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Produit scalaire et projection orthogonale

Posté par
trablazar 13-01-15 à 11:14

Bonjour !

Ayant du mal avec les projections orthogonales (on a sauté le chapitre mais il est quand même au programme), je requiers humblement votre aide!
Voici donc l'objet de mes problèmes:

Soit (IR^3) muni de la base canonique {e1, e2, e3} et du produit scalaire usuel <x,y> = x^T.y = \sum_{i=1}^3 x_i.y_i.
Soit a ∈ IR^3 un vecteur de norme 1.
On pose F_a = vect < a > et G_a = F^T_a.

1. Soit {a,x} une famille libre. Déterminer α pour que le vecteur w = x + αa soit orthogonal à a.

Donc la j'ai posé <a,w>=0 :
<a,w> = 0
<a,x> + α<a,a> = 0
α = -<a,x>

2. Pour tout x ∈ IR^3, déterminer un couple (y, z) ∈ F_a × G_a tel que x = y + z. Expliquer pourquoi ce couple est unique.

Donc la je comprends bien qu'il faut décomposer x avec la base de F_a d'une part et G_a de l'autre, mais je ne vois pas comment m'y prendre...

3. On définit \Pi_a la projection orthogonale sur G_a par \Pi_a(x) = x-<x,a>a.
(a) Vérifier que \Pi^2_a = \Pi_a.

Alors là je vois qu'il y a un truc avec la décomposition du dessus, pour la projection orthogonale, mais je ne sais pas comment l'utiliser.
J'ai \Pi^2_a = x^2 - 2<x,a>.x.a + <x,a>^2.a^2 donc \Pi^2_a = x^2 - 2.x^T.a.x.a + <x,a>^2.a^2 Mais je ne sais pas trop comment développer tout ça...


Merci d'avance !

Posté par
verdurinre : Produit scalaire et projection orthogonale 13-01-15 à 11:27

Bonjour,

je ne comprend pas G_a = F^T_a
ne serrait-ce pas G_a = F^\perp_a=\{x\in\R^3 \ |\  <a,x>=0\} ?

Posté par
trablazarre : Produit scalaire et projection orthogonale 13-01-15 à 11:31

Ah oui j'ai oublié de préciser, je n'ai pas trouvé le symbole pour orthogonal donc j'ai mis T ! Il s'agit bien de l'ensemble orthogonal à F_a

Posté par
verdurinre : Produit scalaire et projection orthogonale 13-01-15 à 11:41

La question 1) montre que, si x n'est pas dans F_a, il existe w dans G_a tel que w=x+\alpha a.

Ce qui peut s'écrire x=y+(-w)

Posté par Profil amethystere : Produit scalaire et projection orthogonale 13-01-15 à 11:53

Bonjour !

je reste un peu je reviens plus tard car je dois partir faire des courses

Citation :


On pose F_a = vect < a > et G_a = F^T_a.

1. Soit {a,x} une famille libre. Déterminer α pour que le vecteur w = x + αa soit orthogonal à a.[/b]


en fait pour tout vecteur non nul X et vecteur non nul Y tels que ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires...

donc dans ces conditions là on verifie <X|X>.<Y|Y>-<X|Y>^2\neq 0
alors le vecteur Z=<X|X>.Y-<X|Y>.X est orthogonal à X

dans ton exemple X est a et Y est un vecteur x et w est la solution Z qui est orthogonal à X

par conséquent tu recherche \alpha tel que \beta Z=Y+\alpha X
donc \beta Z=\beta <X|X>.Y-\beta <X|Y>.X=Y+\alpha X et donc \beta =<X|X>^{-1}

donc <X|X>^{-1} Z=<X|X>^{-1} <X|X>.Y-<X|X>^{-1} <X|Y>.X=Y+\alpha X

donc \alpha =-<X|X>^{-1}.<X|Y> et tu obtiens <X|X>^{-1}. Z=Y+\alpha X=<X|X>^{-1}.<X|X>.Y+(-)<X|X>^{-1}.<X|Y>.X

pour le 1) on a \alpha =-<X|X>^{-1}.<X|Y>

je reviens pour le 2) apres que j'ai fait des courses

Posté par
trablazarre : Produit scalaire et projection orthogonale 13-01-15 à 12:37

Citation :
La question 1) montre que, si x n'est pas dans F_a, il existe w dans G_a tel que w = x + \alpha a.

Ce qui peut s'écrire x=y+(-w)


Oui je vois ce que vous voulez dire, on cherche à "enlever" les composantes se ramenant à F_a...
Je dois vous avouer que la ça m'est complètement abscons, je n'avais pas fait grand cas de cette question et il semblerait que j'aurais du.
Ne veut-on pas simplement w orthogonal à a ?

Bonjour amethyste, je dois vous dire que vous me présentez des équations qui m'étaient jusqu'alors inconnues!

Citation :
donc dans ces conditions là on verifie <X|X>.<Y|Y>-<X|Y>^2\neq 0
alors le vecteur Z=<X|X>.Y-<X|Y>.X est orthogonal à X


Alors là je n'ai même pas compris comment passer de l'un à l'autre... Si jamais cela peut jouer, je tiens à dire que cet exercice est dans le cadre d'un cours sur les matrices !

Posté par Profil amethystere : Produit scalaire et projection orthogonale 13-01-15 à 12:43

...bon ensuite pour la 2)

il y a donc un probleme avec ton énoncé  

je rechange tes notations

donc on a dit X donc ton F_a et Z  ton G_a sont orthogonaux

en fait ces deux vecteurs X et Z forment une sous-base de R^3 on va l'appeler M

et là on te demande de faire une combinaison lineaire

or on te dit "pour tout vecteur de R^3" faire une combinaison linéaire avec cette sous base

il y a donc un probleme avec ton énoncé  

Posté par
trablazarre : Produit scalaire et projection orthogonale 13-01-15 à 12:49

Citation :
...bon ensuite pour la 2)

il y a donc un probleme avec ton énoncé  

je rechange tes notations

donc on a dit X donc ton F_a et Z  ton G_a sont orthogonaux

en fait ces deux vecteurs X et Z forment une sous-base de R^3 on va l'appeler M

et là on te demande de faire une combinaison lineaire

or on te dit "pour tout vecteur de R^3" faire une combinaison linéaire avec cette sous base

il y a donc un probleme avec ton énoncé  



Mais G_a étant l'orthogonal de F_a , la somme directe des 2 forme IR^3 il me semble

Posté par Profil amethystere : Produit scalaire et projection orthogonale 13-01-15 à 12:51

Citation :

Alors là je n'ai même pas compris comment passer de l'un à l'autre...


Citation :
donc dans ces conditions là on verifie <X|X>.<Y|Y>-<X|Y>^2\neq 0


ça c'est obligé parce que sinon cela signifie que tex vecteurs X et Y sont colinéaires ou nuls

Citation :
alors le vecteur Z=<X|X>.Y-<X|Y>.X est orthogonal à X


ça c'est à toi de le demontrer et la demo est facile

pour le reste regarde ce que je viens de dire

il y a un petit problème avec ton énoncé à la question 2)

de toute façon tu ne dit que la moitié des trucs ...

Posté par Profil amethystere : Produit scalaire et projection orthogonale 13-01-15 à 13:00

F_a est un sous espace vectoriel de dimension 1 (tous les vecteurs colinéares à X -de ma notation)

G_a est un sous espace vectoriel de dimension 1 (tous les vecteurs colinéaires à Z -de ma notation)

F_a et G_a orthogonaux

de sorte que la somme directe F_a+G_a = H_a sous espace vectoriel de dimension 2 et donc n'engendre pas R^3  

Posté par
trablazarre : Produit scalaire et projection orthogonale 13-01-15 à 13:05

Tu as surement raison, mais il n'y a pas d'erreur dans le recopiage... L'exercice est un annale de final donc je pense pas non plus qu'il puisse avoir des erreurs aussi grosse...

Citation :
de toute façon tu ne dit que la moitié des trucs ...


Non, aucunement, j'ai juste l'impression que l'on parle de choses totalement différentes. Le cours sur lequel porte l'exercice est un cours d'introduction aux matrices... Nous n'avons jamais introduit quelconque colinéarité ou autre, et ce n'est pas non plus dans le polycopié. Du coup j'ai l'impression qu'il y a quiproquo

Posté par Profil amethystere : Produit scalaire et projection orthogonale 13-01-15 à 13:11

mais explique puisque

F_a est un sous espace vectoriel de dimension 1 (tous les vecteurs colinéares à X -de ma notation)

G_a est un sous espace vectoriel de dimension 1 (tous les vecteurs colinéaires à Z -de ma notation)

F_a et G_a orthogonaux

de sorte que la somme directe F_a+G_a = H_a sous espace vectoriel de dimension 2 et donc n'engendre pas R^3  

donc tu ne peut pas faire de combinaisons lineaire avec tout vecteur de R^3 avec  F_a+G_a = H_a

tu doit rajouter un autre comme par exemple (c'est pas obligé) le produit vectoriel V=X \wedge Z

et là ok X,Z,V engendrent R^3



il y a un probleme avec ton enoncé


Posté par
trablazarre : Produit scalaire et projection orthogonale 13-01-15 à 13:21

Dans mon polycopié il est énoncé que IR^3 est un espace euclidien et plus loin qu'avec E un espace euclidien, on a F+F^\perp = E or G_a = F^\perp_a

Posté par Profil amethystere : Produit scalaire et projection orthogonale 13-01-15 à 13:29

je sais qu'il est euclidien tu l'a dit au premier post en designant ta forme bilinéaire (le produit scalaire)

dans ce cas ton F_a est formé de ta famille libre {A,x} (et ça tu ne l'a pas dit plus haut)

et là d'accord F_a est de dimension 2

et G_a est formé par tous les vecteurs colinéaires à Z=A\wedge X

bon on reprend ?

on doit donc refaire la question 1)

tu me suit? on reprend?



Posté par
trablazarre : Produit scalaire et projection orthogonale 13-01-15 à 13:45

Ah non F_a est de dimension 1, j'en suis quasi sur : http://puu.sh/esvF7/eba0a19eaa.png (l'exercice)

Pour la 1) je pense vraiment qu'il s'agit juste de dire que α = -<a,x>.

Pour la 2) il faut surtout montrer l'unicité, après sinon c'est évident qu'il peut se décomposer en y et z.
Le truc c'est qu'il existe beta tel que y=\beta . a et z appartient à G_a

Posté par Profil amethystere : Produit scalaire et projection orthogonale 13-01-15 à 13:49

et la solution que je t'ai donné du 1) est correcte

mais tu dois la demontrer

\alpha =-<A|A>^{-1}.<A|X>

et tu verifie W = X + \alpha A orthogonal à A

A vecteur unitaire a

et X ce que tu écrit en minuscule x (pour des vecteurs c'est bien de les écrires en majuscule et tes scalaires en minuscules)

bon on y va pour le 2) à present qu'on est d'accord?

Posté par
trablazarre : Produit scalaire et projection orthogonale 13-01-15 à 13:54

Ok ok on y va pour la 2), comment prouver l'unicité de la décomposition ?

Posté par
Robotre : Produit scalaire et projection orthogonale 13-01-15 à 13:59

Ne tiens pas compte de ce qu'écrit Amethyste, ça vaudra mieux pour toi.

Pour le 1, OK.
Pour le 2, d'accord pour l'existence ? Pour l'unicité, tu dois savoir que F_a et G_a sont en somme directe, n'est-ce pas ? Qu'est-ce que ça veut dire ?
Pour le 3, tu te mélanges les pinceaux. Tu calcules comme si \Pi_a^2(x) était \Pi_a(x)\times \Pi_a(x), ce qui n'a aucun sens (un produit de deux vecteurs ?). Mais
\Pi_a^2(x)=\Pi_a(\Pi_a(x))= \Pi_a(x-\langle x,a\rangle\,a)=\ldots

Posté par Profil amethystere : Produit scalaire et projection orthogonale 13-01-15 à 14:02

tres bien donc on est d'accord {A,X} famille de vecteurs libre forme F_A de dimension 2

et G_A de dimension 1 tout vecteurs colinéaires à A\wedge X

(le fait de prendre un produit vectoriel n'est pas obligé est-ce que tu comprend pourquoi c'est pas obligé?)

si on est bien d'accord dit le !

....par ailleurs tu doit demontrer que la solution que je t'ai donné pour le scalaire \alpha est correcte

selon \alpha =-<A|A>^{-1}.<A|X>

et tu verifie W = X + \alpha A orthogonal à A


donc j'attend que tu me redise bien qu'on est d'accord car sinon on va encore avoir des explications qui te feront perdre du temps  

Posté par Profil amethystere : Produit scalaire et projection orthogonale 13-01-15 à 14:06

Citation :
Ne tiens pas compte de ce qu'écrit Amethyste, ça vaudra mieux pour toi


Robot ça c'est pas correct de ta part!

car en plus ce que j'ai fait ici sur ce fil est correct
tres bien j'ai clarifié l'enoncé de depart qui était brouillon

Posté par
Robotre : Produit scalaire et projection orthogonale 13-01-15 à 14:10

Tu ne fais qu'embrouiller les choses, en prétendant pour commencer que F_a est de dimension 2 alors que F_a est la droite vectorielle engendrée par a.
J'estime de mon devoir d'empêcher que tu perdes complètement trablazar (qui a déjà du mal à s'y retrouver) avec tes salades.

Posté par Profil amethystere : Produit scalaire et projection orthogonale 13-01-15 à 14:14

non dès le depart je disait que F_a est de dimension 1

et comme sa question 2 est impossible à resoudre puisque F_a+G_a est de dimension 2

alors j'ai modifié le truc afin de faire en sorte de se retrouver avec un F_a de dimension 2

et avoir F_a+G_a de dimension 3

en plus je te demanderai d'être plus correct et surveiller ton langage

Citation :
... avec tes salades.

Posté par
Robotre : Produit scalaire et projection orthogonale 13-01-15 à 14:19

Citation :
et comme sa question 2 est impossible à resoudre puisque F_a+G_a est de dimension 2


Ceci montre que tu n'as absolument rien compris à l'exercice. Tu penses peut-être rendre service à trablazar, mais ce n'est absolument pas le cas, bien au contraire. Il vaudrait mieux pour tout le monde que tu arrêtes.

Posté par Profil amethystere : Produit scalaire et projection orthogonale 13-01-15 à 14:21

ok!

tant pis pour lui

c'est toi Robot qui sera responsable!

je m'en lave les mains

à plus

Posté par
trablazarre : Produit scalaire et projection orthogonale 13-01-15 à 14:28

amethyste j'ai l'impression que vous utilisez des outils que je n'ai pas en ma connaissance...
Loin de moi l'idée que vous ayez faux, vous semblez même très bon, mais vous semblez aussi partir de bases que je n'ai pas. Je ne peux pas en tout état de cause confirmer ce que je ne peux entendre

Citation :
Pour le 1, OK.
Pour le 2, d'accord pour l'existence ? Pour l'unicité, tu dois savoir que F_a et G_a sont en somme directe, n'est-ce pas ? Qu'est-ce que ça veut dire ?
Pour le 3, tu te mélanges les pinceaux. Tu calcules comme si \Pi_a^2(x) était \Pi_a(x)\times \Pi_a(x), ce qui n'a aucun sens (un produit de deux vecteurs ?). Mais \Pi_a^2(x)=\Pi_a(\Pi_a(x))= \Pi_a(x-\langle x,a\rangle\,a)=\ldots


Oui en effet ca n'a aucun sens, mais je ne voyais pas d'autre moyen, je n'avais pas compris que le ² signifiait \Pi_a rond \Pi_a
Donc pour le 2, pour l'unicité je sais que F_a\bigcap G_a = 0 donc en gros y ne peut pas "prendre de composantes de z" et vice versa (un peu confus je l'accorde)

Pour \Pi_a^2(x)=\Pi_a(\Pi_a(x))= \Pi_a(x-\langle x,a\rangle\,a):

\Pi_a(x-\langle x,a\rangle\,a) = x-\langle x,a\rangle\,a - <x-\langle x,a\rangle\,a ; a> a
=> x-\langle x,a\rangle\,a -\langle x,a\rangle\,a + <\langle x,a\rangle\,a;a> a
=> x- 2.\langle x,a\rangle\,a + <\langle x,a\rangle\,a ; a> a
Comment développer un tel terme ?

Posté par
Robotre : Produit scalaire et projection orthogonale 13-01-15 à 14:38

\langle x,a\rangle est un scalaire. Si \lambda est un scalaire, ne sais-tu pas ce que vaut \langle \lambda a,a\rangle ?

Pour le 2) : effectivement, F_a\cap G_a=\{0\} (il vaut mieux écrire comme ça !) est la clé de l'unicité.
Si tu veux t'en convaincre, tu peux supposer qu'on a deux décompositions y_1+z_1=y_2+z_2 avec y_i\in F_a et z_i\in G_a, et en déduire y_1-y_2=z_1-z_2=0 (tu vois pourquoi ?).

Posté par
trablazarre : Produit scalaire et projection orthogonale 13-01-15 à 14:48

Ah oui biensur! du coup j'ai

=> x- 2.\langle x,a\rangle\,a + <\langle x,a\rangle\,a ; a> a
=> x- 2.\langle x,a\rangle\,a + \langle x,a\rangle\, <a; a> a
=> x- 2.\langle x,a\rangle\,a + \langle x,a\rangle\, a
=> x- \langle x,a\rangle\,a
=> \Pi_a

Oui pour l'unicité :
y_1+z_1=y_2+z_2
y_1+z_1-y_2-z_2=0
(\alpha_1 - \alpha_2)a + (\beta_1 - \beta_2)*base de G_a* = 0
Or puisque a et base de G_a sont libre, \alpha_1 - \alpha_2 = 0 donc \alpha_1 = \alpha_2 donc y_1 = y_2

Posté par
trablazarre : Produit scalaire et projection orthogonale 13-01-15 à 14:56

Ah pour l'unicité je précise, on décompose y_1 = \alpha_1 * a car on sait que y_1 appartient à F et que F\Bigcap G={0}

Posté par
Robotre : Produit scalaire et projection orthogonale 13-01-15 à 14:57

Pas \Pi_a, mais \Pi_a(x)  (le premier est une application, le deuxième un vecteur). Et pourquoi écrire des implications, alors qu'il s'agit tout bêtement d'égalités ?
Une fois qu'on a montré par ce calcul que pour tout x\in\R^3, \Pi_a^2(x)=\Pi_a(x), on edéduit que \Pi_a^2=\Pi_a.

Pour l'unicité, tu fais un peu brouillon. Plus directement de y_1+z_1=y_2+z_2, on déduit y_1-y_2=z_1-z_2 . Ce vecteur appartient à F_a (puisqu'il est égal à y_1-y_2) et à G_a (puisqu'il est égal à z_1-z_2) ; il est donc nul.

Posté par
trablazarre : Produit scalaire et projection orthogonale 13-01-15 à 15:02

Oui pour les implication c'est pour la lisibilité, il s'agissait plutot de simples flèches!

Ok en effet votre technique est plus rapide... J'utiliserai plutot celle la si je m'en souviens!

Bon je dois vous laisser, j'ai mon examen dans peu de temps!

Merci à tous pour votre aide!

Posté par
Robotre : Produit scalaire et projection orthogonale 13-01-15 à 15:07

Citation :
Oui pour les implication c'est pour la lisibilité


Ces implications sont des notations employées mal à propos ; il vaudrait mieux pour toi ne pas faire ça à l'examen, ça pourrait énerver le correcteur. Je le répète, il s'agit simplement d'égalités et une égalité se note = , pas =>.

Posté par
trablazarre : Produit scalaire et projection orthogonale 13-01-15 à 15:18

C'est à dire que j'ai pour habitude, quand je développe une équation, de l'écrire comme tel

*l'équation de départ ici*=*premiere étape de developpement*
                          =*deuxieme etape*
                          =*troisieme etape*

Etc, etc...
Cependant la fonction tabulation n'est pas disponible, et, le latex n'aidant pas, je n'arrive pas à obtenir une belle colonne de "=" (c'est un genre de TOC chez moi) du coup je préfère mettre des => qui signifie "ce qui revient à dire que" ^^ Mais pas de soucis, sur papier je ne ferai pas ca !

Posté par
trablazarre : Produit scalaire et projection orthogonale 13-01-15 à 15:19

Eh ben meme la j'ai pas réussi à aligner des colonnes de "="... !

Posté par
Robotre : Produit scalaire et projection orthogonale 13-01-15 à 15:25

On peut gérer avec LaTeX :

\begin{aligned}\Pi_a(x-\langle x,a\rangle\,a) &= x-\langle x,a\rangle\,a - \langle x-\langle x,a\rangle\,a , a\rangle\, a\\ &=x-\langle x,a\rangle\,a -\langle x,a\rangle\,a + \langle\langle x,a\rangle\,a,a\rangle\, a\\ &=x- 2\,\langle x,a\rangle\,a + \langle\langle x,a\rangle\,a , a\rangle\, a\end{aligned}

Posté par Profil amethystere : Produit scalaire et projection orthogonale 13-01-15 à 22:45

ah ok je viens de comprendre !! Merci Camarade Verdurin

je postai mon truc long à écrire pour aider le camarade Trablazar et j'avais pas vu ça là ->

Citation :
Verdurin
je ne comprend pas G_a = F^T_a
ne serrait-ce pas G_a = F^\perp_a=\{x\in\R^3 \ |\  <a,x>=0\} ?


bon là ok!!

Posté par
verdurinre : Produit scalaire et projection orthogonale 13-01-15 à 22:52

Salut, quartz dopé.
Savoir écrire c'est bien.
Savoir lire n'est pas mal non plus.

Posté par Profil amethystere : Produit scalaire et projection orthogonale 13-01-15 à 23:06

c'est grâce à toi Verdurin que j'ai compris ce que il (le camarade Trablazar) voulait dire avec F^T_a

bon je m'améliore chaque jour Camarade Verdurin!

tiens un cadeau pour toi (mais chuuut ne dit pas que l'acide fluorhydrique me dissolvera  )   

Posté par
verdurinre : Produit scalaire et projection orthogonale 13-01-15 à 23:33

Je me permet une remarque désobligeante : si tu n'avais pas compris ce que trablazar voulait dire, pourquoi lui as tu répondu sans demander de précision ?

Sinon, l'améthyste, on en trouvait facilement vers chez moi, au temps de ma folle jeunesse. Je sais reconnaître.

Posté par Profil amethystere : Produit scalaire et projection orthogonale 13-01-15 à 23:49

je voulais aller vite j'avais des courses à faire et pendant que j'écrivais vous êtes arrivés(je croyais être le premier et le dernier d'ailleurs à poster)
puis quand je suis revenu j'ai pas vu ce que vous disiez ...
bref j'ai "merdé"

sinon bon comme tu le sais donc : l'acide fluorhydrique et moi on est les deux faces d'une même pièce  


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