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triangle isocele inscrit dans un cercle. aire maximal
bonsoir
on a un cercle isocèle ABC dans un cercle de rayon 1 cm. on note alpha l'angle BAC. on doit trouver pour quel mesure alpha l'aire de ce triangle est maximale.
Bonsoir
Disons que le triangle isocèle a son sommet principal en (-1;0) pour fixer les idées.
Les deux autres sommets sont (x,y) et (x,-y) avec .
Fais un dessin et exprime l'aire du triangle en fonction de x.
Quelle expression obtiens-tu ?
Bonjour,
le paramétrage par l'angle est imposé dans l'énoncé
alors certes on peut résoudre le problème par un autre paramétrage (coordonnées des sommets) mais ce n'est plus résoudre l'exo demandé 
on peut le résoudre aussi de façon "verbale" sans rien calculer
libérons complètement les contraintes de "Isocèle" pour le remplacer par "triangle quelconque" inscrit dans le cercle
si on se fixe deux sommets quelconques de ce triangle, le triangle d'aire maximale pour cette base est celui qui aura la hauteur la plus grande, donc le 3ème sommet sera sur la médiatrice de la base choisie (penser à la tangente au cercle parallèle à cette base, tous les points du cercle sont plus près de la base que le point de contact)
donc le triangle sera isocèle.
et comme ceci est vrai quelle que soit la base choisie, il sera "isocèle de tous les côtés"
en imposant le paramétrage, cet exo est uniquement le prétexte pour un calcul avec des fonctions trigo
voire même la dérivée d'une fonction trigo, parce que "le maximum du sinus" tout seul ne donne rien du tout :
dans 1/2 AB.AC.sin(alpha) AB et AC dépendent aussi de alpha !!!
il faut donc exprimer cette aire en fonction de alpha seulement
(exprimer AB et AC en fonction de alpha)
et puis dériver cette fonction là pour en trouver le maximum
qui n'est donc PAS pour alpha = pi/2
(la solution prétendue de philgr22 est fausse)
Peut-être penser à la loi des sinus.
Quelque soit le triangle :
où désigne le rayon du cercle circonscrit.
on peut faire comme ça, pourquoi pas
il faut exprimer les autres angles du triangle en fonction de alpha (A)
on peut aussi utiliser des connaissances de 3ème sur la simple définition des sinus et cosinus dans les triangles rectangles "bien choisis" et la formule de l'aire d'un triangle de l'école primaire : base x hauteur / 2
calcul "sans complication" et avec le moins de "connaissances" requises... 
surtout de celles qui ne sont pas "dans le cours" officiel (vues parfois uniquement en exos), il faut faire de la place dans les cours pour l'algorithmique et les stats, les connaissances en géométrie sont donc réduites d'autant, entre autre raisons.
En effet, Mathafou, (que je salue). Les connaissances en géométrie sont actuellement réduites à une peau de chagrin mais s'il n'y avait que cela !
Le classement Pisa en témoigne !
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