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automatismes (maths)

Posté par Profil amethyste 03-01-15 à 09:30

salut

concept sur les automatismes (maths)

sur ce fil ici les trois premiers automatismes  

-automatisme d'une permutation
-automatisme d'une suite finie
-automatisme régulé d'une suite finie

et deux théorêmes sur les automatismes

conventions de notations

première convention de notation : on note l'ensemble   \mathbb {N}^*_n=\{1,2,...,n\}  

deuxième convention de notation : une famille (x_{i})_{i \in I } d'éléments de E donc une application de I vers E est notée (x_{i}\in E)_{i \in I }


automatisme d'une permutation

on se donne une permutation P =\begin {bmatrix} 1 & 2& ... & n \\ P(1) & P(2) & ...& P(n)\end {bmatrix}\in S_n  

Alors on dit que la suite dénombrable à valeur sur \mathbb {N}^*_n définie par (t_{i}\in \mathbb {N}^*_n)_{i \in \mathbb {N}^* }   est un automatisme  de la permutation P

construction de cet automatisme  

tout d'abord on considère l'inverse de la permutation P et que l'on note Q=P^{-1}=\begin {bmatrix} 1 & 2& ... & n \\ Q(1) & Q(2) & ...& Q(n)\end {bmatrix}\in S_n

puis on considère la suite finie notée (t_{i1})

et on pose
t_{11}=P(1)
t_{21}=P(2)
...
t_{n1}=P(n)

à partir de cette suite on va construire la suite finie notée (t_{i2}) puis ainsi de suite on construit la suite (t_{ij}) à partir de la suite (t_{i,j-1})

la suite finie (t_{ij}) étant une famille (t_{ij})_{i \in \mathbb {N}^*_{4^{j-1}n} } d'éléments de E

en continuant le processus à l'infini pour obtenir une suite infinie que l'on notera  (t_{i})
ce faisant on obtiens l'automatisme recherché qui est une famille infinie  (t_{i})_{i \in \mathbb {N}^* } d'éléments de E

construction de la suite (t_{ij}) avec \forall j \in \mathbb {N}-\{0,1\}  

on pose \forall i\ \mathbb {N}^*_{4^{j-2}n} alors t_{ij}=t_{i,j-1}

\forall i\ \mathbb {N}^*_{2^{2j-3}n}-\mathbb {N}^*_{ 4^{j-2}n} alors t_{ij}=t_{2^{2j-3}n-i+1,j-1}

\forall i\ \in \mathbb {N}^*_{4^{j-1}n}-\mathbb {N}^*_{2^{2j-3}n} alors

lorsquet_{ij}=Q(t_{i-2^{2j-3}n,j})=n   on pose t_{ij}=P(1)

lorsquet_{ij}=Q(t_{i-2^{2j-3}n,j})\neq n   on pose t_{ij}=P(Q(t_{i-2^{2j-3}n,j})+1)

automatisme d'une suite finie

on se donne une suite finie à valeur sur E  (ensemble quelconque non vide fini ou infini ) est définie par la famille (x_{i}\in E)_{i \in \mathbb {N}^*_n } et une permutation P =\begin {bmatrix} 1 & 2& ... & n \\ P_1 & P_2 & ...& P_n\end {bmatrix}\in S_n  

Alors on dit que la suite infinie (y_{i}\in E)_{i \in \mathbb {N}^* }   est un automatisme  de la suite finie (x_{i}\in E)_{i \in \mathbb {N}^*_n }   argumenté par la permutation P

et on dit que la suite finie (x_{i}\in E)_{i \in \mathbb {N}^*_n } est le moteur de cet automatisme

construction de l'automatisme  

on détermine (t_{i}\in \mathbb {N}^*_n)_{i \in \mathbb {N}^* } l'automatisme de la permutation P et on pose définie par y_i=x_{t_{i}}


automatisme régulé d'une suite finie

on se donne une suite finie à valeur sur E  (ensemble quelconque non vide fini ou infini ) est définie par la famille (x_{i}\in E)_{i \in \mathbb {N}^*_n }
et on se donne une permutation P =\begin {bmatrix} 1 & 2& ... & n \\ P_1 & P_2 & ...& P_n\end {bmatrix}\in S_n et enfin on se donne une application f:E->\mathbb {N}^*

Alors on dit que la suite infinie (z_{i}\in E)_{i \in \mathbb {N}^* }   est un automatisme  de la famille finie (x_{i}\in E)_{i \in \mathbb {N}^*_n }   argumenté par la permutation P et régulé par f

et on dit que la suite finie (x_{i}\in E)_{i \in \mathbb {N}^*_n } est le moteur de cet automatisme

construction de l'automatisme  

on commence par construire (y_{i}\in E)_{i \in \mathbb {N}^* }   l'automatisme  de la suite finie (x_{i}\in E)_{i \in \mathbb {N}^*_n }   argumenté par la permutation P


pour i\in  \mathbb {N}^*_{f(y_{1})} on pose z_{i}=y_{1}

et \forall j\in \mathbb {N}-\{0,1\} alors pour i\in  \mathbb {N}^*_{f(y_{1})+f(y_{2})+...+f(y_{j}) }-\mathbb {N}^*_{f(y_{1})+f(y_{2})+...+f(y_{j-1})} on pose z_{i}=y_{j}


premier théorême sur les automatismes: la suite infinie définie par un automatisme n'est pas périodique

deuxième théorême sur les automatismes: tout automatisme dont le moteur est définie par une suite finie d'entier naturels non nul est une suite infinie d'entiers naturels qui forme la fraction continue d'un réel irrationnel et non quadratique
  

Posté par Profil amethystere : automatismes (maths) 03-01-15 à 13:26

une erreur d'inattention  

pour les automatismes d'une suite finie  , E est un ensemble non vide et non singleton

Posté par Profil amethystere : automatismes (maths) 03-01-15 à 17:47

bon je reprend complètement la phrase car tout à l'heure je dormais à moitié

voilà ce qu'il fallait dire

Citation :
on se donne une suite finie à valeur sur E  est définie par la famille (x_{i}\in E)_{i \in \mathbb {N}^*_n }   telle que \exists i \in \mathbb {N}^*_n et \exists j \in \mathbb {N}^*_n et x_{i}\neq x_{j} de sorte que E est un ensemble non vide et non singleton  


  

Posté par Profil amethystere : automatismes (maths) 04-01-15 à 09:28

bon je vais refaire tout ça car mes dénominations d'automatismes (et il en manque encore) sont mal faites sur le plan sémantique

l'automatisme d'une suite finie décrit ci-dessus est en fait l'automatisme régulé par une application stable

f:E->\mathbb {N}^* telle que \forall x \in E,f(x)=1

plus logiquement je devrai appeler cet automatisme là: automatisme unitaire

bon alors

dans ce qui est déjà fait sur ce fil:

automatisme d'une permutation
automatisme unitaire d'une suite finie
automatisme régulé d'une suite finie

à venir quatre autres automatismes (mais je dois démontrer que le premier théorême soit respecté pour chacun d'eux donc ça prend un peu de temps)

Posté par Profil amethystere : automatismes (maths) 07-01-15 à 01:24

...j'ai tellement fait de fautes (plus que ce que j'en ai dit d'ailleurs...et de plus il manquait une définition) et comme je tarde à continuer ce fil (il y a des démos à faire pour les autres automatismes) j'en profite pour le corriger

bon là franchement à présent : c'est nickel
  

concept sur les automatismes (maths)

sur ce fil ici les trois premiers automatismes  

-définition d'un automatisme
-automatisme naturel
-automatisme unitaire  
-automatisme régulé

et d'un théorême sur les automatismes

conventions de notations

première convention de notation : on note l'ensemble   \mathbb {N}_n=\{0,1,2,...,n\}    avec n \in \mathbb {N} et on note l'ensemble   \mathbb {N}^*_n=\{1,2,...,n\}   avec n \in \mathbb {N}^*

deuxième convention de notation : une famille (x_{i})_{i \in I } d'éléments de E donc une application de I vers E est notée (x_{i}\in E)_{i \in I }

cette famille étant une application de I vers E alors obligatoirement: Si I est non vide alors obligatoirement E est non vide

car il existe un théorême définit par l'axiomatique Z (les six théorêmes de Zermelo) qui dit qu'il n'existe pas d'application de I vers E lorsque  E est vide tandis que  I est non vide

par ailleurs lorsque I = \mathbb {N} ou I = \mathbb {N}^* on dit que cette famille est une suite dénombrable à valeur sur E

et lorsque I = \mathbb {N}_n avec n \in \mathbb {N} ou lorsque I = \mathbb {N}^*_n avec n \in \mathbb {N}^*  on dit que cette famille est une suite finie à valeur sur E

définition d'un automatisme

on dit que la suite dénombrable (x_{i}\in E)_{i \in \mathbb {N}^*} est un automatisme si et seulement si elle n'est pas périodique entre parenthèses pour un automatisme on prend la convention   i \in \mathbb {N}^*

autrement dit on vérifie  \forall T \in \mathbb {N}^* et \forall i \in \mathbb {N}^*_T alors \nexists a\in \mathbb {N} et \nexists b \in \mathbb {N}^*_n et tels que x_{a+i}=x_{a+bT+i}

il résulte donc que   E   est non vide et non singleton


automatisme naturel

on se donne une permutation P =\begin {bmatrix} 1 & 2& ... & n \\ P(1) & P(2) & ...& P(n)\end {bmatrix}\in S_n et n \in \mathbb {N}-\{0,1\}

Alors on dit que la suite dénombrable construite ci-dessous- à valeur sur \mathbb {N}^*_n donc avec n \in \mathbb {N}^* définie par (t_{i}\in \mathbb {N}^*_n)_{i \in \mathbb {N}^* }   est un automatisme  naturel argumenté par la permutation P

construction de cet automatisme  

tout d'abord on considère l'inverse de la permutation P et que l'on note Q=P^{-1}=\begin {bmatrix} 1 & 2& ... & n \\ Q(1) & Q(2) & ...& Q(n)\end {bmatrix}\in S_n

puis on considère la suite finie notée (t_{i1})

et on pose
t_{11}=P(1)
t_{21}=P(2)
...
t_{n1}=P(n)

à partir de cette suite on va construire la suite finie notée (t_{i2}) puis ainsi de suite on construit la suite (t_{ij}) à partir de la suite (t_{i,j-1})

la suite finie (t_{ij}) étant une famille (t_{ij})_{i \in \mathbb {N}^*_{4^{j-1}n} } d'éléments de \mathbb {N}^*

en continuant le processus à l'infini pour obtenir une suite infinie que l'on notera  (t_{i})
ce faisant on obtiens l'automatisme recherché qui est une famille infinie  (t_{i})_{i \in \mathbb {N}^* } d'éléments de \mathbb {N}^*

construction de la suite (t_{ij}) avec \forall j \in \mathbb {N}-\{0,1\}  

on pose \forall i\ \mathbb {N}^*_{4^{j-2}n} alors t_{ij}=t_{i,j-1}

\forall i\ \mathbb {N}^*_{2^{2j-3}n}-\mathbb {N}^*_{ 4^{j-2}n} alors t_{ij}=t_{2^{2j-3}n-i+1,j-1}

\forall i\ \in \mathbb {N}^*_{4^{j-1}n}-\mathbb {N}^*_{2^{2j-3}n} alors

lorsquet_{ij}=Q(t_{i-2^{2j-3}n,j})=n   on pose t_{ij}=P(1)

lorsquet_{ij}=Q(t_{i-2^{2j-3}n,j})\neq n   on pose t_{ij}=P(Q(t_{i-2^{2j-3}n,j})+1)

automatisme unitaire

on se donne une suite finie à valeur sur E  (ensemble quelconque non vide et non singleton ) est définie par la famille (x_{i}\in E)_{i \in \mathbb {N}^*_n } et une permutation P =\begin {bmatrix} 1 & 2& ... & n \\ P_1 & P_2 & ...& P_n\end {bmatrix}\in S_n avec n \in \mathbb {N}-\{0,1\}

Alors on dit que la suite construite ci-dessous- à valeur sur E   est un automatisme unitaire argumenté par la permutation P

construction de l'automatisme  

on détermine (t_{i}\in \mathbb {N}^*_n)_{i \in \mathbb {N}^* } l'automatisme de la permutation P et on pose définie par y_i=x_{t_{i}}


automatisme régulé

on se donne une suite finie à valeur sur E  (ensemble quelconque non vide et non singleton ) est définie par la famille (x_{i}\in E)_{i \in \mathbb {N}^*_n }
et on se donne une permutation P =\begin {bmatrix} 1 & 2& ... & n \\ P_1 & P_2 & ...& P_n\end {bmatrix}\in S_n  avec n \in \mathbb {N}-\{0,1\} et enfin on se donne une application f:E->\mathbb {N}^*

Alors on dit que la suite construite ci-dessous- à valeur sur E   est un automatisme régulé :

cet automatisme est dit argumenté par la permutation P et régulé par f

construction de l'automatisme  

on commence par construire (y_{i}\in E)_{i \in \mathbb {N}^* }   l'automatisme  de la suite finie (x_{i}\in E)_{i \in \mathbb {N}^*_n }   argumenté par la permutation P


pour i\in  \mathbb {N}^*_{f(y_{1})} on pose z_{i}=y_{1}

et \forall j\in \mathbb {N}-\{0,1\} alors pour i\in  \mathbb {N}^*_{f(y_{1})+f(y_{2})+...+f(y_{j}) }-\mathbb {N}^*_{f(y_{1})+f(y_{2})+...+f(y_{j-1})} on pose z_{i}=y_{j}



théorême sur les automatismes: tout automatisme unitaire à valeur sur \mathbb {N}^*   est une suite infinie d'entiers naturels qui forme la fraction continue d'un réel irrationnel et non quadratique
  
remarque: un automatisme unitaire est en fait l'automatisme régulé par une application stable f:E->\mathbb {N}^* telle que \forall x \in E,f(x)=1

Posté par Profil amethystere : automatismes (maths) 08-01-15 à 15:36

bon là franchement à présent : c'est nickel
  
j'ai parlé trop vite car j'ai encore trouvé le moyen de dire une c-------

là dans ce qui est cité je corrige

...
construction de cet automatisme  

tout d'abord on considère l'inverse de la permutation P et que l'on note Q=P^{-1}=\begin {bmatrix} 1 & 2& ... & n \\ Q(1) & Q(2) & ...& Q(n)\end {bmatrix}\in S_n

puis on considère la suite finie notée (t_{i1})

et on pose
t_{11}=P(1)
t_{21}=P(2)
...
t_{n1}=P(n)

à partir de cette suite on va construire la suite finie notée (t_{i2}) puis ainsi de suite on construit la suite (t_{ij}) à partir de la suite (t_{i,j-1})

Citation :
la suite finie (t_{ij}) étant une famille (t_{ij})_{i \in \mathbb {N}^*_{4^{j-1}n} } d'éléments de \mathbb {N}^*_n


Citation :
en continuant le processus à l'infini pour obtenir une suite infinie que l'on notera  (t_{i})
ce faisant on obtiens l'automatisme recherché qui est une famille infinie  (t_{i})_{i \in \mathbb {N}^* } d'éléments de \mathbb {N}^*_n  


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