, lambda .x_3)
on verifie
lambda .vec {X}=vec {X}.lambda Commutativité
(lambda _1.lambda_2).vec {X}=lambda _1.(lambda_2 .vec {X})
associativité par rapport au produit des scalaires
(lambda _1+lambda_2).vec {X}=(lambda _1.vec {X})+(lambda_2 .vec {X})
distributivité par rapport à l'addition des scalaires
1 . vec {X}=vec {X} élément neutre lambda =1
____________
cet ensemble est munis de l'addition vectorielle
il s'agit d'une application -donc voir comme précédemment selon la même methodologie ce à quoi cela renvoie -
R^3XR^3 ->R^3
vec {X}=(x_1,x_2,x_3) appartiens à R^3 et ec {Y}=(y_1,y_2,y_3) appartiens à R^3 sont des vecteurs on obtiens
vec {X}+vec {Y}=(x_1+y_1, x_2+y_2, x_3+y_3) appartiens à R^3 est un vecteur
on verifie
vec {X}+vec {Y}=vec {Y}+vec {X} Commutativité
(vec {X}+vec {Y})+vec {Z}=vec {X}+(vec {Y}+vec {Z}) associativité
lambda.(vec {X}+vec {Y}) =(lambda.vec {X} )+(lambda .vec {Y} )
le produit par un scalaire est distributif par rapport à l'addition des vecteurs c'est à dire que:
vec {0} + vec {X}=vec {X} élément neutre vec {0}
symétrie on note -vec {X}=(-1).vec {X}
on vérifie vec {X}-vec {X}=vec {0}
de plus -(-vec {X})=vec {X}
___________
cet ensemble est munis du produit scalaire
il s'agit d'une application R^3XR^3 ->R
vec {X}=(x_1,x_2,x_3) appartiens à R^3 et vec {Y}=(y_1,y_2,y_3) appartiens à R^3 sont des vecteurs on obtiens
vec {X}.vec {Y}=x_1.y_1+x_2.y_2+x_3.y_3 appartiens à R est un scalaire
on verifie
vec {X}.vec {Y}=vec {Y}.vec {X} Commutativité
lambda.(vec {X}.vec {Y}) =(lambda .vec {X}).vec {Y}
le produit par un scalaire est associatif par rapport au produit scalaire
(vec {X}+vec {Y}).vec {Z}=(vec {X}.vec {Z})+(vec {Y}.vec {Z}) distributivité par rapport à l'addition des vecteurs
remarque n°1
vec {X}.vec {X}=vec {X}^2
est une notation acceptée
remarque n°2
la norme d'un vecteur avec la notation ||...||
||vec {X}||=sqrt {vec {X}^2}
remarque n°3
Soit un vecteur vec {X}
alors si on vérifie vec {X}^2=0
alors dans ce cas ce vecteur est nul et on verifie vec {X}=vec {0}
remarque n°4
Soient deux vecteurs non nuls vec {X}|=vec {0} et vec {Y}|=vec {0}
rappel la notation |= signifie non égal
alors si on vérifie vec {X}.vec {Y}=0 on dit alors que ces deux vecteurs sont orthogonaux
___________
on l'a vu la norme d'un vecteur est une application R^3 ->R
vec {X}=(x_1,x_2,x_3) appartiens à R^3 est un vecteur on obtiens
||vec {X}|| = (x_1,x_2,x_3)=sqrt {x_1^2+x_2^2+x_3^2} appartiens à R est un scalaire positif
par ailleurs pour tout vecteur non nul vec {X}|=vec {0} alors
avec la notation |= qui signifie non égal
(1/||vec {X}||).vec {X} est le vecteur unitaire de vec {X}|= vec {0}
dans ce cas on vérifie ||(1/||vec {X}||).vec {X}|| = 1
la norme d'un vecteur unitaire est 1
___________
on peut aussi munir cet ensemble du produit vectoriel
il s'agit d'une application R^3XR^3 ->R^3
vec {X}=(x_1,x_2,x_3) appartiens à R^3 et vec {Y}=(y_1,y_2,y_3) appartiens à R^3 sont des vecteurs on obtiens
vec {X} T vec {Y}=vec {Z}=(z_1,z_2,z_3) appartiens à R^3 est un vecteur
avec le symbole T qui designe ici l'operateur produit vectoriel
z_1=x_2.y_3-x_3.y_2
z_2=x_3.y_1-x_1.y_3
z_3=x_1.y_2-x_2.y_1
on verifie
vec {X} T vec {Y}=-(vec {Y} T vec {X}) Anti-Commutativité
lambda .(vec {X} T vec {Y})=(lambda .vec {X}) T vec {Y}
le produit par un scalaire est associatif par rapport au produit vectoriel
(vec {X}+vec {Y}) T vec {Z}=(vec {X} T vec {Z})+(vec {Y} T vec {Z}) distributivité par rapport à l'addition des vecteurs
___________
on peut aussi munir cet ensemble d'une application R^3XR^3 ->R^3
que l'on note
vec {X}=(x_1,x_2,x_3) appartiens à R^3 et vec {Y}=(y_1,y_2,y_3) appartiens à R^3 sont des vecteurs on obtiens
vec {X}Xvec {Y}=(vec {X}^2.vec {Y})-((vec {X}.vec {Y}).vec {X}) appartiens à R^3
___________
enfin pour tous vecteurs non nuls vec {X} |= vec {0} et vec {Y}|=vec {0}
rappel la notation |= signifie non égal
on considère la notation
vec {X}*vec {Y}=sqrt {(vec {X}^2.vec {Y}^2-(vec {X}.vec {Y})^2)/U}.(vec {X}Xvec {Y}) appartiens à R^3
avec
U=(vec {X}^2.vec {Y})^2.vec {X}^2+((vec {X}.vec {Y}).vec {X})^2.vec {X}^2-2(vec {X}.vec {Y})^2.vec {X}^2.vec {X}^2
___________Propriétés supplémentaires
vec {X}.(vec {X} T vec {Y})=vec {Y}.(vec {X} T vec {Y})=0
vec {X} T (vec {Y} T vec {Z})=(vec {X}.vec {Z}).vec {Y}-(vec {X}.vec {Y}).vec {Z}
vec {X}.(vec {Y} T vec {Z})=(vec {X} T vec {Y}). vec {Z}
vec {X}.vec {X}= vec {0}
||vec {X} T vec {Y}||^2=(( vec {X} T vec {Y}) T vec {X}).vec {Y}
vec {X} T (vec {Y} T vec {Z})+vec {Y} T (vec {Z} T vec {X})+vec {Z} T (vec {X} T vec {Y})= vec {0}
(vec {A} T vec {B})+(vec {C} T vec {D})=(vec {A}.vec{C}).(vec {B}.vec{D})-(vec {B}.vec{C}).(vec {A}.vec{D})
_____Vecteurs non nuls
dans tout ce qui suit les vecteurs vec {X} et vec {Y} sont non nuls
alors dans ce cas on vérifie vec {X}^2.vec {Y}^2 |= 0
Soient deux vecteurs non nuls
avec la notation =< qui signifie inferieur ou égal
cet angle que l'on nomme phi représente l'angle formé par deux vecteurs non nuls
tel que vec {X}.vec {Y}=||vec{X}||.||vec{Y}||.cos(phi) avec la fonction cosinus notée cos(...)
de plus on vérifie alors ||vec {X} T vec {Y}||=||vec{X}||.||vec{Y}||.sin(phi) avec la fonction sinus notée sin(...)
||vec {X} T vec {Y}||^2=vec{X}^2.vec{Y}^2-(vec{X}.vec{Y})^2
mais aussi on vérifie ||\vec {X}*\vec {Y}||=sqrt {(vec {X}^2.vec {Y}^2-(vec {X}.vec {Y})^2)/vec {X}^2}= ||vec {Y}||.sin(phi)
on vérifie
phi = arccos ( (vec {X}.vec {Y}) / sqrt { vec {X}^2.vec {Y}^2 } ) avec la fonction arccosinus notée arccos(...)
cos(phi) = (vec {X}.vec {Y}) / sqrt { vec {X}^2.vec {Y}^2 }
sin(phi) = sqrt { ( vec {X}^2.vec {Y}^2-(vec {X}.vec {Y})^2 )/( vec {X}^2.vec {Y}^2 ) }
de sorte que
lorsque vec {X}.vec {Y}=0 on obtiens phi =90°
lorsque vec {X}.vec {Y}>0 on obtiens 0 =< phi < 90°
lorsque vec {X}.vec {Y}<0 on obtiens 90 °< phi =< 180°
les deux vecteurs non nuls vec {X} |= vec {0} et vec {Y} |= vec {0} sont dits colinéaires si et seulement si
(vec {X}.vec {Y})^2=vec {X}^2.vec {Y}^2
alors dans ce cas
*lorsque vec {X}.vec {Y}-sqrt { vec {X}^2.vec {Y}^2 }=0
alors dans ce cas les deux vecteurs non nuls vec {X} |= vec {0} et vec {Y} |= vec {0} ont mêmes direction et sens
*lorsque vec {X}.vec {Y}+sqrt { vec {X}^2.vec {Y}^2 }=0
alors dans ce cas les deux vecteurs non nuls vec {X} |= vec {0} et vec {Y} |= vec {0} ont mêmes direction mais de sens opposés
rappel la notation |= qui signifie non egal
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donc avant de continuer en terminant sur le rapport qu'entretiennent les vecteurs et les bases avant de présenter la démonstration proprement dite
sur cette cinquième page on va faire un rappel concernant les conventions de notation précédentes en apporter d'autres
puis aborder juste ce qu'il faut concernant les matrices nXp
-Rappel des notations vu précédemment
première notation : x^n pour un nombre réel cela signifie x à la puissance n
deuxième notation : |R^n espace vectoriel ou affine fini
troisième notation : la notation |= qui signifie non egal
quatrième notation : sqrt { ... } racine carrée de se qui se trouve entre les deux accolades
cinquième notation : vect { ...} ce qui se trouve entre les deux accolades est un vecteur
sixième notation : désigne le segment de droite formé par les points P et Q
septième notation : x.y pour deux nombres réels il s'agit du produit de x par y
huitième notation : x.vec {A} il s'agit du produit par un scalaire -> ici x un scalaire (un nombre réel) et A le vecteur
neuvième notation : vec {A} . vec {B} produit scalaire
dixième notation : x+y pour deux nombres réels il s'agit de la somme de x et y
onzième notation : vec {A} + vec {B} addition vectorielle des vecteur A et B
douxième notation : |x| pour un nombre réel cela signifie la valeur absolue de x
treizième notation : || vec {A} || norme du vecteur A
quatorzième notation : vec {A} T vec {B} produit vectoriel
quinzième notation : vec {A} X vec {B} voir page 4
seizième notation : vec {A} * vec {B} voir page 4
-conventions de notations supplémentaires
premiere notation : convention de sommation d'Einstein
la notation entre les guillemets ici " x_i avec i de 1 à n " signifie la sommation : x_1+x_2+...+x_n
la notation entre les guillemets ici " x_ij avec i de 1 à n et j de 1 à p " signifie la sommation :
x_11+x_21+...+x_n1+x_12+x_22+...+x_n2+...+x_1p+x_2p+...+x_np
deuxième notation : n! il s'agit de la factorielle pour un entier naturel n cela signifie n!=1.2.3. ... .n en posant 0!=1
troisième notation : base { ... } ce qui se trouve entre les deux accolades est une base
quatrième notation : [x] pour un nombre réel positif x cela signifie partie entiere de x
cinquième notation : [P] il s'agit de l'écriture matricielle d'un point
sixième notation : [vec {A}] il s'agit de l'écriture matricielle du vecteur A
septième notation : [base {M}] il s'agit de l'écriture matricielle de la base M
huitième notation : le symbole de kronecker noté : delta_ij selon delta_ij=1 pour i=j et delta_ij=0 sinon
neuvième notation : le symbole d'anti-symétrie noté : e^{ijkl...}
les indices i,j,k,l,...étants des entiers naturels non nuls
en considérant l'ordre des indices ijkl...est un ordre originel si et seulement si i<j<k<l<...
e^{ijkl...}=0 lorsque au moins deux des indices sont identiques
e^{ijkl...}=1 lorsque l'ordre des indices proviens d'un nombre pair de permutations à partir de l'ordre originel
e^{ijkl...}=-1 lorsque l'ordre des indices proviens d'un nombre impair de permutations à partir de l'ordre originel
en ce qui concerne le produit vectoriel ( ici avec le symbole T qui designe ici l'operateur produit vectoriel ) vu à la page 4 du document
il peut se definir de façon plus générale en utilisant la convention de sommation d'Einstein et le symbole d'anti-symétrie de la facon suivante
soient vec {X}=(x_1,x_2,...,x_n) et vec {Y}=(y_1,y_2,...,y_n) deux vecteurs de |R^n alors le produit vectoriel
vec {X} T vec {Y}=vec {Z}=(z_1,z_2,...,z_n) appartiens à |R^n est un vecteur
on obtiens z_i=e^{ijk}.x_j.y_k
il en résulte
soient vec {X}=(x_1,x_2,x_3) et vec {Y}=(y_1,y_2,y_3) deux vecteurs de |R^3 alors le produit vectoriel
vec {X} T vec {Y}=vec {Z}=(z_1,z_2,z_3) appartiens à |R^3 est un vecteur
z_1=x_2.y_3-x_3.y_2
z_2=x_3.y_1-x_1.y_3
z_3=x_1.y_2-x_2.y_1
soient vec {X}=(x_1,x_2,x_3,x_4) et vec {Y}=(y_1,y_2,y_3,y_4) deux vecteurs de |R^4 alors le produit vectoriel
vec {X} T vec {Y}=vec {Z}=(z_1,z_2,z_3,y_4) appartiens à |R^4 est un vecteur
z_1=x_2.y_3+x_2.y_4+x_3.y_4-x_3.y_2-x_4.y_2-x_4.y_3
z_2=x_3.y_1+x_3.y_4+x_4.y_1-x_1.y_3-x_1.y_4-x_4.y_3
z_3=x_1.y_2+x_4.y_1+x_4.y_2-x_1.y_4-x_2.y_1-x_2.y_4
z_4=x_1.y_2+x_1.y_3+x_2.y_3-x_2.y_1-x_3.y_1-x_3.y_2
là il faut faire une remarque concernant le produit vectoriel généralisé
certaines de ses propriétés ne sont valables que uniquement sur |R^3
par exemple uniquement valable dans |R^3 est cette propriété:
||vec {X} T vec {Y}||=||vec {X}||.||vec {Y}||.sin(phi) où phi est l'angle formé par les deux vecteurs X et Y
-les matrices nXp
pour le propos ici et pour les besoins du sujet on aborde juste que ce qui est vraiment necessaire à propos des matrices
les matrices ne sont pas des objets de géométrie mais une représentation algebrique d'objets par exemple (mais pas seulement) des vecteurs des points ou des bases
cette représentation permettant d'effectuer des calculs sur ces objets là
dans tout ce qui va suivre :
lorsque l'on voit écrit [P] cela signifie donc que le point P est écrit sous la forme d'une matrice
lorsque l'on voit écrit [vec {A}] cela signifie donc que le vecteur A est écrit sous la forme d'une matrice
lorsque l'on voit écrit [base {M}] cela signifie donc que la base M est écrite sous la forme d'une matrice
présentation sommaire
inutile de rentrer dans des détails abscons pour le sujet qui déjà est proche du charabia en espérant que jusqu'à présent je l'ai évité
une (nXP) matrice
ici et uniquement ici pour le propos
est un tableau de nombres réels de n lignes et de p colonnes
de la premiere ligne située en haut jusqu'à la derniere située en bas du tableau
de la première colonne située à gauche à la derniere colonne située à droite du tableau
les nombres réels composant une matrices sont appelées les composantes de cette matrice
soit M est une (nXP) matrice on nomme la composante m_ij le nombre réel situé à la i ième ligne et à la j ième colonne
les composantes diagonales d'une matrice M désignent sont toutes les composantes m_ii
les composantes triangulaire supérieures d'une matrice designent toutes les composantes m_ij telles que i =< j avec la notation =< qui signifie "inférieur ou égal"
les composantes triangulaire inférieures d'une matrice designent toutes les composantes m_ij telles que i >= j avec la notation >= qui signifie "supérieur ou égal"
une matrice carrée de rang n désigne une (nXn) matrice
à toute (nXp) matrice M de composantes m_ij on definit un matrice N = M^t est la matrice transposée de M
attention t est un symbole et non un nombre
N est une (pxn) matrice de composantes n_ij=m_ji
à présent dans tout ce qui suit les matrices présentées ici seront :
soit des (1x1) matrices
soit des (2X1) matrices
soit des (1X2) matrices
soit des (2X2) matrices
soit des (3X1) matrices
soit des (1X3) matrices
soit des (3X3) matrices
on ignorera toute autre type de matrices en dehors de celles-ci
étant donné que pour le propos on se place dans un espace vectoriel ou affine |R^3
pour les points et les vecteurs lorsqu'ils sont écris sous une forme matricielle ils sont représentés par des (3X1) matrices
à la n ième composante du point ou du vecteur correspond la composante située sur la n ième ligne de cette matrice d'une seule colonne
en ce qui concerne les base et leurs écriture matricielle le sujet sera abordé à la page suivante la page 6
un minimum d'opérations sont présentés ici pour le propos
-le produit par un scalaire x.M=N ici x est un nombre réel et M et N sont deux (nXp) matrices
alors les composantes de N sont définies par n_ij=x.m_ij
l'element neutre du produit par un scalaire est le scalaire (nombre réel) 1
1.M=M
-l'addition matricielle M+N=L ici L,M,N sont trois (nXp) matrices
alors les composantes de L sont définies par l_ij=n_ij+m_ij
l'element neutre de l'addition est la matrice nulle (toutes ces composantes sont nulles) on va la noter [0_ij]
M+[0_ij]=M et M-M=[0_ij]
-le produit matriciel M.N=L ici L,M,N attention ici M est une (nXt) matrice , N est une (tXp) matrice , L est une (nXp) matrice
alors les composantes de L sont définies par l_ij=n_ik.m_kj avec k de 1 à p (voir sommation d'Einstein)
le produit matriciel n'est pas commutatif et pour toute (n,p) matrice M alors le produit matriciel M.N n'est possible que uniquement si N est une (p,q) matrice
la solution de ce produit donnant une (n,q) matrice
-la notion de déterminant d'une matrice
à toute matrice carrée est associée un nombre réel (encore une fois ici on parle de matrices dont les composantes sont réelles)
soit M une (nXn) matrice -donc carrée- de composantes m_ij alors on établit le determinant que l'on note : det(M)=e^{i1,i2,...,in}.m_1(i1).m_2(i2). ... .m_n(in)
symbole d'anti-symetrie et convention de sommation d'Einstein
ici les indices du symboles d'anti-symetrie sont au nombre de n et ils sont definis par : i1,i2,...,in
pour une (1X1) matrice M de composantes m_ij on obtiens : det(M)=m_11
pour une (2X2) matrice M de composantes m_ij on obtiens : det(M)=m_11.m_22-m_12.m_21
pour une (3X3) matrice M de composantes m_ij on obtiens : det(M)=m_11.m_22.m_33+m_12.m_23.m_31+m_13.m_21.m_32-m_11.m_23.m_32-m_12.m_21.m_33-m_13.m_22.m_31
-le groupe des matrices de déterminant non nul par le produit matriciel
ici le sujet demande de parler un peu des groupes
un groupe est un ensemble qui possède des lois particulieres et ici on considerera que l'ensemble des matrices à determinant non nul que l'on va noter ensemble E
cet ensemble est muni du produit matriciel noté .
on verifie quatre lois fondamentales:
premiere loi : M.N=L tel que L,M,N appartiennent à E
deuxieme loi : L.(M.N)=(L.M).N associativité par conséquent on peut enlever les parenthèses sans risque d'erreur L.(M.N)=L.M.N
de plus pour le produit d'une matrice M d'une quantité k de fois on écrit M.M.M. ... . M = M^K c'est à dire M à la puissance k
de plus on verifie M^a.M^b = M^{a+b}
troisième loi : l'ensemble E possède un élément neutre noté I qui est une matrice carrée de rang n
dont toutes les composantes diagonales sont de valeur 1 et toutes les autres sont nulles et on verifie : M.I = I.M = I
par ailleurs il est admis de on poser M^0=I c'est à dire M à la puissance zero donne l'element neutre
quatrième loi : pour toute matrice M de l'ensemble E alors il existe une matrice notée M^{-1} dite inverse de M ou dite M à la puissance -1 telle que
M.M^{-1} = M^{-1}.M = I l'élément neutre
Attention il en résulte des propriétés tres importantes
le produit n'est pas commutatif (à part quelques matrices) on a pas toujours M.N = N.M
attention quatre propriétés tres importantes à noter:
premiere propriété : (M^a)^b = M^{a.b} et donc (M^{-1})^{-1} = M
deuxieme propriété : pour M.N = L on verifie M = L.N^{-1} attention respecter l'ordre ainsi pour M.N = L on verifie N = M^{-1}. L
troisième propriété : (M^a.N^b)^{-1} = N^{-b}.M^{-a} effectivement ce que l'on demontre ici
(M^a.N^b)^{-1}.(M^a.N^b) = I l'élément neutre
donc par l'associativité on obtiens (M^a.N^b)^{-1}.(M^a.N^b) = (M^a.N^b)^{-1}.M^a.N^b = I
commme on a vu alors (M^a.N^b)^{-1}.M^a = I.N^{-b}
I est l'élément neutre donc (M^a.N^b)^{-1}.M^a = N^{-b} de sorte que de même (M^a.N^b)^{-1}.M^a = N^{-b}.M^{-a} ce que l'on cherchait à demontrer
quatrième propriété : (M.N)^n=M.N.M.N.M.N ...M.N le produit du couple M.N sur n fois
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
page 6/7
il s'agit du dernier volet présentant les objets que l'on utilisera pour démontrer l'assertion en page 7
Sommaire de la page 6
Préalable
1-base orthogonale , base orthonormée , base ortho-unitaire
2-la base canonique Id et le repere canonique
3-orthogonalisation d'une base de l'espace vectoriel |R^3
4-orthogonalisation d'une base de l'espace vectoriel |R^n avec n appartiens à |N*
5-convention d'écriture trigonométrique d'un vecteur non nul de l'espace vectoriel |R^3
6-convention d'écriture trigonométrique d'un vecteur non nul de l'espace vectoriel |R^n avec n appartiens à |N*
7-décomposition d'un vecteur sur une base
RESTE A FAIRE SUR CETTE PAGE
8-notion élémentaire de sous base
9-convention d'écriture trigonométrique d'une base de |R^3
10-convention d'écriture trigonométrique d'une base de |R^n avec n appartiens à |N*
11-espace dual
12-Produit vectoriel défini par produit mixte
Préalable
on se place ici dans l'espace vectoriel euclidien |R^3 et cet espace est composé de vecteurs et de bases
dans cet espace une base est un système de trois vecteurs libres
ces vecteurs ne sont ni nuls ni colinéaires ni coplanaires
pour simplifier le propos sans que cela soit faux considérons trois vecteurs vec {X},vec {Y},vec {Z}
en parlant de systeme de vecteur on signifie que ces trois vecteurs definissent un ordre
le premier vecteur étant le vecteur X , le deuxième le vecteur Y et le troisième le vecteur Z
pour savoir tout de suite si ces vecteurs forment une base de |R^3 on construit une matrice M qui représente ce système
et on doit vérifier uniquement que son déterminant n'est pas nul : c'est la seule condition
pour contruire cette matrice M de composante m_ij et considérant les composantes x_i,y_i,z_i respectivement des vecteurs X,Y,Z
on pose m_i1 = x_i , m_i2 = y_i, m_i3 = z_i
en fait la premiere colonne de cette matrice contiens les composantes du premier vecteur X
la deuxieme colonne de cette matrice contiens les composantes du deuxième vecteur Y
la troisième colonne de cette matrice contiens les composantes du troisième vecteur Z
1-base orthogonale , base orthonormée , base ortho-unitaire
dans la page 4 on a vu la notion d'angle formé par un couple de vecteurs non nul et la notion de vecteurs orthogonaux
soient deux vecteurs non nuls V et W alors ces vecteurs sont orthogonnaux si et seulement si par le produit scalaire on obtiens V.W = 0
attention si et seulement si car on a déjà exclus le fait qu'ils soient nuls ou que l'un ou l'autre soit nul
à présent considérons la matrice représentant une base on notera [base {M}] cette matrice et elle représente la base notée base {M}
et posons l'operation notée [base {N}] = [base {M}]^A ici A n'est pas un nombre mais un symbole
signifiant que la matrice [base {N}] est dite la matrice associée à la matrice [base {M}]
cette matrice [base {N}] est donnée par le produit matriciel [base {N}] = [base {M}]^A = [base {M}]^t . [base {M}]
ici [base {M}]^t désigne la transposée de la matrice [base {M}] (voir page 5)
QUESTION: à quoi correspond la base associée d'une base?
attention ici toutes les matrices decrites sont carrées et de determinants non nuls (et donc representent des bases) : il s'agit de (nXn) matrices
posons la : base {M} est le systeme des trois vecteurs donnés dans l'ordre vec {V1} , vec {V2} , vec {V3} et la matrice [base {M}] représente cette base
les composantes de la matrice [base {M}] sont notées m_ij
les composantes de la matrice [base {L}]=[base {M}]^t sont notées l_ij
les composantes de la matrice [base {N}] = [base {M}]^A = [base {M}]^t . [base {M}] sont notées n_ij
n_ij = l_ik.m_kj avec k de 1 à n (sommation d'Einstein) -voir l'expression du produit matriciel en page 5-
par ailleurs l_ik=m_ki par consequent n_ij = m_ki.m_kj avec k de 1 à n (sommation d'Einstein) or rappelons nous de l'expression du produit scalaire euclidien
n_ij donne la valeur du produit scalaire euclidien du i ème vecteur par le j ième vecteur
on verifie n_ij = delta_ij . (vec {Vi}.vec {Vj})
avec le symbole de kronecker noté : delta_ij selon delta_ij=1 pour i=j et delta_ij=0 sinon
si la base base {M} est orthogonale alors on verifie que la matrice [base {N}] est une matrice diagonale
si la base base {M} est orthonormée alors on verifie que la matrice [base {N}] est une matrice diagonale dont les composantes non nulles (donc sur sa diagonale )
sont toutes identiques
si la base base {M} est ortho-unitaire alors on verifie que la matrice [base {N}] est une matrice diagonale dont les composantes non nulles (donc sur sa diagonale )
sont toutes de valeur 1
EXEMPLE
la base base {M} definie par la matrice [base {M}] =
1 , -1 , 2
2 , 4 , 5
2 , 1 , 1
n'est pas orthogonale en effet [base {M}]^A=
9 , 9 , 14
9 , 18 , 19
14 , 19 , 30
la base base {M} definie par la matrice [base {M}] =
1 , -2 , 14/9
2 , 2 , 7/9
2 , -1 , -14/9
est orthogonale mais non orthonormée en effet [base {M}]^A=
9 , 0 , 0
0 , 9 , 0
0 , 0 , 49/9
la base base {M} definie par la matrice [base {M}] =
1/2 , -1 , 1
1 , 1 , 1/2
1 , -1/2 , -1
est orthonormée mais non ortho-unitaire en effet [base {M}]^A=
9/4 , 0 , 0
0 , 9/4 , 0
0 , 0 , 9/4
la base base {M} definie par la matrice [base {M}] =
1/3 , -2/3 , 2/3
2/3 , 2/3 , 1/3
2/3 , -1/3 , -2/3
est ortho-unitaire en effet [base {M}]^A=
1 , 0 , 0
0 , 1 , 0
0 , 0 , 1
2-la base canonique Id et le repere canonique
la base canonique de |R^3 est une base ortho-unitaire formée par le systeme de vecteur dans l'ordre definit par (1,0,0) puis (0,1,0) puis (0,0,1)
la matrice qui représente cette base est l'element neutre noté I du produit dans le groupe des (3X3) matrices carrées à déterminants non nul (voir page 5)
elle se présente donc ainsi
1 , 0 , 0
0 , 1 , 0
0 , 0 , 1
plus généralement la matrice qui représente une base canonique de |R^n est une matrice carrée diagonale dont les composants sur sa diagonale sont tous de valeurs 1
par ailleurs à priori sans autre informations disponible quand on se donne un vecteur vec {V}
alors les composantes de ce vecteur sont definis par rapport à la base canonique
de même sans autre informations disponible quand on se donne une base base {M}
alors les composantes de cette base sont definis par rapport à la base canonique
en ce qui concerne le vecteur vec {V} cela reviens à se donner un point dont la position est donné par les composantes du vecteur vec {V}
et cela par rapport au repere canonique
en ce qui concerne la base base {M} formée des vecteurs dans l'ordre: vec {M1} , vec {M2} , ... , vec {Mn}
cela reviens à se donner n points p1,P2,...,Pn dont les positions sont donnés par les composantes des vecteurs respectivement vec {M1} , vec {M2} , ... , vec {Mn}
et cela par rapport au repere canonique
le repere canonique étant d'origine (0,0,...,0) et est formé de n axes
le i ème segment d'axe de ce repere et de norme 1 et sur la partie positive de cet axe (donc il définit aussi un sens)
n'est rien d'autre que le i ème vecteur de la base canonique
3-orthogonalisation d'une base de l'espace vectoriel |R^3
dans la page 4 on a posé deux lois notées X et * appliquées alors pour |R^3 mais généralisables pour |R^n selon:
Soient deux vecteurs quelconques vec {X} et vec {Y}=(y_1,y_2,y_3) appartiens à |R^n on pose la loi X selon
vec {X}Xvec {Y}=(vec {X}^2.vec {Y})-((vec {X}.vec {Y}).vec {X}) appartiens à |R^n
et pour tous vecteurs non nuls vec {X} |= vec {0} et vec {Y}|=vec {0}
rappel la notation |= signifie non égal
on considère la notation
vec {X}*vec {Y}=sqrt {(vec {X}^2.vec {Y}^2-(vec {X}.vec {Y})^2)/U}.(vec {X}Xvec {Y}) appartiens à |R^3
avec U=(vec {X}^2.vec {Y})^2.vec {X}^2+((vec {X}.vec {Y}).vec {X})^2.vec {X}^2-2(vec {X}.vec {Y})^2.vec {X}^2.vec {X}^2
soit une base : base {M} formée des vecteurs dans l'ordre: vec {M1} , vec {M2} , vec {M3}
on considère une orthogonalisation de celle-ci en obtenant une base : base {A} formée des vecteurs dans l'ordre: vec {A1} , vec {A2} , vec {A3}
telle que cette base soit orthogonale
telle que le determinant des deux matrices [base {M}] = [base {A}]
telle que vec {M1} = vec {A1}
telle que les vecteurs vec {A1} , vec {A2} , vec {M2} sont liés plus simplement dit:
le vecteur vec {M2} appartiens au plan formé par les deux vecteurs vec {A1} et vec {A2}
pour construire cette base base {A} à partir de la base base {M}
on pose vec {A1} = vec {M1}
puis on pose un vecteur noté vec {V11} = vec {M2}
puis on pose vec {A2} = vec {A1} * vec {V11}
puis on pose un vecteur noté vec {V12} = vec {M3}
puis on pose un vecteur noté vec {V22} = vec {A1} * vec {V12}
enfin on pose vec {A3} = vec {A2} * vec {V22}
4-orthogonalisation d'une base de l'espace vectoriel |R^n avec n appartiens à |N*
soit une base : base {M} formée des vecteurs dans l'ordre: vec {M1} , vec {M2} , ... , vec {Mn}
on considère une orthogonalisation de celle-ci en obtenant une base : base {A} formée des vecteurs dans l'ordre: vec {A1} , vec {A2} , ... , vec {An}
telle que cette base soit orthogonale
telle que le determinant des deux matrices [base {M}] = [base {A}]
telle que vec {M1} = vec {A1}
telle que les vecteurs vec {A1} , vec {A2} , vec {M2} sont liés
on ne précise pas d'autres propriétés car leur compréhension ne s'avère pas utiles pour le propos de ce que l'on cherche à démontrer en page 7
pour construire cette base base {A} à partir de la base base {M}
on pose vec {A1} = vec {M1}
puis on pose un vecteur noté vec {V11} = vec {M2}
puis on pose vec {A2} = vec {A1} * vec {V11}
puis on pose un vecteur noté vec {V12} = vec {M3}
puis on pose un vecteur noté vec {V22} = vec {A1} * vec {V12}
puis on pose vec {A3} = vec {A2} * vec {V22}
puis on pose un vecteur noté vec {V13} = vec {M4}
puis on pose un vecteur noté vec {V23} = vec {A1} * vec {V13}
puis on pose un vecteur noté vec {V33} = vec {A2} * vec {V23}
puis on pose vec {A4} = vec {A3} * vec {V33}
...
ainsi de suite jusqu'à vec {An} = vec {An-1} * vec {Vn-1,n-1}
5-convention d'écriture trigonométrique d'un vecteur non nul de l'espace vectoriel |R^3
soit un vecteur vec {V}=(v_1,v_2,v_3) non nul de |R^3
on considère une convention permettant de décrire ces composantes sous forme trigonométriques
v_1=||vec {V}||.cos (theta_1).cos (theta_2)
v_2=||vec {V}||.sin (theta_1).cos (theta_2)
v_3=||vec {V}||.sin (theta_2)
ici theta_1 et theta_2 sont deux angles que l'on doit déterminer selon la convention choisie ici à partir des composantes v_i
pour ce faire on pose deux autres angles phi_1 et phi_2 par lesquels seront déterminés theta_1 et theta_2
on considère six cas de figure:
lorsque v_1^2+v_2^2 = 0 et v_3 > 0 on pose theta_1 = 0 et theta_2 = phi_2
lorsque v_1^2+v_2^2 = 0 et v_3 < 0 on pose theta_1 = 0 et theta_2 = -phi_2
lorsque v_1^2+v_2^2 > 0 et v_2 >= 0 et v_3 >= 0 on pose theta_1 = phi_1 et theta_2 = phi_2
lorsque v_1^2+v_2^2 > 0 et v_2 >= 0 et v_3 < 0 on pose theta_1 = phi_1 et theta_2 = -phi_2
lorsque v_1^2+v_2^2 > 0 et v_2 < 0 et v_3 >= 0 on pose theta_1 = -phi_1 et theta_2 = phi_2
lorsque v_1^2+v_2^2 > 0 et v_2 < 0 et v_3 < 0 on pose theta_1 = -phi_1 et theta_2 = -phi_2
il ne reste plus qu'à determiner les angles phi_1 et phi_2 selon la convention choisie ici
phi_1 = arccos( v_1 / sqrt {v_1^2+v_2^2} ) et phi_2 = arccos( sqrt {v_1^2+v_2^2} / ||vec {V}|| ) on obtiens
cos ( phi_1 ) = v_1 / sqrt {v_1^2+v_2^2} et sin ( phi_1 ) = |v_2| / sqrt {v_1^2+v_2^2}
cos ( phi_2 ) = sqrt {v_1^2+v_2^2}/ ||vec {V}|| et sin ( phi_2 ) = |v_3| / ||vec {V}||
6-convention d'écriture trigonométrique d'un vecteur non nul de l'espace vectoriel |R^n avec n appartiens à |N*
il s'agit d'une généralisation dans du cas |R^ 3
soit un vecteur vec {V}=(v_1,v_2,...,v_n) non nul de |R^n
on considère une convention permettant de décrire ces composantes sous forme trigonométriques
v_1 = ||vec {V}||.cos ( theta_1 ).cos ( theta_2 ). ... .cos ( theta_n-1 )
et pour i>=2 alors v_i = ||vec {V}||.sin ( theta_i-1 ).cos ( theta_i ). ... .cos ( theta_n-1 )
pour v_1^2+v_2^2 = 0 on pose theta_1 = 0
pour v_1^2+v_2^2 > 0 et v_2 >= 0 on pose theta_1 = arccos( v_1 / sqrt {v_1^2+v_2^2} )
pour v_1^2+v_2^2 > 0 et v_2 < 0 on pose theta_1 = -arccos( v_1 / sqrt {v_1^2+v_2^2} )
pour i >= 2 et pour v_1^2+v_2^2+...+v_i+1 ^2 = 0 on pose theta_i = 0
pour i >= 2 et pour v_1^2+v_2^2+...+v_i+1 ^2 > 0 et v_i+1 >= 0 on pose
theta_i = arccos ( sqrt {v_1^2+v_2^2+...+v_i ^2} / sqrt {v_1^2+v_2^2+...+v_i+1 ^2 } )
pour i >= 2 et pour v_1^2+v_2^2+...+v_i+1 ^2 > 0 et v_i+1 < 0 on pose
theta_i = -arccos ( sqrt {v_1^2+v_2^2+...+v_i ^2} / sqrt {v_1^2+v_2^2+...+v_i+1 ^2 } )
RESTE A FAIRE SUR CETTE PAGE
8-notion élémentaire de sous base
9-convention d'écriture trigonométrique d'une base de |R^3
10-convention d'écriture trigonométrique d'une base de |R^n avec n appartiens à |N*
11-espace dual
12-Produit vectoriel défini par produit mixte
Salut,
Je serais curieux de savoir combien de personnes sont capables de se taper l'intégralité de ce pavé.
Bon, comme j'ai lu le début :
assertion :Il n'existe pas d'objets en soi . le prouver en utilisant la géométrie affine
(la démo en tant que telle est à la page 7)
Profil amethyste
Niveau d'étude niveau : troisième
Et y'en a encore qui prétendent que le niveau baisse ?
Bonjour les camarades
merci pour l'acceuil de ce doc que je devrai recopier sur papier une fois terminé
je continue cette page 6 (timing page 6 terminée au plus tard pour lundi et page 7 terminée au plus tard mardi
sur ce post les points -7 et -8 de la page
rappel du sommaire de la page 6
Préalable
1-base orthogonale , base orthonormée , base ortho-unitaire
2-la base canonique Id et le repere canonique
3-orthogonalisation d'une base de l'espace vectoriel |R^3
4-orthogonalisation d'une base de l'espace vectoriel |R^n avec n appartiens à |N*
5-convention d'écriture trigonométrique d'un vecteur non nul de l'espace vectoriel |R^3
6-convention d'écriture trigonométrique d'un vecteur non nul de l'espace vectoriel |R^n avec n appartiens à |N*
7-décomposition d'un vecteur sur une base
8-notion élémentaire de sous base
9-convention d'écriture trigonométrique d'une base de |R^3
10-convention d'écriture trigonométrique d'une base de |R^n avec n appartiens à |N*
11-espace dual
12-Produit vectoriel défini par produit mixte
__________________________________________________________________________________________________________
7-décomposition d'un vecteur sur une base
pour visualiser mentalement la signification d'une décomposition d'un vecteur vec {V} sur une base base {M}
on visualise dans l'espace affine euclidien |R^n et un repere que l'on notera U d'origine (0,0,...,0)
la base qui représente ce repere étant la base sur laquelle on décompose ce vecteur vec {V}
on visualise de même un point dont la position donné sur le repere canonique, correspond aux composantes de ce vecteur là
alors la decomposition du vecteur vec {V} sur une base base {M} donne un vecteur vec {W}
dont les composantes donnent la position de ce point par rapport au repere U
on obtiens par le produit marticiel [vec {W}] = [base {M}]^-1.[vec {V}]
ici [base {M}]^-1 désigne la matrice inverse de la matrice [base {M}]
à propos de l'inverse d'une matrice on parle ici de la loi . (le produit matriciel) donnée pour le groupe (voir page 5)
formé de l'ensemble des matrices dont le determinant est non nul
une matrice étant inversible (donc telle que l'on puisse determiner son inverse) si et seulement si son determinant est non nul
ces matrices sont donc des (nXn) matrices carrées
inverse d'une matrice inversible
soit une (nXn) matrice inversible [base {M}] dont les composantes sont m_ij on determine son inverse [base {N}] = [base {M}]^-1 dont les composantes sont n_ij
il existe plusieurs méthodes mais ici on utilisera une méthode simple à visualiser et facilement généralisable à partir d'un exemple
la base base {M} definie par la matrice [base {M}] =
1 , -1 , 2
2 , 4 , 5
2 , 1 , 1
on contruit la matrice l'on note [N11]
1 , -1 , 2
0 , 4 , 5
0 , 1 , 1
en fait la première colonne de cette matrice correspond à la première colonne de l'élément neutre I du groupe
formé de l'ensemble des matrices dont le determinant est non nul munis de la loi . (le produit matriciel)
on obtiens
n_11 = det [N11] / det [base {M}] = 0.04761904762
puis on construit la matrice l'on note [N21]
1 , 1 , 2
2 , 0 , 5
2 , 0 , 1
on obtiens
n_21 = det [N21] / det [base {M}] = -0.380952381
puis on construit la matrice l'on note [N31]
1 , -1 , 1
2 , 4 , 0
2 , 1 , 0
on obtiens
n_31 = det [N31] / det [base {M}] = 0.2857142857
puis on construit la matrice l'on note [N12]
0 , -1 , 2
1 , 4 , 5
0 , 1 , 1
on obtiens
n_12 = det [N12] / det [base {M}] = -0.1428571429
puis on construit la matrice l'on note [N22]
1 , 0 , 2
2 , 1 , 5
2 , 0 , 1
on obtiens
n_22 = det [N22] / det [base {M}] = 0.1428571429
puis on construit la matrice l'on note [N32]
1 , -1 , 0
2 , 4 , 1
2 , 1 , 0
on obtiens
n_32 = det [N32] / det [base {M}] = 0.1428571429
puis on construit la matrice l'on note [N13]
0 , -1 , 2
0 , 4 , 5
1 , 1 , 1
on obtiens
n_13 = det [N13] / det [base {M}] = 0.619047619
puis on construit la matrice l'on note [N23]
1 , 0 , 2
2 , 0 , 5
2 , 1 , 1
on obtiens
n_23 = det [N23] / det [base {M}] = 0.04761904762
puis on construit la matrice l'on note [N33]
1 , -1 , 0
2 , 4 , 0
2 , 1 , 1
on obtiens
n_33 = det [N33] / det [base {M}] = -0.2857142857
donc [base {N}] = [base {M}]^-1
0.04761904762 , -0.1428571429 , 0.619047619
-0.380952381 , 0.1428571429 , 0.04761904762
0.2857142857 , 0.1428571429 , -0.2857142857
8-notion élémentaire de sous base
soit une base : base {M} formée des vecteurs dans l'ordre: vec {M1} , vec {M2} , ... , vec {Mn} de l'espace vectoriel euclidien |R^n
alors quelque soit un vecteur vec {V} de |R^n alors il existe n scalaires lambda_i (nombres réels de l'ensemble |R) tels que
vec {V} = lambda_1.vec {M1} + lambda_2.vec {M2} + ... + lambda_n.vec {Mn}
les scalaires lambda_i sont les composantes du vecteur vec {W} qui est la décomposition du vecteur vec {V} sur la base base {M}
on verifie que la sommation ci-dessus s'effectue aussi par le produit matriciel [vec {W}] = [base {M}]^-1.[vec {V}] et donc [vec {V}] = [base {M}].[vec {W}]
considérant les composantes v_i1 du vecteur vec {V} et considérant les composantes w_i1 = lambda_i du vecteur vec {W}
et considérant les composantes m_ij de la base : base {M} on obtiens
v_i1 = m_ik.w_k1 = m_ik.lambda_k avec k de 1 à n convention de sommation d'Einstein donc
v_i1 = m_i1.lambda_1 + m_i2.lambda_2 + ... + m_in.lambda_n
on peut verifier que cela correspond à la sommation
vec {V} = lambda_1.vec {M1} + lambda_2.vec {M2} + ... + lambda_n.vec {Mn}
chaque i ème terme de cette sommation est le produit du scalaire (ce produit est commutatif ) lambda_i par le vecteur vec {Mi}
v_11 = lambda_1.m_11 + lambda_2.m_12 + ... + lambda_n.m_1n
v_21 = lambda_1.m_21 + lambda_2.m_22 + ... + lambda_n.m_2n
...
v_n1 = lambda_1.m_n1 + lambda_2.m_n2 + ... + lambda_n.m_nn
donc v_i1 = lambda_1.m_i1 + lambda_2.m_i2 + ... + lambda_n.m_in
lorsqu'on définit une sous base de l'espace vectoriel euclidien |R^n cela reviens à poser p vecteurs de |R^n selon 0 < p < n
vec {N1} , vec {N2} , ... , vec {Np} tels qu'il existe q = n - p vecteurs de la base canoniques Id
vec {L1} , vec {L2} , ... , vec {Lq} tels que le système de vecteurs
vec {N1} , vec {N2} , ... , vec {Np} , vec {L1} , vec {L2} , ... , vec {Lq} constitue une base de |R^n
le système de vecteurs vec {N1} , vec {N2} , ... , vec {Np} représente une sous base de |R^n
tout vecteur vec {V} de |R^n tel qu'il existe p scalaires lambda_i tels que
vec {V} = lambda_1.vec {N1} + lambda_2.vec {N2} + ... + lambda_p.vec {Mp} appartiens à cette sous-base
considérant les composantes v_i1 du vecteur vec {V} et considérant les composantes w_i1 = lambda_i du vecteur vec {W}
et considérant les composantes n_ij de la matrice N definie par les p vecteurs vec {Ni} on obtiens [vec {V}] = N.[vec {W}]
attention ici N n'est pas inversible
v_11 = lambda_1.n_11 + lambda_2.n_12 + ... + lambda_p.n_1p
v_21 = lambda_1.n_21 + lambda_2.n_22 + ... + lambda_p.n_2p
...
v_n1 = lambda_1.n_n1 + lambda_2.n_n2 + ... + lambda_p.n_np
donc v_i1 = lambda_1.n_i1 + lambda_2.n_i2 + ... + lambda_p.n_ip
on verifie effectivement selon le produit matriciel [vec {V}] = N.[vec {W}]
v_i1 = n_ik.w_k1 = n_ik.lambda_k avec k de 1 à p convention de sommation d'Einstein donc
v_i1 = n_i1.lambda_1 + n_i2.lambda_2 + ... + n_ip.lambda_p
Bonjour
je continue cette page 6
ici le point 9 de la page
rappel du sommaire de la page 6
Préalable
1-base orthogonale , base orthonormée , base ortho-unitaire
2-la base canonique Id et le repere canonique
3-orthogonalisation d'une base de l'espace vectoriel |R^3
4-orthogonalisation d'une base de l'espace vectoriel |R^n avec n appartiens à |N*
5-convention d'écriture trigonométrique d'un vecteur non nul de l'espace vectoriel |R^3
6-convention d'écriture trigonométrique d'un vecteur non nul de l'espace vectoriel |R^n avec n appartiens à |N*
7-décomposition d'un vecteur sur une base
8-notion élémentaire de sous base
9-convention d'écriture trigonométrique d'une base de |R^3
10-convention d'écriture trigonométrique d'une base de |R^n avec n appartiens à |N*
11-espace dual
12-Produit vectoriel défini par produit mixte
9-convention d'écriture trigonométrique d'une base de |R^3
soit une base : base {M} formée des vecteurs de |R^3 dans l'ordre: vec {M1} , vec {M2} , vec {M3} definie par les composantes m_ij
on propose ici un exemple
la base base {M} definie par la matrice [base {M}] =
1 , -1 , 2
2 , 4 , 5
2 , 1 , 1
on propose une convention d'écriture de cette base notons celle-ci base {N} telle que donc base {N} = base {M}
formée des vecteurs de |R^3 dans l'ordre: vec {N1} , vec {N2} , vec {N3} definie par les composantes n_ij
definie par les composantes n_ij celles-ci utilisant les fonctions trigonométriques cosinus et sinus
pour cela on commence à construire une orthogonalisation de cette base {M}
de la même que l'on a procédé au point 3-orthogonalisation d'une base de l'espace vectoriel |R^3
en obtenant une base : base {A} formée des vecteurs dans l'ordre: vec {A1} , vec {A2} , vec {A3}
selon l'exemple on obtiens
la base base {A} definie par la matrice [base {A}] =
1 , -2 , 14/9
2 , 2 , 7/9
2 , -1 , -14/9
définie par les composantes a_ij celle-ci étant orthogonale
rappel : det [base {A}] = det [base {M}]
puis on définit les vecteurs unitaires
vec {B1} = (1/||vec {A1}||).vec {A1}
vec {B2} = (1/||vec {A2}||).vec {A2}
vec {B3} = (1/||vec {A3}||).vec {A3}
on en construit une base notée base {B} formée des vecteurs dans l'ordre: vec {B1} , vec {B2} , vec {B3}
definie par les composantes b_ij celle-ci étant ortho-unitaire
selon l'exemple on obtiens
la base base {B} definie par la matrice [base {B}] =
1/3 , -2/3 , 2/3
2/3 , 2/3 , 1/3
2/3 , -1/3 , -2/3
puis on pose les décompositions des vecteurs vec {M1} , vec {M2} , vec {M3} sur la base base {B}
pour obtenir les vecteurs vec {L1} , vec {L2} , vec {L3}
on en construit une base notée base {L} formée des vecteurs dans l'ordre: vec {L1} , vec {L2} , vec {L3}
definie par les composantes l_ij on obtiens une (3X3) matrice triangulaire supérieure en fait il suffit de faire le produit matriciel
[base {L}] = [base {B}]^-1.[base {M}] de sorte que [base {M}] = [base {B}].[base {L}]
selon l'exemple on obtiens
la base base {L} definie par la matrice [base {L}] =
3 , 3 , 4.666666666
0 , 3 , 1.666666666
0 , 0 , 2.333333333
par conséquent
m_ij = b_i1.l_1j + b_i2.l_2j + b_i3.l_3j
[vec {M1}] = [base {B}].[vec {L1}]
[vec {M2}] = [base {B}].[vec {L2}]
[vec {M3}] = [base {B}].[vec {L3}]
une chose à remarquer :c'est la façon dont est construite la base base {A} qui fait que les composantes de la base base {L} sont toujours positives
puis on utilise la convention d'écriture trigonométrique d'un vecteur non nul de l'espace vectoriel |R^n avec n appartiens à |N* que l'on a posé au point
6-convention d'écriture trigonométrique d'un vecteur non nul de l'espace vectoriel |R^n avec n appartiens à |N*
pour le vecteur vec {L1} on considère l'espace vectoriel euclidien |R^1 on obtiens :
vec {L1} = ( ||vec {L1}||.cos(theta_11), 0 , 0 ) avec ||vec {L1}|| = 3
pour le vecteur vec {L2} on considère l'espace vectoriel euclidien |R^2 on obtiens :
vec {L2} = ( ||vec {L2}||.cos(theta_12), ||vec {L2}||.sin(theta_12) , 0 ) avec ||vec {L2}|| = 3.sqrt {2}
pour le vecteur vec {L3} on considère l'espace vectoriel euclidien |R^3 on obtiens :
vec {L3} = ( ||vec {L3}||.cos(theta_13).cos(theta_23), ||vec {L3}||.sin(theta_13).cos(theta_23) , ||vec {L3}||.sin(theta_23) ) avec ||vec {L2}|| = sqrt {30}
vec {L1} = ( 3.cos(0°), 0 , 0 ) = ( 3 , 0 , 0 )
vec {L2} = ( 3.sqrt {2}.cos(45°), 3.sqrt {2}.sin(45°) , 0 ) = ( 3 , 3 , 0 )
vec {L3} =
( sqrt {30}.cos(19°39'13.76660899").cos(25°12'51.78246921") , sqrt {30}.sin(19°39'13.76660899").cos(25°12'51.78246921") , sqrt {30}.sin(25°12'51.78246921") ) =
( 4.666666666 , 1.666666666 , 2.333333333 ) = ( 14/3 , 5/3 , 7/3 )
on obtiens
m_11 = cos (0°) = 1
m_21 = 2.cos(0°) = 2
m_31 = 2.cos(0°) = 2
m_12 = sqrt {2}.cos(45°) - 2.sqrt {2}.sin(45°) = -1
m_22 = 2.sqrt {2}.cos(45°) + 2.sqrt {2}.cos(45°) = 4
m_32 = 2.sqrt {2}.cos(45°)-sqrt {2}.sin(45°) = 1
m_13 =1/3.sqrt{30}.cos(19°39'13.76660899").cos(25°12'51.78246921")-2/3.sqrt{30}.sin(19°39'13.76660899").cos(25°12'51.78246921")+2/3.sqrt {30}.sin(25°12'51.78246921")=2
m_23 =2/3.sqrt{30}.cos(19°39'13.76660899").cos(25°12'51.78246921")+2/3.sqrt{30}.sin(19°39'13.76660899").cos(25°12'51.78246921")+1/3.sqrt {30}.sin(25°12'51.78246921")=5
m_33 =2/3.sqrt{30}.cos(19°39'13.76660899").cos(25°12'51.78246921")-1/3.sqrt{30}.sin(19°39'13.76660899").cos(25°12'51.78246921")-2/3.sqrt {30}.sin(25°12'51.78246921")=1
une erreur dans ce que j'ai écrit je rectifie là
une chose à remarquer :c'est la façon dont est construite la base base {A} qui fait que les composantes diagonales de la matrice [base {L}] sont toujours positives
Bonjour
page 6/7 volet du du sommaire de la page 6
10-convention d'écriture trigonométrique d'une base de |R^n avec n appartiens à |N*
soit une base : base {M} formée des vecteurs de |R^n dans l'ordre: vec {M1} , vec {M2} , ... , vec {Mn}
on propose ici un exemple
la base base {M} definie par la matrice [base {M}] =
-8 , -3 , -3 , 1
6 , 3 , 2 , -1
26 , 7 , 10 , -2
0 , 0 , 0 , 2
on propose une convention d'écriture de cette base notons celle-ci base {N} telle que donc base {N} = base {M}
formée des vecteurs de |R^3 dans l'ordre: vec {N1} , vec {N2} , ... , vec {Nn} definie par les composantes n_ij
celles-ci utilisant les fonctions trigonométriques cosinus et sinus
pour cela on commence à construire une orthogonalisation de cette base {M}
de la même que l'on a procédé au point 4-orthogonalisation d'une base de l'espace vectoriel |R^3
en obtenant une base : base {A} formée des vecteurs dans l'ordre: vec {A1} , vec {A2} , ... , vec {AN}
selon l'exemple on obtiens
la base base {A} definie par la matrice [base {A}] =
-8 , -0.6907216495 , -0.07929515419 , 0
6 , 1.268041237 , -0.04845814978 , 0
26 , -0.5051546392 , -0.01321585903 , 0
0 , 0 , 0 , 2
définie par les composantes a_ij celle-ci étant orthogonale
puis on définit les vecteurs unitaires
vec {B1} = (1/||vec {A1}||).vec {A1}
vec {B2} = (1/||vec {A2}||).vec {A2}
...
vec {BN} = (1/||vec {AN}||).vec {AN}
on en construit une base notée base {B} formée des vecteurs dans l'ordre: vec {B1} , vec {B2} , ... , vec {BN}
definie par les composantes b_ij celle-ci étant ortho-unitaire
selon l'exemple on obtiens
la base base {B} definie par la matrice [base {B}] =
-0.287182634 , -0.4515189758 , -0.844781858 , 0
0.2153874476 , 0.8289079705 , -0.5162555799 , 0
0.9333456062 , -0.3302153704 , -0.1407969763 , 0
0 , 0 , 0 , 1
selon le même principe que précédemment on définit
[base {L}] = [base {B}]^-1.[base {M}] de sorte que [base {M}] = [base {B}].[base {L}]
selon l'exemple on obtiens
la base base {L} definie par la matrice [base {L}] =
27.85678159 , 8.04113283 , 10.62578267 , -2.369262352
0 , 1.529775532 , -0.2897778155 , -0.619996879
0 , 0 , 0.09387030119 , -0.04693358531
0 , 0 , 0 , 2
formée des vecteurs dans l'ordre: vec {L1} , vec {L2} , ... , vec {LN}
par conséquent
m_ij = b_i1.l_1j + b_i2.l_2j + ... + b_in.l_nj
selon l'exemple on obtiens
vec {L1} = ( ||vec {L1}||.cos(theta_11), 0 , 0 , 0 ) avec ||vec {L1}|| = 3
pour le vecteur vec {L2} on considère l'espace vectoriel euclidien |R^2 on obtiens :
vec {L2} = ( ||vec {L2}||.cos(theta_12), ||vec {L2}||.sin(theta_12) , 0 , 0 )
pour le vecteur vec {L3} on considère l'espace vectoriel euclidien |R^3 on obtiens :
vec {L3} = ( ||vec {L3}||.cos(theta_13).cos(theta_23), ||vec {L3}||.sin(theta_13).cos(theta_23) , ||vec {L3}||.sin(theta_23) , 0 )
pour le vecteur vec {L4} on considère l'espace vectoriel euclidien |R^4 on obtiens :
vec {L4} = ( ||vec {L4}||.cos(theta_14).cos(theta_24).cos(theta_34) ,
||vec {L4}||.sin(theta_14).cos(theta_24).cos(theta_34) ,
||vec {L4}||.sin(theta_24).cos(theta_34) ,
||vec {L4}||.sin(theta_34) )
avec
||vec {L1}|| = 27.85678159
||vec {L2}|| = 8.185354627
||vec {L3}|| = 10.6301477
||vec {L4}|| = 3.162278132
theta_11 = 0°
theta_12 = 10° 46' 17.21129275"
theta_13 = -1° 33' 43.69435153"
theta_23 = 0° 30' 21.45587018"
theta_14 = -165° 20' 7.694716027
theta_24 = -1° 5' 52.3892449"
theta_34 = 39° 13' 53.44861741"
on obtiens
m_11 = -0,287182634.||vec {L1}||.cos(theta_11) = -8
m_21 = 0,2153874476.||vec {L1}||.cos(theta_11) = 6
m_31 = 0,9333456062.||vec {L1}||.cos(theta_11) = 26
m_41 = 0.||vec {L1}||.cos(theta_11) = 0
m_12 = -0,287182634.||vec {L2}||.cos(theta_12) + -0,4515189758.||vec {L2}||.sin(theta_12) = -3
m_22 = 0,2153874476.||vec {L2}||.cos(theta_12) + 0,8289079705.||vec {L2}||.sin(theta_12) = 3
m_32 = 0,9333456062.||vec {L2}||.cos(theta_12) + -0,3302153704.||vec {L2}||.sin(theta_12) = 7
m_42 = 0.||vec {L2}||.cos(theta_12) + 0.||vec {L2}||.sin(theta_12) = 0
m_13 = -0.287182634.||vec {L3}||.cos(theta_13).cos(theta_23) + -0.4515189758.||vec {L3}||.sin(theta_13).cos(theta_23) + -0.844781858.||vec {L3}||.sin(theta_23)= -3
m_23 = 0.2153874476.||vec {L3}||.cos(theta_13).cos(theta_23) + 0.8289079705.||vec {L3}||.sin(theta_13).cos(theta_23) + -0.5162555799.||vec {L3}||.sin(theta_23) = 2
m_33 = 0.9333456062.||vec {L3}||.cos(theta_13).cos(theta_23) + -0.3302153704.||vec {L3}||.sin(theta_13).cos(theta_23) + -0.1407969763.||vec {L3}||.sin(theta_23) = 10
m_43 = 0.||vec {L3}||.cos(theta_13).cos(theta_23) + 0.||vec {L3}||.sin(theta_13).cos(theta_23) + 0.||vec {L3}||.sin(theta_23) = 0
m_14 = -0.287182634.||vec {L4}||.cos(theta_14).cos(theta_24).cos(theta_34) + -0.4515189758.||vec {L4}||.sin(theta_14).cos(theta_24).cos(theta_34) + ...
... -0.844781858.||vec {L4}||.sin(theta_24).cos(theta_34) + 0.||vec {L4}||.sin(theta_34) = 1
m_24 = 0.2153874476.||vec {L4}||.cos(theta_14).cos(theta_24).cos(theta_34) + 0.8289079705.||vec {L4}||.sin(theta_14).cos(theta_24).cos(theta_34) + ...
... -0.5162555799.||vec {L4}||.sin(theta_24).cos(theta_34) + 0.||vec {L4}||.sin(theta_34) = -1
m_34 = 0.9333456062.||vec {L4}||.cos(theta_14).cos(theta_24).cos(theta_34) + -0.3302153704.||vec {L4}||.sin(theta_14).cos(theta_24).cos(theta_34) + ...
... -0.1407969763.||vec {L4}||.sin(theta_24).cos(theta_34) + 0.||vec {L4}||.sin(theta_34) = -2
m_44 = 0.||vec {L4}||.cos(theta_14).cos(theta_24).cos(theta_34) + 0.||vec {L4}||.sin(theta_14).cos(theta_24).cos(theta_34) + ...
... 0.||vec {L4}||.sin(theta_24).cos(theta_34) + 1.||vec {L4}||.sin(theta_34) = 2
Bonjour
ça sera pas pour mardi j'ai même pas terminé le volet 11 de la page 6 (les journées sont trop courtes)
là ce soir j'en suis là ---->
11-espace dual
il s'agit ici d'expliquer la notion de dualité de l'espace vectoriel en ce qui concerne les notions de composantes covariantes et contravariantes
on va étendre sur l'espace affine la notion de décomposition d'un vecteur sur une base:
___________________________________________________
changement de repere dans l'espace affine euclidien fini |R^n
On se place sur l'espace affine euclidien |R^n , dans cet espace les objets décris ici sont des points ou des repères
dans l'écriture ici les points sont décris par des lettres majucules, les matrices qui représentent ces points selon l'écriture
[P] est la matrice qui represente le point P
les reperes sont decris par l'expression {X,Y} le terme à gauche étant un point et le terme à droite étant une base
par ailleurs on note [AB] la matrice qui represente le vect {AB}
enfin on note {0_n,Id} le repere canonique et ici le point noté 0_n dont les coordonnées sont toutes nulles et Id la base canonique
Soit un point S dont les coordonnées sont données par rapport au repere canonique et soient deux reperes {A,base {M}} et {A',base {M'}}
dont les composantes sont définies par rapport au repere canonique
on considere T qui donne les coordonnées du point S par rapport au repere {A,base {M}}
et on considere T' qui donne les coordonnées du point S par rapport au repere {A',base {M'}}
on obtiens [T] = [base {M}]^-1.[vec {AS}] et [T'] = [base {M'}]^-1.[vec {A'S}]
on considère le repere {L',base {N'}} qui donne les coordonnées du repere {A',base {M'}} par rapport au repere {A,base {M}}
on considère le repere {L,base {N}} qui donne les coordonnées du repere {A,base {M}} par rapport au repere {A',base {M'}}
on dit que [base {N'}] est la matrice de changement de base de la matrice [base {M'}] sur la base base {M} on verifie [base {N'}] = [base {M}]^-1.[base {M'}]
et que [base {N}] est la matrice de changement de base de la matrice [base {M}] sur la base base {M'} on verifie [base {N}] = [base {M'}]^-1.[base {M}]
on verifie [base {N'}] = [base {N}]^-1 et [base {N}] = [base {N'}]^-1
[L'] = [base {M}]^-1.[AA'] et [L] = [base {M'}]^-1.[A'A]
[T'] = [base {N'}]^-1.[L'T] et [T] = [base {N}]^-1.[LT']
considérons la géométrie dans l'espace en posant T=(tx,ty,tz) et T'=(tx',ty',tz')
S = tx.vec {M1} + ty.vec {M2} + tz.vec {M3} + A = tx'.vec {M1'} + ty'.vec {M2'} + tz'.vec {M3'} + A'
avec la base {M} formée des vecteurs dans l'ordre: vec {M1} , vec {M2} , vec {M3}
et la base {M'} formée des vecteurs dans l'ordre: vec {M1'} , vec {M2'} , vec {M3'}
Soient sont donnés T et le repere {L',base {N'}} c'est à dire respectivement
les coordonnées du point S et les coordonnées du repere {A',base {M'}} par rapport au repere {A,base {M}} alors
[base {N}] = [base {N'}]^-1 donne la valeur de la base base {M} par rapport à la base base {M'}
[T'] = [N']^-1.[L'T] donne les coordonnées du point S par rapport au repere {A',base {M'}}
_________________________
matrice de changement de base
Soit une (nXp) matrice B et une base base {E} de |R^n alors le produit
A = [base {E}]^-1.B est une (nXp) matrice c'est la matrice de changement de base de la matrice B sur la base base {E} et on vérifie B = [base {E}].A
on verifie l'équivallence logique "A est une base" <=> "B est une base"
ici on reprend les objets précédents le point S et les deux bases base {M} et base {M'} en posant A = A' = 0_n on obtiens L = L' = 0_n
alors ce faisant les points peuvent tout aussi bien representer des vecteurs et les reperes tout aussi bien representer des bases
on considere T qui donne les coordonnées du point S par rapport au repere {0_n,base {M}}
et on considere T' qui donne les coordonnées du point S par rapport au repere {0_n,base {M'}}
précédemment on a vu que [T'] = [base {N'}]^-1.[T] et [T] = [base {N}]^-1.[T']
et puisque les points ici peuvent tout aussi bien representer des vecteurs et les reperes tout aussi bien representer des bases par conséquent
vec {T} est un vecteur definit sur la base base {M} et vec {T'} est un vecteur definit sur la base base {M'}
[base {N'}] est la matrice de changement de base de la matrice [base {M'}] sur la base base {M} on verifie [base {N'}] = [base {M}]^-1.[base {M'}]
et [base {N}] est la matrice de changement de base de la matrice [base {M}] sur la base base {M'} on verifie [base {N}] = [base {M'}]^-1.[base {M}]
on verifie vec {T'} = [base {N'}]^-1.vec {T} = [base {N}].vec {T} et vec {T} = [base {N}]^-1.vec {T'} = [base {N'}].vec {T'}
car [base {N'}]^-1 = [base {N}] et [base {N}]^-1 = [base {N'}]
à présent considerons le produit vec {T'} = [base {N}].vec {T}
il résulte donc alors que le produit de la matrice [base {N}] de changement de base ici de la matrice [base {M}] sur la base base {M'}
par un vecteur vec {T} definit sur la base base {M} donne pour solution vec {T'} est un vecteur definit sur la base base {M'}
_________________________
composantes covariantes et contravariantes
tout d'abord par convention on dira que les composantes d'un vecteur vec {V} quelconque definit sur la base canonique Id sont des composantes covariantes
(bien évidemment ce n'est pas le seul cas ...mais là on commence l'explication et cette convention est acceptable pour commencer)
on notera ce vecteur vec {V_i} avec l'indice i situé en bas
il résulte d'une telle convention :
Soit un systeme de P vecteurs de |R^n et definis sur la base canonique alors on notera {vec {V_ij}} est ce systeme de P vecteurs
dont les composantes sont covariantes
Soit une base base {E} definie sur la base canonique alors on notera base {E_ij} est cette base dont les composantes sont covariantes
...
Je repose la question :
Y a-t-il des personnes qui suivent ce topic, c'est à dire qui lisent avec attention l'exposé d'amethyste ?
Le cas échéant, un p'tit résumé vite fait en 5 lignes, c'est possible ?
Bonjour
>Yzz
Au début j'ai cru à une plaisanterie..
Au milieu j'ai cru à une punition
A la fin j'ai pensé au record de lignes...
En résumé, nous devrions nous abstenir
de répondre au delà de 20 lignes d'énoncé
si on pouvait résumer ça en 5 lignes, les "tout-en-un" des éditeurs tiendraient sur quelques feuillets A5 ....
bonsoir là le volet 11 (donc l'avant dernier de la page 6/7 avant derniere page du doc)
l'explication est didactique comme le reste donc destiné à convaincre un individu "lambda" sur un sujet philo
11-espace dual
il s'agit ici d'expliquer la notion de dualité de l'espace vectoriel en ce qui concerne les notions de composantes covariantes et contravariantes
___________________________________________________
changement de repere dans l'espace affine euclidien fini |R^n
On se place sur l'espace affine euclidien |R^n , dans cet espace les objets décris ici sont des points ou des repères
dans l'écriture ici les points sont décris par des lettres majucules, les matrices qui représentent ces points selon l'écriture
[P] est la matrice qui represente le point P
les reperes sont decris par l'expression {X,Y} le terme à gauche étant un point et le terme à droite étant une base
par ailleurs on note [AB] la matrice qui represente le vect {AB}
enfin on note {0_n,Id} le repere canonique et ici le point noté 0_n dont les coordonnées sont toutes nulles et Id la base canonique
Soit un point S dont les coordonnées sont données par rapport au repere canonique et soient deux reperes {A,base {M}} et {A',base {M'}}
dont les composantes sont définies par rapport au repere canonique
on considere T qui donne les coordonnées du point S par rapport au repere {A,base {M}}
et on considere T' qui donne les coordonnées du point S par rapport au repere {A',base {M'}}
on obtiens [T] = [base {M}]^-1.[vec {AS}] et [T'] = [base {M'}]^-1.[vec {A'S}]
on considère le repere {L',base {N'}} qui donne les coordonnées du repere {A',base {M'}} par rapport au repere {A,base {M}}
on considère le repere {L,base {N}} qui donne les coordonnées du repere {A,base {M}} par rapport au repere {A',base {M'}}
on dit que [base {N'}] est la matrice de changement de base de la matrice [base {M'}] sur la base base {M} on verifie [base {N'}] = [base {M}]^-1.[base {M'}]
et que [base {N}] est la matrice de changement de base de la matrice [base {M}] sur la base base {M'} on verifie [base {N}] = [base {M'}]^-1.[base {M}]
on verifie [base {N'}] = [base {N}]^-1 et [base {N}] = [base {N'}]^-1
[L'] = [base {M}]^-1.[AA'] et [L] = [base {M'}]^-1.[A'A]
[T'] = [base {N'}]^-1.[L'T] et [T] = [base {N}]^-1.[LT']
considérons la géométrie dans l'espace en posant T=(tx,ty,tz) et T'=(tx',ty',tz')
S = tx.vec {M1} + ty.vec {M2} + tz.vec {M3} + A = tx'.vec {M1'} + ty'.vec {M2'} + tz'.vec {M3'} + A'
avec la base {M} formée des vecteurs dans l'ordre: vec {M1} , vec {M2} , vec {M3}
et la base {M'} formée des vecteurs dans l'ordre: vec {M1'} , vec {M2'} , vec {M3'}
Soient sont donnés T et le repere {L',base {N'}} c'est à dire respectivement
les coordonnées du point S et les coordonnées du repere {A',base {M'}} par rapport au repere {A,base {M}} alors
[base {N}] = [base {N'}]^-1 donne la valeur de la base base {M} par rapport à la base base {M'}
[T'] = [N']^-1.[L'T] donne les coordonnées du point S par rapport au repere {A',base {M'}}
_________________________
matrice de changement de base
Soit une (nXp) matrice B et une base base {E} de |R^n alors le produit
A = [base {E}]^-1.B est une (nXp) matrice c'est la matrice de changement de base de la matrice B sur la base base {E} et on vérifie B = [base {E}].A
on verifie l'équivallence logique "A est une base" <=> "B est une base"
ici on reprend les objets précédents le point S et les deux bases base {M} et base {M'} en posant A = A' = 0_n on obtiens L = L' = 0_n
alors ce faisant les points peuvent tout aussi bien representer des vecteurs et les reperes tout aussi bien representer des bases
on considere T qui donne les coordonnées du point S par rapport au repere {0_n,base {M}}
et on considere T' qui donne les coordonnées du point S par rapport au repere {0_n,base {M'}}
précédemment on a vu que [T'] = [base {N'}]^-1.[T] et [T] = [base {N}]^-1.[T']
et puisque les points ici peuvent tout aussi bien representer des vecteurs et les reperes tout aussi bien representer des bases par conséquent
vec {T} est un vecteur definit sur la base base {M} et vec {T'} est un vecteur definit sur la base base {M'}
[base {N'}] est la matrice de changement de base de la matrice [base {M'}] sur la base base {M} on verifie [base {N'}] = [base {M}]^-1.[base {M'}]
et [base {N}] est la matrice de changement de base de la matrice [base {M}] sur la base base {M'} on verifie [base {N}] = [base {M'}]^-1.[base {M}]
on verifie vec {T'} = [base {N'}]^-1.vec {T} = [base {N}].vec {T} et vec {T} = [base {N}]^-1.vec {T'} = [base {N'}].vec {T'}
car [base {N'}]^-1 = [base {N}] et [base {N}]^-1 = [base {N'}]
à présent considerons le produit [vec {T'}] = [base {N}].[vec {T}]
il résulte donc alors que le produit de la matrice [base {N}] de changement de base ici de la matrice [base {M}] sur la base base {M'}
par un vecteur vec {T} definit sur la base base {M} donne pour solution vec {T'} est un vecteur definit sur la base base {M'}
________________________
produit scalaire euclidien
soient deux vecteurs vec {V} et vec {W} et une base base {E} definis sur la base canonique Id de |R^n
on note vec {X} et vec {Y} les deux vecteurs respectivement vec {V} et vec {W} mais definis sur la base base {E}
par consequent [vec {X}] = [base {E}]^-1.[vec {V}] et donc [vec {V}] = [base {E}].[vec {X}]
[vec {Y}] = [base {E}]^-1.[vec {W}] et donc [vec {W}] = [base {E}].[vec {Y}]
on considere le produit scalaire euclidien
vec {V}.vec {W}= vec {X}.vec {Y} = ||vec {V}||.||vec {W}||.cos(phi)=||vec {X}||.||vec {Y}||.cos(phi)
effectivement le fait que les vecteurs ne soit pas definis sur la même base n'empeche pas leur norme varier ni l'angle formé par les deux vecteurs
vec {V}.vec {W} = v_1.w_1+v_2.w_2+...+v_n.w_n
vec {X}.vec {Y} =
x_1.y_1.g_11+x_1.y_2.g_12+...+x_1.y_n.g_1n+
x_2.y_1.g_21+x_2.y_2.g_22+...+x_2.y_n.g_2n+
...
x_n.y_1.g_n1+x_n.y_2.g_n2+...+x_n.y_n.g_nn
g_ij sont les composantes de la base associée notée base {G} de la base base {E} et on verifie [base {G}] = [base {E}]^A = [base {E}]^t.[base {E}]
[base {E}]^t étant la matrice transposée de [base {E}]
lorsque base {E} est orthogonale alors vec {X}.vec {Y} = x_1.y_1.g_11 + x_2.y_2.g_22 + ... + x_n.y_n.g_nn
lorsque base {E} est orthonormée alors vec {X}.vec {Y} = x_1.y_1.lambda + x_2.y_2.lambda +...+ x_n.y_n.lambda avec lambda = g_11 = g_22 = ... = g_nn
lorsque base {E} est ortho-unitaire vec {X}.vec {Y} = x_1.y_1 + x_2.y_2 +...+ x_n.y_n
________________________
préalable sur les composantes covariantes et contravariantes
à tout vecteur vec {X} défini sur une base base {E} on considere vec {X_i} la notation qui definit ce vecteur par des composantes covariantes
vec {X^i} la notation qui definit ce vecteur par des composantes contravariantes
telles que selon le produit scalaire euclidien on obtiens vec {X}^2 = x_1.x^1 + x_2.x^2 + ... + x_n.x^n
par convention on dira que les composantes d'un vecteur vec {V} quelconque definit sur la base canonique Id sont des composantes covariantes
(bien évidemment ce n'est pas le seul cas ...mais là on commence l'explication et cette convention est acceptable pour commencer)
on notera ce vecteur vec {V_i} avec l'indice i situé en bas
il résulte d'une telle convention :
Soit un systeme de P vecteurs de |R^n et definis sur la base canonique alors on notera {vec {V_ij}} est ce systeme de P vecteurs
dont les composantes sont covariantes
Soit une base base {E} definie sur la base canonique alors on notera base {E_ij} est cette base dont les composantes sont covariantes
Par ailleurs étant donné que c'est la nature de la base sur laquelle est definie un vecteur qui va influer sur l'expression du produit scalaire par conséquent :
soient deux vecteurs vec {V_i} et vec {W_i} et une base base {E_ij} definis sur la base canonique Id de |R^n
ici on exprime donc des composantes covariantes
cependant étant donné que la base canonique est ortho-unitaire on peut aussi écrire
soient deux vecteurs vec {V^i} et vec {W^i} et une base base {E_ij} definis sur la base canonique Id de |R^n
ici les composantes des vecteurs sont contravariantes puisque on a les égalitées V_i = V^i et W_i = W^i
on note vec {X^i} et vec {Y^i} les deux vecteurs respectivement vec {V^i} et vec {W^i} mais definis sur la base base {E_ij}
par consequent [vec {X^i}] = [base {E_ij}]^-1.[vec {V^i}] et donc [vec {V^i}] = [base {E_ij}].[vec {X^i}]
[vec {Y^i}] = [base {E_ij}]^-1.[vec {W^i}] et donc [vec {W^i}] = [base {E_ij}].[vec {Y^i}]
on considere le produit scalaire euclidien
vec {V}.vec {W} = v^1.w^1+v^2.w^2+...+v^n.w^n
vec {X}.vec {Y} =
x^1.y^1.g_11+x^1.y^2.g_12+...+x^1.y^n.g_1n+
x^2.y^1.g_21+x^2.y^2.g_22+...+x^2.y^n.g_2n+
...
x^n.y^1.g_n1+x^n.y^2.g_n2+...+x^n.y^n.g_nn
g_ij sont les composantes de la base associée notée base {G_ij} de la base base {E_ij} et on verifie [base {G_ij}] = [base {E_ij}]^t.[base {E_ij}]
étant donné l'égalitée des composantes covariantes et contravariantes des vecteurs definis sur une base ortho-unitaire
vec {V}.vec {W} = vec {X}.vec {Y} = v^1.w^1+v^2.w^2+...+v^n.w^n = x^1.y_1+x^2.y_2+...+x^n.y_n = x_1.y^1+x_2.y^2+...+x_n.y^n
par conséquent en considérant le produit scalaire vec {X}.vec {X} on verifie
x_1 = x^1.g_11+x^2.g_12+...+x^n.g_1n
x_2 = x^1.g_21+x^2.g_22+...+x^n.g_2n
...
x_n = x^1.g_n1+x^2.g_n2+...+x^n.g_nn
de sorte que x_i=g_ik.x^k par conséquent [vec {x_i}] = [base {G_ij}].[vec {x^i}] de sorte que [vec {x^i}] = [base {G_ij}]^-1.[vec {x_i}]
________________________
base réciproque et base associée réciproque
on a vu que [vec {X^i}] = [base {E_ij}]^-1.[vec {V^i}] et donc [vec {V^i}] = [base {E_ij}].[vec {X^i}]
le vecteur vec {V^i} étant défini par la base canonique Id de sorte que l'on a l'égalitée v_i = v^i
de la même manière il existe une base dite base réciproque de la base base {E_ij} qui sous la forme matricielle est notée [base {E_ij}]^R = [base {E^ij}]
telle que [vec {X_i}] = [base {E^ij}]^-1.[vec {V_i}] de sorte que [vec {V_i}] = [base {E^ij}].[vec {X_i}]
par ailleurs selon l'égalitée v_i = v^i on obtiens donc [vec {V^i}] = [base {E^ij}].[vec {X_i}]
enfin [vec {V^i}] = [base {E_ij}].[vec {X^i}] par consequent [base {E_ij}].[vec {X^i}] = [base {E^ij}].[vec {X_i}]
et donc [vec {X^i}] = [base {E_ij}]^-1.[base {E^ij}].[vec {X_i}] = [base {G_ij}]^-1.[vec {x_i}]
de sorte que
[base {E_ij}]^-1.[base {E^ij}] = [base {G_ij}]^-1 et donc
[base {E^ij}] = [base {E_ij}].[base {G_ij}]^-1 = [base {E_ij}].([base {E_ij}]^t.[base {E_ij}])^-1 = [base {E_ij}].[base {E_ij}]^-1.([base {E_ij}]^t)^-1
l'ensemble des bases munis du produit étant un groupe le produit est donc associatif, il résulte donc [base {E^ij}] = ([base {E_ij}]^t)^-1
Soit une base {E_ij} definie par des composantes covariantes sur une base quelconque B alors il existe une base dite la base reciproque de la base base {E_ij}
et notée base {E^ij} definie par des composantes contravariantes sur cette base quelconque B et definie par le produit matriciel
[base {E^ij}] = [base {E_ij}]^R = ([base {E_ij}]^t)^-1 = ([base {E_ij}]^-1)^t
Soit une base {E^ij} definie par des composantes contravariantes sur une base ortho-unitaire B alors il existe une base dite la base reciproque de la base base {E^ij}
et notée base {E_ij} definie par des composantes covariantes sur cette base ortho-unitaire B et definie par le produit matriciel
[base {E_ij}] = [base {E^ij}]^R = ([base {E^ij}]^t)^-1 = ([base {E^ij}]^-1)^t
par ailleurs la base associée notée base {G_ij} de la base {E_ij} et on verifie
[base {G_ij}] = [base {E^ij}]^A = [base {E_ij}]^t.[base {E_ij}]
pour un vecteur vec {X} defini sur cette base alors [vec {x_i}] = [base {G_ij}].[vec {x^i}] et [vec {x^i}] = [base {G^ij}].[vec {x_i}]
en effet on avait vu [vec {x^i}] = [base {G_ij}]^-1.[vec {x_i}] par consequent on doit demontrer que [base {G^ij}] = [base {G_ij}]^-1
or [base {G^ij}] = [base {G_ij}]^R = ([base {G_ij}]^t)^-1 cela signifie qu'il faut demontrer que [base {G_ij}] = [base {G_ij}]^t
ce qui est le cas car base {G_ij} ayant pour composantes g_ij chacune d'elles donne le produit scalaire euclidien du vecteur i par le vecteur j
le produit scalaire euclidien étant commutatif il resulte que g_ij = g_ji
la base {G^ij} est la base associée réciproque de la base {E_ij}
Alors ça :
l'explication est didactique comme le reste donc destiné à convaincre un individu "lambda" sur un sujet philo
Savoir qu'un individu "lambda" va être convaincu par ce truc, ça me met en joie.
Cela dit, j'aimerais qu'on me le présente, ce monsieur "lambda".
Avec un nom pareil, ça doit pas être un gros bêta non plus, hein...
Bonjour il reste plus grand chose à faire
uniquement
page 6/7 -> chapitre 12/12 -> sous chapitre 3/4 produit scalaire euclidien
page 6/7 -> chapitre 12/12 -> sous chapitre 4/4 produit vectoriel
et la démo de mon assertion en page 7/7
ce qui est posté ici aujourdhuit
page 6/7 -> chapitre 12/12 -> préalable
page 6/7 -> chapitre 12/12 -> sous chapitre 1/4 Espace vectoriel euclidien |R^n
page 6/7 -> chapitre 12/12 -> sous chapitre 2/4 Changement de repere dans l'espace affine euclidien |R^n
12-Produit vectoriel défini par produit mixte
sommaire
préalable
1/4 Espace vectoriel euclidien |R^n
2/4 Changement de repere dans l'espace affine euclidien |R^n
3/4 produit scalaire
4/4 produit vectoriel
___________________________________________
6/7 -> 12/12 Préalable
* L'ensemble des bases de |R^n munie du produit une groupe, il en résulte des propriétés vues à la page 4
** On démontre que soient deux bases A et B de |R^n alors on vérifie (A.B)^t = B^t.A^t
posons a_ij , b_ij , c_ij , d_ij les composantes respectivement des matrices A , B , C , D avec C = (A.B)^t et D = A.B
d_ij = a_ik.b_kj
C = D^t donc c_ij = d_ji = a_jk.b_ki
par ailleurs posons A^t = P avec les composantes p_ij et posons B^t = Q avec les composantes q_ij
p_ij = a_ji et q_ij = b_ji
posons E = Q.P = B^t.A^t avec les composantes e_ij
e_ij = q_ik.p_kj = b_ki.a_jk = a_jk.b_ki = c_ij
_______________________________________________________
6/7 -> 12/12 -> 1/4 Espace vectoriel euclidien |R^n
* on note [base {G_ij}] = [base {E_ij}]^A = [base {E_ij}]^t.[base {E_ij}] est la base associée de la base base {E_ij}
[base {E^ij}] = [base {E_ij}]^R = ([base {E_ij}]^-1)^t = ([base {E_ij}]^t)^-1 la base réciproque de la base base {E_ij}
[base {E_ij}] = [base {E^ij}]^R = ([base {E^ij}]^-1)^t = ([base {E^ij}]^t)^-1 la base réciproque de la base base {E^ij}
[base {G^ij}] = [base {G_ij}]^R est la base associée réciproque de la base base {E_ij}
on verifie [base {G_ij}]^t = [base {G_ij}] et [base {G^ij}]^t = [base {G^ij}] et [base {G^ij}]^-1 = [base {G_ij}]
[base {E_ij}]^t.[base {E^ij}] = [base {E^ij}]^t.[base {E_ij}] = Id la base canonique
** quelque soit une base {E_ij} de |R^n et quelque soit un vecteur vec {V_i} de |R^n on verifie les quatre égalitées
[vec {X^i}] = [base {E_ij}]^-1.[vec {V^i}] et [vec {V^i}] = [base {E_ij}].[vec {X^i}]
[vec {X_i}] = [base {E^ij}]^-1.[vec {V_i}] et [vec {V_i}] = [base {E^ij}].[vec {X_i}]
[vec {v^i}] = [base {G^ij}].[vec {v_i}] et [vec {v_i}] = [base {G_ij}].[vec {v^i}]
avec base {G_ij} est la base associée de la base base {E_ij} et base {G^ij} est la base associée réciproque de la base base {E_ij}
il en résulte:
[base {E_ij}]^-1.[vec {V_i}] = [base {E_ij}]^-1.[base {G_ij}].[vec {v^i}]
[base {E^ij}]^-1.[vec {v^i}] = [base {E^ij}]^-1.[base {G^ij}].[vec {v_i}]
*** Soient deux bases quelconques [base {E_ij}] et [base {F_ij}] et soit un vecteur quelconque vec {V^i} de |R^n alors le produit
[base {B_ij}] = [base {F_ij}]^-1.[base {E_ij}] se nomme la matrice de changement de base de la matrice [base {E_ij}] sur la base base {F_ij}
[base {A_ij}] = [base {E_ij}]^-1.[base {F_ij}] se nomme la matrice inverse de changement de base de la matrice [base {E_ij}] sur la base base {F_ij}
et pour le vecteur vec {X^i} définit par le produit [vec {X^i}] = [base {E_ij}]^-1.[vec {V^i}] alors:
[base {B_ij}].[vec {X^i}] = [vec {Y^i}] et [base {A_ij}].[vec {Y^i}] = [vec {X^i}] et [vec {Y^i}] = [base {F_ij}]^-1.[vec {V^i}]
[base {B^ij}].[vec {X_i}] = [vec {Y_i}] et [base {A^ij}].[vec {Y_i}] = [vec {X_i}] et [vec {Y_i}] = [base {F^ij}]^-1.[vec {V_i}]
__________________________________________________________
6/7 -> 12/12 -> 2/4 Changement de repere dans l'espace affine euclidien |R^n
Soient deux reperes {A^i,base {E_ij}} et {B^i,base {F_ij}} et un point S^i définis par un repere quelconque {O^i,base {R_ij}}
on considère le point X^i qui donne les coordonnées du point S^i par rapport au repere {A^i,base {E_ij}}
et on considère le point Y^i qui donne les coordonnées du point S^i par rapport au repere {B^i,base {F_ij}}
On obtiens [X^i] = [base {E_ij}]^-1.[A^iS^i] et [Y^i] = [base {F_ij}]^-1.[B^iS^i]
on considère le repere {C^i,base {M_ij}} qui donne les coordonnées du repere {A^i,base {E_ij}} par rapport au repere {B^i,base {F_ij}}
et on considère le repere {D^i,base {N_ij}} qui donne les coordonnées du repere {B^i,base {F_ij}} par rapport au repere {A^i,base {E_ij}}
on verifie alors
[C^i] = [base {F_ij}]^-1.[B^iA^i] et [D^i] = [base {E_ij}]^-1.[A^iB^i]
[X^i] = [base {M_ij}]^-1.[C^iY^i] et [Y^i] = [base {N_ij}]^-1.[D^iX^i]
[base {M_ij}] = [base {F_ij}]^-1.[base {E_ij}] et [base {N_ij}] = [base {E_ij}]^-1.[base {F_ij}]
on verifie [base {M_ij}]^-1 = [base {N_ij}]
par ailleurs on pose les bases base {A_ij} et base {B_ij} selon
[base {B_ij}] = [base {F_ij}]^-1.[base {E_ij}] se nomme la matrice de changement de base de la matrice [base {E_ij}] sur la base base {F_ij}
[base {A_ij}] = [base {E_ij}]^-1.[base {F_ij}] se nomme la matrice inverse de changement de base de la matrice [base {E_ij}] sur la base base {F_ij}
alors on verifie [base {B_ij}].[X^i] = [C^iY^i] et [base {A_ij}].[Y^i] = [D^iX^i]
[S^i] = x^j.vec {E_j} + A^i = y^j.vec {F_j} + B^i avec j de 1 à n
où vec {E_j} et vec {F_j} sont les vecteurs qui forment respectivement les bases base {E_ij} et base {F_ij}
Soit est donné le point Y^i et le repere {D^i,base {N_ij}} c'est à dire respectivement les coordonnées du point S^i et les coordonnées du repere {B^i,base {F_ij}}
par rapport au repere {A^i,base {E_ij}} alors:
[base {M_ij}] = [base {N_ij}]^-1 donne les coordonnées de la base base {E_ij} par rapport à la base base {F_ij}
[Y^i] = [base {N_ij}]^-1.[D^iX^i]
Patience, patience !
On en est là : 6/7 -> 12/12 -> 2/4
Donc normalement devrait y avoir ensuite 6/7 -> 12/12 -> 3/4 et 6/7 -> 12/12 -> 4/4 , et enfin...
...La 7/7 !
serait
nisé .
bonjour
bientôt la fin
ici page 6/7 -> 12/12 -> 3/4
__________________________________________________________
3/4 produit scalaire
voir page 4 pour les propriétés
ici le produit scalaire euclidien sera noté: <vec {V},vec {W}>
|= symbole signifiant "non égal"
on vérifie l'équivallence logique
<vec {V},vec {W}> = a <=> [vec {V}]^t.[vec {W}] = a
la norme d'un vecteur ||vec {V}|| = sqrt {<vec {V},vec {V}>}
le vecteur unité: pour tout vecteur non nul vec {V} alors le vecteur unité est donné par: (1/||vec {V}||).vec {V}
le vecteur nul est noté: vec {V} = vec {0_n}
_________________________________________________________
on considère les quatre équivallences logiques suivantes:
* première équivallence
( <vec {V},vec {V}> . <vec {W},vec {W}> |= 0 ) <=> ( les vecteurs vec {V} et vec {W} sont non nuls )
** deuxième équivallence
ici on pose le concept de "colinéarité" : on dira par convention que lorsque deux vecteurs sont colinéaires cela implique qu'ils sont non nuls
cette convention pour bien marquer la différence avec la notion de vecteurs libres
notion non abordée dans ce topo car jusqu'ici on a pas parlé des combinaisons linéaires
le systeme formé par deux vecteurs dont au moins l'un est nul ou le systeme de deux vecteurs colinéaires n'est pas un système de vecteurs libres
( <vec {V},vec {V}> . <vec {W},vec {W}> |= 0 ET <vec {V},vec {W}> ^2 - <vec {V},vec {V}> . <vec {W},vec {W}> = 0 ) <=> ...
... ( les vecteurs vec {V} et vec {W} sont colinéaires )
*** troisième équivallence
ici on pose le concept du "plan" : lorsque deux vecteurs ne sont ni nuls ni colinéaires cela implique qu'ils forme un plan
( <vec {V},vec {V}> . <vec {W},vec {W}> - <vec {V},vec {W}> ^2 |= 0 ) <=> ( les vecteurs vec {V} et vec {W} forment un plan )
**** quatrième équivallence
ici on pose le concept "d'orthogonalité"
( <vec {V},vec {V}> . <vec {W},vec {W}> |= 0 ET <vec {V},vec {W}> = 0 ) <=> ( les vecteurs vec {V} et vec {W} sont orthogonaux )
____________________________________________________________
Soient deux vecteurs colinéaires vec {V} et vec {W} alors:
* lorsque <vec {V},vec {W}> - sqrt { <vec {V},vec {V}> . <vec {W},vec {W}> } = 0 alors les vecteurs vec {V} et vec {W} ont mêmes directions et sens
* lorsque <vec {V},vec {W}> + sqrt { <vec {V},vec {V}> . <vec {W},vec {W}> } = 0 alors les vecteurs vec {V} et vec {W} ont mêmes directions mais de sens opposés
____________________________________________________________
on pose le concept "d'angle formé par deux vecteurs non nuls"
Soient deux vecteurs non nuls vec {V} et vec {W} on dit que phi est l'angle formé par ces deux vecteurs selon 0° =< phi =< 180°
*lorsque <vec {V},vec {W}> = 0 on obtiens phi = 90°
*lorsque <vec {V},vec {W}> > 0 on obtiens 0° =< phi < 90°
*lorsque <vec {V},vec {W}> < 0 on obtiens 90° < phi =< 180°
on vérifie <vec {V},vec {W}> = ||vec {V}||.||vec {W}||.cos ( phi ) avec
phi = arccos ( <vec {V},vec {W}> / ( ||vec {V}||.||vec {W}|| ) )
cos ( phi ) = <vec {V},vec {W}> / ( ||vec {V}||.||vec {W}|| )
sin ( phi ) = sqrt { <vec {V},vec {V}> . <vec {W},vec {W}> - <vec {V},vec {W}> ^2 } / ( ||vec {V}||.||vec {W}|| )
____________________________________________________________
Soient deux vecteurs quelconques vec {V} et vec {W} on considère une loi de composition interne dans |R^n notée : |R^n X |R^n -> |R^n: vec {V} X vec {W} = vec {Z}
vec {V} X vec {W} = <vec {V},vec {V}> . vec {W} - <vec {V},vec {W}> . vec {V}
on vérifie l'équivallence logique
( les vecteurs vec {V} et vec {W} forment un plan ) <=> ( les vecteurs vec {V} et vec {V}Xvec {W} sont orthogonaux )
____________________________________________________________
Soient deux vecteurs vec {V} et vec {W} forment un plan : on note : vec {V} * vec {W} = vec {Z} est un vecteur non nuls défini par
vec {V} * vec {W} = gamma . ( vec {V} X vec {W} ) avec
gamma = sqrt { ( <vec {V},vec {V}> . <vec {W},vec {W}> - <vec {V},vec {W}> ^2 ) / U }
U = < <vec {V},vec {V}>.vec {W} , <vec {V},vec {V}>.vec {W} > . <vec {V},vec {V}> + ...
... + < <vec {V},vec {W}> . vec {V} , <vec {V},vec {W}> . vec {V} > . <vec {V},vec {V}> - ...
... - 2.<vec {V},vec {W}> ^2 . <vec {V},vec {V}> ^2
on verifie:
||vec {V} * vec {W}|| = ||vec {W}||.sin ( phi ) phi est l'angle formé par les deux vecteurs vec {V} et vec {W}
____________________________________________________________
Soient deux vecteurs quelconques vec {V^i} et vec {W^i} et une base quelconque [base {E_ij}]
on pose les vecteurs vec {X^i} et vec {Y^i} selon: [vec {X^i}] = [base {E_ij}]^-1.[vec {V^i}] et [vec {Y^i}] = [base {E_ij}]^-1.[vec {W^i}] alors
<vec {X^i},vec {Y^j}> = x^i.y^j.g_ij sommation d'Einstein avec i de 1 à n et j de 1 à n
g_ij désigne les composantes covariante de la matrice
[base {G_ij}] = [base {E_ij}]^A = [base {E_ij}]^t.[base {E_ij}] est la base associée de la base base {E_ij}
alors
*lorsque la base [base {E_ij}] est orthogonale dans ce cas la matrice [base {G_ij}] est une matrice diagonale
et on obtiens: <vec {X^i},vec {Y^i}> = x^i.y^i.g_ii avec i de 1 à n
**lorsque la base [base {E_ij}] est orthonormée dans ce cas la matrice [base {G_ij}] est une matrice diagonale
dont les composantes sur la diagonale sont toutes identiques
et on obtiens: <vec {X^i},vec {Y^i}> = gamma . (x^i.y^i) avec i de 1 à n et gamma = g_11 = g_22 = ... = g_nn
***lorsque la base [base {E_ij}] est ortho-unitaire dans ce cas la matrice [base {G_ij}] est une matrice diagonale
dont les composantes sur la diagonale sont toutes de valeur 1
et on obtiens: <vec {X^i},vec {Y^i}> = x^i.y^i avec i de 1 à n
_____________________________________________________________
Calcul avec les composantes covariantes et contravariantes
Soient deux vecteurs quelconques vec {V^i} et vec {W^i} et une base quelconque [base {E_ij}]
on pose les vecteurs vec {X^i} et vec {Y^i} selon: [vec {X^i}] = [base {E_ij}]^-1.[vec {V^i}] et [vec {Y^i}] = [base {E_ij}]^-1.[vec {W^i}] alors
<vec {X^i},vec {Y^i}> = x^i.y_i = x_i.y^i
PAUSE MUSICALE svp avant ce soir
après le 3/4 produit scalaire de hier soir et avant le 4/4 produit vectoriel
pause musicale :j'écoute ça à fond pour aller sur les chantiers
et je partage (je suis communiste Stal...il y en a de toutes sortes moi je suis un Stal du P.O.U.M. mais bon...)
Bon, le pavé tout seul c'est déjà du brutal, mais si en plus faut écouter du Ice Cube avec , y'en a qui vont décrocher (si tant est qu'il y en ait vraiment encore pendus aux branches)...
Trouvé sur le net : Le POUM était une organisation communisme anti stal. Donc, ça se complique méchamment...
[quote]Trouvé sur le net : Le POUM était une organisation communisme anti stal. Donc, ça se complique méchamment...[/url]
oui les stal du POUM ont envoyés des machines agricoles pour les combattants au lieu d'armes lors de la guerre d'Espagne ... et pas mal d'autres plans foireux plus tard (la mort de Staline ne change pas notre doctrine) ... : pour te dire on est des bons !
bon je reviens plus tard terminer cette "foutue" page 6
je corrige une faute d'inattention (les deux dernieres égalités )
12/12 -> 1/4 espace vectoriel eulidien |R^n
** quelque soit une base {E_ij} de |R^n et quelque soit un vecteur vec {V_i} de |R^n on verifie les six égalitées
[vec {X^i}] = [base {E_ij}]^-1.[vec {V^i}] et [vec {V^i}] = [base {E_ij}].[vec {X^i}]
[vec {X_i}] = [base {E^ij}]^-1.[vec {V_i}] et [vec {V_i}] = [base {E^ij}].[vec {X_i}]
[vec {X^i}] = [base {G^ij}].[vec {X_i}] et [vec {X_i}] = [base {G_ij}].[vec {X^i}]
le 4/4 est en cours de redaction (j'ai une une semaine de retard)
....autre faute commise juste à la suite sur ce même point
"il en résulte: ... "
j'en ai résulté une chose fausse sur les deux dernieres égalités fausses
bon j'ai une semaine de retard mais mieux vaut aller moins vite que d'écrire n'importe quoi...
bonjour
il y avait des fautes je suis obligé de refaire le page 6/7 -> 12/12 -> préalable+1/4+2/4+3/4
le 4/4 est en cours de verification il est long et je préfere ne pas l'afficher plutôt que de trouver des erreurs plus tard ...
donc ici page 6/7 -> 12/12 -> préalable+1/4+2/4+3/4
12-Produit vectoriel défini par produit mixte
sommaire
préalable
1/4 Espace vectoriel euclidien |R^n
2/4 Changement de repere dans l'espace affine euclidien |R^n
3/4 produit scalaire
4/4 produit vectoriel
___________________________________________
Préalable
* L'ensemble des bases de |R^n munie du produit une groupe, il en résulte des propriétés vues à la page 5
** On démontre que soient deux bases A et B de |R^n alors on vérifie (A.B)^t = B^t.A^t
posons a_ij , b_ij , c_ij , d_ij les composantes respectivement des matrices A , B , C , D avec C = (A.B)^t et D = A.B
d_ij = a_ik.b_kj
C = D^t donc c_ij = d_ji = a_jk.b_ki
par ailleurs posons A^t = P avec les composantes p_ij et posons B^t = Q avec les composantes q_ij
p_ij = a_ji et q_ij = b_ji
posons E = Q.P = B^t.A^t avec les composantes e_ij
e_ij = q_ik.p_kj = b_ki.a_jk = a_jk.b_ki = c_ij
_______________________________________________________
1/4 Espace vectoriel euclidien |R^n
* on note [base {G_ij}] = [base {E_ij}]^A = [base {E_ij}]^t.[base {E_ij}] est la base associée de la base base {E_ij}
[base {E^ij}] = [base {E_ij}]^R = ([base {E_ij}]^-1)^t = ([base {E_ij}]^t)^-1 la base réciproque de la base base {E_ij}
[base {E_ij}] = [base {E^ij}]^R = ([base {E^ij}]^-1)^t = ([base {E^ij}]^t)^-1 la base réciproque de la base base {E^ij}
[base {G^ij}] = [base {G_ij}]^R est la base associée réciproque de la base base {E_ij}
on verifie [base {G_ij}]^t = [base {G_ij}] et [base {G^ij}]^t = [base {G^ij}] et [base {G^ij}]^-1 = [base {G_ij}]
[base {E_ij}]^t.[base {E^ij}] = [base {E^ij}]^t.[base {E_ij}] = Id la base canonique
** quelque soit une base {E_ij} de |R^n et quelque soit un vecteur vec {V_i} de |R^n on verifie les quatre égalitées
[vec {X^i}] = [base {E_ij}]^-1.[vec {V^i}] et [vec {V^i}] = [base {E_ij}].[vec {X^i}]
[vec {X_i}] = [base {E^ij}]^-1.[vec {V_i}] et [vec {V_i}] = [base {E^ij}].[vec {X_i}]
[vec {X^i}] = [base {G^ij}].[vec {X_i}] et [vec {X_i}] = [base {G_ij}].[vec {X^i}]
avec base {G_ij} est la base associée de la base base {E_ij} et base {G^ij} est la base associée réciproque de la base base {E_ij}
*** Soient deux bases quelconques [base {E_ij}] et [base {F_ij}] et soit un vecteur quelconque vec {V^i} de |R^n alors le produit
[base {B_ij}] = [base {F_ij}]^-1.[base {E_ij}] se nomme la matrice de changement de base de la matrice [base {E_ij}] sur la base base {F_ij}
[base {A_ij}] = [base {E_ij}]^-1.[base {F_ij}] se nomme la matrice inverse de changement de base de la matrice [base {E_ij}] sur la base base {F_ij}
et pour le vecteur vec {X^i} définit par le produit [vec {X^i}] = [base {E_ij}]^-1.[vec {V^i}] alors:
[base {B_ij}].[vec {X^i}] = [vec {Y^i}] et [base {A_ij}].[vec {Y^i}] = [vec {X^i}] et [vec {Y^i}] = [base {F_ij}]^-1.[vec {V^i}]
[base {B^ij}].[vec {X_i}] = [vec {Y_i}] et [base {A^ij}].[vec {Y_i}] = [vec {X_i}] et [vec {Y_i}] = [base {F^ij}]^-1.[vec {V_i}]
__________________________________________________________
2/4 Changement de repere dans l'espace affine euclidien |R^n
Soient deux reperes {A^i,base {E_ij}} et {B^i,base {F_ij}} et un point S^i définis par un repere quelconque {O^i,base {R_ij}}
on considère le point X^i qui donne les coordonnées du point S^i par rapport au repere {A^i,base {E_ij}}
et on considère le point Y^i qui donne les coordonnées du point S^i par rapport au repere {B^i,base {F_ij}}
On obtiens [X^i] = [base {E_ij}]^-1.[A^iS^i] et [Y^i] = [base {F_ij}]^-1.[B^iS^i]
on considère le repere {C^i,base {M_ij}} qui donne les coordonnées du repere {A^i,base {E_ij}} par rapport au repere {B^i,base {F_ij}}
et on considère le repere {D^i,base {N_ij}} qui donne les coordonnées du repere {B^i,base {F_ij}} par rapport au repere {A^i,base {E_ij}}
on verifie alors
[C^i] = [base {F_ij}]^-1.[B^iA^i] et [D^i] = [base {E_ij}]^-1.[A^iB^i]
[X^i] = [base {M_ij}]^-1.[C^iY^i] et [Y^i] = [base {N_ij}]^-1.[D^iX^i]
[base {M_ij}] = [base {F_ij}]^-1.[base {E_ij}] et [base {N_ij}] = [base {E_ij}]^-1.[base {F_ij}]
on verifie [base {M_ij}]^-1 = [base {N_ij}]
par ailleurs on pose les bases base {A_ij} et base {B_ij} selon
[base {B_ij}] = [base {F_ij}]^-1.[base {E_ij}] se nomme la matrice de changement de base de la matrice [base {E_ij}] sur la base base {F_ij}
[base {A_ij}] = [base {E_ij}]^-1.[base {F_ij}] se nomme la matrice inverse de changement de base de la matrice [base {E_ij}] sur la base base {F_ij}
alors on verifie [base {B_ij}].[X^i] = [C^iY^i] et [base {A_ij}].[Y^i] = [D^iX^i]
[S^i] = x^j.vec {E_j} + A^i = y^j.vec {F_j} + B^i avec j de 1 à n
où vec {E_j} et vec {F_j} sont les vecteurs qui forment respectivement les bases base {E_ij} et base {F_ij}
Soit est donné le point Y^i et le repere {D^i,base {N_ij}} c'est à dire respectivement les coordonnées du point S^i et les coordonnées du repere {B^i,base {F_ij}}
par rapport au repere {A^i,base {E_ij}} alors:
[base {M_ij}] = [base {N_ij}]^-1 donne les coordonnées de la base base {E_ij} par rapport à la base base {F_ij}
[Y^i] = [base {N_ij}]^-1.[D^iX^i]
__________________________________________________________
3/4 produit scalaire
voir page 5 pour les propriétés
ici le produit scalaire euclidien sera noté: <vec {V},vec {W}>
|= symbole signifiant "non égal"
on vérifie l'équivallence logique
<vec {V},vec {W}> = a <=> [vec {V}]^t.[vec {W}] = a
la norme d'un vecteur ||vec {V}|| = sqrt {<vec {V},vec {V}>}
le vecteur unité: pour tout vecteur non nul vec {V} alors le vecteur unité est donné par: (1/||vec {V}||).vec {V}
le vecteur nul est noté: vec {V} = vec {0_n}
_________________________________________________________
on considère les quatre équivallences logiques suivantes:
* première équivallence
( <vec {V},vec {V}> . <vec {W},vec {W}> |= 0 ) <=> ( les vecteurs vec {V} et vec {W} sont non nuls )
** deuxième équivallence
ici on pose le concept de "colinéarité" : on dira par convention que lorsque deux vecteurs sont colinéaires cela implique qu'ils sont non nuls
cette convention pour bien marquer la différence avec la notion de vecteurs libres
notion non abordée dans ce topo car jusqu'ici on a pas parlé des combinaisons linéaires :
le systeme formé par deux vecteurs dont au moins l'un est nul ou le systeme de deux vecteurs colinéaires n'est pas un système de vecteurs libres
( <vec {V},vec {V}> . <vec {W},vec {W}> |= 0 ET <vec {V},vec {W}> ^2 - <vec {V},vec {V}> . <vec {W},vec {W}> = 0 ) <=> ...
... ( les vecteurs vec {V} et vec {W} sont colinéaires )
*** troisième équivallence
ici on pose le concept du "plan" : lorsque deux vecteurs ne sont ni nuls ni colinéaires cela implique qu'ils forme un plan
( <vec {V},vec {V}> . <vec {W},vec {W}> - <vec {V},vec {W}> ^2 |= 0 ) <=> ( les vecteurs vec {V} et vec {W} forment un plan )
**** quatrième équivallence
ici on pose le concept "d'orthogonalité"
( <vec {V},vec {V}> . <vec {W},vec {W}> |= 0 ET <vec {V},vec {W}> = 0 ) <=> ( les vecteurs vec {V} et vec {W} sont orthogonaux )
____________________________________________________________
Soient deux vecteurs colinéaires vec {V} et vec {W} alors:
* lorsque <vec {V},vec {W}> - sqrt { <vec {V},vec {V}> . <vec {W},vec {W}> } = 0 alors les vecteurs vec {V} et vec {W} ont mêmes directions et sens
* lorsque <vec {V},vec {W}> + sqrt { <vec {V},vec {V}> . <vec {W},vec {W}> } = 0 alors les vecteurs vec {V} et vec {W} ont mêmes directions mais de sens opposés
____________________________________________________________
on pose le concept "d'angle formé par deux vecteurs non nuls"
Soient deux vecteurs non nuls vec {V} et vec {W} on dit que phi est l'angle formé par ces deux vecteurs selon 0° =< phi =< 180°
*lorsque <vec {V},vec {W}> = 0 on obtiens phi = 90°
*lorsque <vec {V},vec {W}> > 0 on obtiens 0° =< phi < 90°
*lorsque <vec {V},vec {W}> < 0 on obtiens 90° < phi =< 180°
on vérifie <vec {V},vec {W}> = ||vec {V}||.||vec {W}||.cos ( phi ) avec
phi = arccos ( <vec {V},vec {W}> / ( ||vec {V}||.||vec {W}|| ) )
cos ( phi ) = <vec {V},vec {W}> / ( ||vec {V}||.||vec {W}|| )
sin ( phi ) = sqrt { <vec {V},vec {V}> . <vec {W},vec {W}> - <vec {V},vec {W}> ^2 } / ( ||vec {V}||.||vec {W}|| )
____________________________________________________________
Soient deux vecteurs quelconques vec {V} et vec {W} on considère une loi de composition interne dans |R^n notée : |R^n X |R^n -> |R^n: vec {V} X vec {W} = vec {Z}
vec {V} X vec {W} = <vec {V},vec {V}> . vec {W} - <vec {V},vec {W}> . vec {V}
on vérifie l'équivallence logique
( les vecteurs vec {V} et vec {W} forment un plan ) <=> ( les vecteurs vec {V} et vec {V}Xvec {W} sont orthogonaux )
____________________________________________________________
Soient deux vecteurs vec {V} et vec {W} forment un plan : on note : vec {V} * vec {W} = vec {Z} est un vecteur non nuls défini par
vec {V} * vec {W} = gamma . ( vec {V} X vec {W} ) avec
gamma = sqrt { ( <vec {V},vec {V}> . <vec {W},vec {W}> - <vec {V},vec {W}> ^2 ) / U }
U = < <vec {V},vec {V}>.vec {W} , <vec {V},vec {V}>.vec {W} > . <vec {V},vec {V}> + ...
... + < <vec {V},vec {W}> . vec {V} , <vec {V},vec {W}> . vec {V} > . <vec {V},vec {V}> - ...
... - 2.<vec {V},vec {W}> ^2 . <vec {V},vec {V}> ^2
on verifie:
||vec {V} * vec {W}|| = ||vec {W}||.sin ( phi ) phi est l'angle formé par les deux vecteurs vec {V} et vec {W}
____________________________________________________________
Soient deux vecteurs quelconques vec {V^i} et vec {W^i} et une base quelconque [base {E_ij}]
on pose les vecteurs vec {X^i} et vec {Y^i} selon: [vec {X^i}] = [base {E_ij}]^-1.[vec {V^i}] et [vec {Y^i}] = [base {E_ij}]^-1.[vec {W^i}] alors
<vec {V^i},vec {W^j}> = x^i.y^j.g_ij sommation d'Einstein avec i de 1 à n et j de 1 à n
<vec {V_i},vec {W_j}> = x_i.y_j.g^ij sommation d'Einstein avec i de 1 à n et j de 1 à n
g_ij désigne les composantes covariante de la matrice
[base {G_ij}] = [base {E_ij}]^A = [base {E_ij}]^t.[base {E_ij}] est la base associée de la base base {E_ij}
alors
*lorsque la base [base {E_ij}] est orthogonale dans ce cas la matrice [base {G_ij}] est une matrice diagonale
et on obtiens: <vec {V^i},vec {W^i}> = x^i.y^i.g_ii avec i de 1 à n
**lorsque la base [base {E_ij}] est orthonormée dans ce cas la matrice [base {G_ij}] est une matrice diagonale
dont les composantes sur la diagonale sont toutes identiques
et on obtiens: <vec {V^i},vec {W^i}> = gamma . (x^i.y^i) avec i de 1 à n et gamma = g_11 = g_22 = ... = g_nn
***lorsque la base [base {E_ij}] est ortho-unitaire dans ce cas la matrice [base {G_ij}] est une matrice diagonale
dont les composantes sur la diagonale sont toutes de valeur 1
et on obtiens: <vec {V^i},vec {W^i}> = x^i.y^i avec i de 1 à n
_____________________________________________________________
Calcul avec les composantes covariantes et contravariantes
Soient deux vecteurs quelconques vec {V^i} et vec {W^i} et une base quelconque [base {E_ij}]
on pose les vecteurs vec {X^i} et vec {Y^i} selon: [vec {X^i}] = [base {E_ij}]^-1.[vec {V^i}] et [vec {Y^i}] = [base {E_ij}]^-1.[vec {W^i}] alors
<vec {V^i},vec {W^i}> =x^i.y_i = x_i.y^i
Si je peux me permettre : "équivalence" ne prend qu'un seul "l".
Mais pas la peine de tout reprendre pour ça, holàààà...
bonjour
fin de la page 6/7 enfin
il reste plus que la derniere à faire celle de la démo
4/4 produit vectoriel
voir page 5 le symbole d'anti-symétrie
on propose un produit vectoriel noté T est une loi de composition interne dans |R^N avec n > 2
vec {X_i} T vec {Y_i} = vec {Z_i}
on obtiens z_i=e^{ijk}.x_j.y_k avec j,k de 1 à n (sommation d'Einstein) et le symbole d'anti-symétrie e^{ijk}
il en résulte
soient vec {X_i}=(x_1,x_2,x_3) et vec {Y_i}=(y_1,y_2,y_3) deux vecteurs de |R^3 alors le produit vectoriel
vec {X_i} T vec {Y_i}=vec {Z}=(z_1,z_2,z_3) appartiens à |R^3 est un vecteur
z_1=x_2.y_3-x_3.y_2
z_2=x_3.y_1-x_1.y_3
z_3=x_1.y_2-x_2.y_1
soient vec {X_i}=(x_1,x_2,x_3,x_4) et vec {Y_i}=(y_1,y_2,y_3,y_4) deux vecteurs de |R^4 alors le produit vectoriel
vec {X_i} T vec {Y_i}=vec {Z}=(z_1,z_2,z_3,y_4) appartiens à |R^4 est un vecteur
z_1=x_2.y_3+x_2.y_4+x_3.y_4-x_3.y_2-x_4.y_2-x_4.y_3
z_2=x_3.y_1+x_3.y_4+x_4.y_1-x_1.y_3-x_1.y_4-x_4.y_3
z_3=x_1.y_2+x_4.y_1+x_4.y_2-x_1.y_4-x_2.y_1-x_2.y_4
z_4=x_1.y_2+x_1.y_3+x_2.y_3-x_2.y_1-x_3.y_1-x_3.y_2
___________________________________________________________________________________
huit propriétés dans |R^n avec n > 2
1)Anticommutativité
vec {V} T vec {W} = - (vec {W} T vec {V} )
2)Distributivité par rapport à l'addition des vecteurs
( vec {V} + vec {W} ) T vec {Z} = ( vec {V} T vec {Z} ) + ( vec {W} T vec {Z} )
3)Le produit par un scalaire est associatif par rapport à ce produit
gamma . ( vec {V} T vec {W} ) = ( gamma . vec {V} ) T vec {W}
4)propriété < vec {V}, vec {V} T vec {W} > = 0
5)propriété < vec {W}, vec {V} T vec {W} > = 0
6)propriété < vec {A}, vec {B} T vec {C} > = < vec {A} T vec {B} , vec {C} >
7)propriété vec {V} T vec {V} vecteur nul
8)propriété || vec {A} T vec {B} ||^2 = < ( vec {A} T vec {B} ) T vec {A} , vec {B} >
quatres propriétés supplémentaires dans |R^3 uniquement
1) || vec {V} T vec {W} ||^2 + < vec {V} , vec {W} > ^2 = || vec {V} ||^2 . || vec {W} ||^2
2) vec {X} T ( vec {Y} T vec {Z} ) + vec {Y} T ( vec {Z} T vec {X} ) + vec {Z} T ( vec {X} T vec {Y} ) vecteur nul
3) < vec {A} T vec {B} , vec {C} T vec {D} > = < vec {A} , vec {C} > . < vec {B} , vec {D} > - < vec {B} , vec {C} > . < vec {A} , vec {D} >
4) ||vec {V} T vec {W}|| = ||vec {V}||.||vec {W}||.sin(phi)
avec phi l'angle formé par les deux vecteurs vec {V} et vec {W}
phi = arccos ( <vec {V},vec {W}> / ( ||vec {V}||.||vec {W}|| ) )
cos ( phi ) = <vec {V},vec {W}> / ( ||vec {V}||.||vec {W}|| )
sin ( phi ) = sqrt { <vec {V},vec {V}> . <vec {W},vec {W}> - <vec {V},vec {W}>^2 } / ( ||vec {V}||.||vec {W}|| )
__________________________________________________________________________________
produit vectoriel de deux vecteurs définis sur une base quelconque
Soient deux vecteurs quelconques vec {V^i} et vec {W^i} et une base quelconque [base {B_ij}]
on pose les vecteurs vec {X^i} et vec {Y^i} selon: [vec {X^i}] = [base {B_ij}]^-1.[vec {V^i}] et [vec {Y^i}] = [base {B_ij}]^-1.[vec {W^i}] alors
vec {V} T vec {W} = vec {Z} on obtiens
z^i= e^{ijk}.x^l.y^m.b_jl.b_km avec j,k,l,m de 1 à n (sommation d'Einstein) et le symbole d'anti-symétrie e^{ijk}
__________________________________________________________________________________
produit mixte
on propose ici deux exemples dans |R^3 et |R^4 facilements transposables dans |R^n avec n > 4
PREMIER EXEMPLE DANS |R^3
Soient deux vecteurs quelconques vec {V^i} et vec {W^i} et une base quelconque [base {B_ij}]
on pose les vecteurs vec {X^i} et vec {Y^i} selon: [vec {X^i}] = [base {B_ij}]^-1.[vec {V^i}] et [vec {Y^i}] = [base {B_ij}]^-1.[vec {W^i}] alors
vec {V} T vec {W} = vec {Z} on obtiens
z^1 = det [P11] - det [P12]
z^2 = det [P21] - det [P22]
z^3 = det [P31] - det [P32]
z_1 = det [Q11] - det [Q12]
z_2 = det [Q21] - det [Q22]
z_3 = det [Q31] - det [Q32]
où l'on considère les matrices
[P11] =
x^2.y^3 x^3.y^1 x^1.y^2
b_21 b_22 b_23
b_31 b_32 b_33
[P12] =
x^3.y^2 x^1.y^3 x^2.y^1
b_21 b_22 b_23
b_31 b_32 b_33
[P21] =
b_11 b_12 b_13
x^2.y^3 x^3.y^1 x^1.y^2
b_31 b_32 b_33
[P22] =
b_11 b_12 b_13
x^3.y^2 x^1.y^3 x^2.y^1
b_31 b_32 b_33
[P31] =
b_11 b_12 b_13
b_21 b_22 b_23
x^2.y^3 x^3.y^1 x^1.y^2
[P32] =
b_11 b_12 b_13
b_21 b_22 b_23
x^3.y^2 x^1.y^3 x^2.y^1
[Q11] =
x_2.y_3 x_3.y_1 x_1.y_2
b^21 b^22 b^23
b^31 b^32 b^33
[Q12] =
x_3.y_2 x_1.y_3 x_2.y_1
b^21 b^22 b^23
b^31 b^32 b^33
[Q21] =
b^11 b^12 b^13
x_2.y_3 x_3.y_1 x_1.y_2
b^31 b^32 b^33
[Q22] =
b^11 b^12 b^13
x_3.y_2 x_1.y_3 x_2.y_1
b^31 b^32 b^33
[Q31] =
b^11 b^12 b^13
b^21 b^22 b^23
x_2.y_3 x_3.y_1 x_1.y_2
[Q32] =
b^11 b^12 b^13
b^21 b^22 b^23
x_3.y_2 x_1.y_3 x_2.y_1
DEUXIEME EXEMPLE DANS |R^4
Soient deux vecteurs quelconques vec {V^i} et vec {W^i} et une base quelconque [base {B_ij}]
on pose les vecteurs vec {X^i} et vec {Y^i} selon: [vec {X^i}] = [base {B_ij}]^-1.[vec {V^i}] et [vec {Y^i}] = [base {B_ij}]^-1.[vec {W^i}] alors
vec {V} T vec {W} = vec {Z} on obtiens
z^1 = det [P11] + det [P12] + det [P13] - det [P14] - det [P15] - det [P16]
z^2 = det [P21] + det [P22] + det [P23] - det [P24] - det [P25] - det [P26]
z^3 = det [P31] + det [P32] + det [P33] - det [P34] - det [P35] - det [P36]
z^4 = det [P41] + det [P42] + det [P43] - det [P44] - det [P45] - det [P46]
z_1 = det [Q11] + det [Q12] + det [Q13] - det [Q14] - det [Q15] - det [Q16]
z_2 = det [Q21] + det [Q22] + det [Q23] - det [Q24] - det [Q25] - det [Q26]
z_3 = det [Q31] + det [Q32] + det [Q33] - det [Q34] - det [Q35] - det [Q36]
z_4 = det [Q41] + det [Q42] + det [Q43] - det [Q44] - det [Q45] - det [Q46]
où l'on considère les matrices
[P11] =
x^2.y^3 x^3.y^1 x^1.y^2 x^1.y^2
b_21 b_22 b_23 b_24
b_31 b_32 b_33 b_34
b_41 b_42 b_43 b_44
[P12] =
x^2.y^4 x^3.y^4 x^4.y^1 x^1.y^3
b_21 b_22 b_23 b_24
b_31 b_32 b_33 b_34
b_41 b_42 b_43 b_44
[P13] =
x^3.y^4 x^4.y^1 x^4.y^2 x^2.y^3
b_21 b_22 b_23 b_24
b_31 b_32 b_33 b_34
b_41 b_42 b_43 b_44
[P14] =
x^3.y^2 x^1.y^3 x^1.y^4 x^2.y^1
b_21 b_22 b_23 b_24
b_31 b_32 b_33 b_34
b_41 b_42 b_43 b_44
[P15] =
x^4.y^2 x^1.y^4 x^2.y^1 x^3.y^1
b_21 b_22 b_23 b_24
b_31 b_32 b_33 b_34
b_41 b_42 b_43 b_44
[P16] =
x^4.y^3 x^4.y^3 x^2.y^4 x^3.y^2
b_21 b_22 b_23 b_24
b_31 b_32 b_33 b_34
b_41 b_42 b_43 b_44
[P21] =
b_11 b_12 b_13 b_14
x^2.y^3 x^3.y^1 x^1.y^2 x^1.y^2
b_31 b_32 b_33 b_34
b_41 b_42 b_43 b_44
[P22] =
b_11 b_12 b_13 b_14
x^2.y^4 x^3.y^4 x^4.y^1 x^1.y^3
b_31 b_32 b_33 b_34
b_41 b_42 b_43 b_44
[P23] =
b_11 b_12 b_13 b_14
x^3.y^4 x^4.y^1 x^4.y^2 x^2.y^3
b_31 b_32 b_33 b_34
b_41 b_42 b_43 b_44
[P24] =
b_11 b_12 b_13 b_14
x^3.y^2 x^1.y^3 x^1.y^4 x^2.y^1
b_31 b_32 b_33 b_34
b_41 b_42 b_43 b_44
[P25] =
b_11 b_12 b_13 b_14
x^4.y^2 x^1.y^4 x^2.y^1 x^3.y^1
b_31 b_32 b_33 b_34
b_41 b_42 b_43 b_44
[P26] =
b_11 b_12 b_13 b_14
x^4.y^3 x^4.y^3 x^2.y^4 x^3.y^2
b_31 b_32 b_33 b_34
b_41 b_42 b_43 b_44
[P31] =
b_11 b_12 b_13 b_14
b_21 b_22 b_23 b_24
x^2.y^3 x^3.y^1 x^1.y^2 x^1.y^2
b_41 b_42 b_43 b_44
[P32] =
b_11 b_12 b_13 b_14
b_21 b_22 b_23 b_24
x^2.y^4 x^3.y^4 x^4.y^1 x^1.y^3
b_41 b_42 b_43 b_44
[P33] =
b_11 b_12 b_13 b_14
b_21 b_22 b_23 b_24
x^3.y^4 x^4.y^1 x^4.y^2 x^2.y^3
b_41 b_42 b_43 b_44
[P34] =
b_11 b_12 b_13 b_14
b_21 b_22 b_23 b_24
x^3.y^2 x^1.y^3 x^1.y^4 x^2.y^1
b_41 b_42 b_43 b_44
[P35] =
b_11 b_12 b_13 b_14
b_21 b_22 b_23 b_24
x^4.y^2 x^1.y^4 x^2.y^1 x^3.y^1
b_41 b_42 b_43 b_44
[P36] =
b_11 b_12 b_13 b_14
b_21 b_22 b_23 b_24
x^4.y^3 x^4.y^3 x^2.y^4 x^3.y^2
b_41 b_42 b_43 b_44
[P41] =
b_11 b_12 b_13 b_14
b_21 b_22 b_23 b_24
b_31 b_32 b_33 b_34
x^2.y^3 x^3.y^1 x^1.y^2 x^1.y^2
[P42] =
b_11 b_12 b_13 b_14
b_21 b_22 b_23 b_24
b_31 b_32 b_33 b_34
x^2.y^4 x^3.y^4 x^4.y^1 x^1.y^3
[P43] =
b_11 b_12 b_13 b_14
b_21 b_22 b_23 b_24
b_31 b_32 b_33 b_34
x^3.y^4 x^4.y^1 x^4.y^2 x^2.y^3
[P44] =
b_11 b_12 b_13 b_14
b_21 b_22 b_23 b_24
b_31 b_32 b_33 b_34
x^3.y^2 x^1.y^3 x^1.y^4 x^2.y^1
[P45] =
b_11 b_12 b_13 b_14
b_21 b_22 b_23 b_24
b_31 b_32 b_33 b_34
x^4.y^2 x^1.y^4 x^2.y^1 x^3.y^1
[P46] =
b_11 b_12 b_13 b_14
b_21 b_22 b_23 b_24
b_31 b_32 b_33 b_34
x^4.y^3 x^4.y^3 x^2.y^4 x^3.y^2
[Q11] =
x_2.y_3 x_3.y_1 x_1.y_2 x_1.y_2
b^21 b^22 b^23 b^24
b^31 b^32 b^33 b^34
b^41 b^42 b^43 b^44
[Q12] =
x_2.y_4 x_3.y_4 x_4.y_1 x_1.y_3
b^21 b^22 b^23 b^24
b^31 b^32 b^33 b^34
b^41 b^42 b^43 b^44
[Q13] =
x_3.y_4 x_4.y_1 x_4.y_2 x_2.y_3
b^21 b^22 b^23 b^24
b^31 b^32 b^33 b^34
b^41 b^42 b^43 b^44
[Q14] =
x_3.y_2 x_1.y_3 x_1.y_4 x_2.y_1
b^21 b^22 b^23 b^24
b^31 b^32 b^33 b^34
b^41 b^42 b^43 b^44
[Q15] =
x_4.y_2 x_1.y_4 x_2.y_1 x_3.y_1
b^21 b^22 b^23 b^24
b^31 b^32 b^33 b^34
b^41 b^42 b^43 b^44
[Q16] =
x_4.y_3 x_4.y_3 x_2.y_4 x_3.y_2
b^21 b^22 b^23 b^24
b^31 b^32 b^33 b^34
b^41 b^42 b^43 b^44
[Q21] =
b^11 b^12 b^13 b^14
x_2.y_3 x_3.y_1 x_1.y_2 x_1.y_2
b^31 b^32 b^33 b^34
b^41 b^42 b^43 b^44
[Q22] =
b^11 b^12 b^13 b^14
x_2.y_4 x_3.y_4 x_4.y_1 x_1.y_3
b^31 b^32 b^33 b^34
b^41 b^42 b^43 b^44
[Q23] =
b^11 b^12 b^13 b^14
x_3.y_4 x_4.y_1 x_4.y_2 x_2.y_3
b^31 b^32 b^33 b^34
b^41 b^42 b^43 b^44
[Q24] =
b^11 b^12 b^13 b^14
x_3.y_2 x_1.y_3 x_1.y_4 x_2.y_1
b^31 b^32 b^33 b^34
b^41 b^42 b^43 b^44
[Q25] =
b^11 b^12 b^13 b^14
x_4.y_2 x_1.y_4 x_2.y_1 x_3.y_1
b^31 b^32 b^33 b^34
b^41 b^42 b^43 b^44
[Q26] =
b^11 b^12 b^13 b^14
x_4.y_3 x_4.y_3 x_2.y_4 x_3.y_2
b^31 b^32 b^33 b^34
b^41 b^42 b^43 b^44
[Q31] =
b^11 b^12 b^13 b^14
b^21 b^22 b^23 b^24
x_2.y_3 x_3.y_1 x_1.y_2 x_1.y_2
b^41 b^42 b^43 b^44
[Q32] =
b^11 b^12 b^13 b^14
b^21 b^22 b^23 b^24
x_2.y_4 x_3.y_4 x_4.y_1 x_1.y_3
b^41 b^42 b^43 b^44
[Q33] =
b^11 b^12 b^13 b^14
b^21 b^22 b^23 b^24
x_3.y_4 x_4.y_1 x_4.y_2 x_2.y_3
b^41 b^42 b^43 b^44
[Q34] =
b^11 b^12 b^13 b^14
b^21 b^22 b^23 b^24
x_3.y_2 x_1.y_3 x_1.y_4 x_2.y_1
b^41 b^42 b^43 b^44
[Q35] =
b^11 b^12 b^13 b^14
b^21 b^22 b^23 b^24
x_4.y_2 x_1.y_4 x_2.y_1 x_3.y_1
b^41 b^42 b^43 b^44
[Q36] =
b^11 b^12 b^13 b^14
b^21 b^22 b^23 b^24
x_4.y_3 x_4.y_3 x_2.y_4 x_3.y_2
b^41 b^42 b^43 b^44
[Q41] =
b^11 b^12 b^13 b^14
b^21 b^22 b^23 b^24
b^31 b^32 b^33 b^34
x_2.y_3 x_3.y_1 x_1.y_2 x_1.y_2
[Q42] =
b^11 b^12 b^13 b^14
b^21 b^22 b^23 b^24
b^31 b^32 b^33 b^34
x_2.y_4 x_3.y_4 x_4.y_1 x_1.y_3
[Q43] =
b^11 b^12 b^13 b^14
b^21 b^22 b^23 b^24
b^31 b^32 b^33 b^34
x_3.y_4 x_4.y_1 x_4.y_2 x_2.y_3
[Q44] =
b^11 b^12 b^13 b^14
b^21 b^22 b^23 b^24
b^31 b^32 b^33 b^34
x_3.y_2 x_1.y_3 x_1.y_4 x_2.y_1
[Q45] =
b^11 b^12 b^13 b^14
b^21 b^22 b^23 b^24
b^31 b^32 b^33 b^34
x_4.y_2 x_1.y_4 x_2.y_1 x_3.y_1
[Q46] =
b^11 b^12 b^13 b^14
b^21 b^22 b^23 b^24
b^31 b^32 b^33 b^34
x_4.y_3 x_4.y_3 x_2.y_4 x_3.y_2
Bonjour les camarades
...salut bon pour la dernière page, je pense qu'il serait bien de dire ce qui se passe ici et ce qui est dit évidemment vu comme ça je pense qu'il n'est pas necessaire de faire mon bidule de groupe topologique pour cette démo ratée...
eh bien c'est à dire que je peux faire semblant de ne pas avoir lu ce que dit le camarade Jghislain sur le lien là
(faire comme si de rien..) construire mon "bidule" (ceci dit rien ne m'empêche d'ouvrir un fil sur cette rubrique et présenter mon groupe topologique ) et faire ma pseudo démo
mais là c'est raté (ça m'arrive de rater des trucs ...c'est comme ça qu'on avance)
par ailleurs la démo donnée dans ce lien mais mal exprimée -je la refais ici - suffit d'elle même
je comptais faire un truc plus sophistiqué mais pourquoi tout compliquer?
soit une donnée d (un nombre réel) décrivant un objet entre parenthèses cet objet peut être assez riche en information par exemple si ce nombre réel est transcendant et de même type que le nombre pi on peut considerer que l'ensemble qui décrit l'objet est représenté par la suite infinie des entiers de sa fraction continue
bref soit d est cette donnée
d est tel que pour deux vecteurs V et W de |R^n alors d=v^i.w^i avec i de 1 à n
où l'on considère ici les composantes contravariantes v^i et w^i et étant donné ce que l'on pose ici
on vérifie v^i=v_i et w^i=w_i puisque on ne dit rien de plus à propos de ces deux vecteurs leurs composantes contravariantes sont identiques à leurs composantes covariantes
et considérons une base B on cherche à déterminer (si c'est possible et dans ce cas on admettra que la démo n'est pas réalisée) la valeur de d à partir uniquement des composantes contravariantes des vecteurs X et Y qui sont la décompositon des vecteurs respectivement V et W sur la base B
or on ne vérifie pas forcément(sauf si la base B est ortho-unitaire ) l'égalitée d=x^i.y^i
pour pouvoir determiner d on doit rechercher les composantes covariantes x_i et y_i de ces deux vecteurs en utilisant une autre base celle-ci étant la base réciproque de B
ce faisant on ne verifie d que parce que l'on utilise deux bases la base b et sa base réciproque (B^-1)^t
ce que l'on a supposé au départ de ce fil
les équations étants
vec {X^i}=[B_ij]^-1.vec {V^i}
vec {Y^i}=[B_ij]^-1.vec {W^i}
vec {X_i}=[B^ij]^-1.vec {V_i}
vec {Y_i}=[B^ij]^-1.vec {W_i}
[B^ij] étantla base réciproque de la base B selon [B^ij]=([B_ij]^-1)^t
la relation entre les composantes contravariantes et covariantes selon
[vec {X^i}] = [base {G^ij}].[vec {X_i}] et [vec {X_i}] = [base {G_ij}].[vec {X^i}]
avec base {G_ij} est la base associée de la base base {E_ij} et base {G^ij} est la base associée réciproque de la base base {E_ij}
d=x_i.y^i avec i de 1 à n
on utilise bien deux base pour determiner cette donnée d
mais est-ce que ce serait honnête de ma part de présenter cette démo sans prendre en compte l'objection posée par le camarade?
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