Bonsoir,

pour calculer le rang d'une matrice on peut en général remarquer que certaines lignes sont combinaison linéaires des autres, remarquer qu'une colonne ou une ligne (ou plus) est/sont nulles... Quand ce n'est pas évident, on essaye de se ramener à une matrice triangulaire supérieure (par exemple) par opérations élémentaires puisque le produit par une matrice inversible conserve le rang.


J'espère t'avoir donné quelques indications pour résoudre ton exercice.

Bonne soirée

Truchement

Bonsoir mon amie,
le rang de ta matrice est inférieur ou égal à trois,à cause de la dernière colonne.

Bonsoir camarade Mooo7n

le pourquoi du comment des explications des camarades Verdurin & Truchement est plus important que de savoir résoudre cet exercice camarade

comment se fait-il que l'on te demande de faire cet exercice alors que tu est sencé savoir demontrer que tout vecteur nul d'un systeme de vecteur est obligatoirment lié avec ce systeme de vecteur?  
  
en apportant plus tard à la limite une méthode générale de determination du rang d'une matrice (à composantes rationnelles , réelles ou complexes) sans en juger de son utilité pratique  

ce qui problème ici pour explication generale (le pourquoi du comment) se ramenant alors à un système de p=4 vecteurs

représentés par les colonnes de la matrice

or cette colonne là est un vecteur lié du système de tes quatre vecteurs (les colonnes de ta matrice)

en posant le produit d'un système de p=4 vecteurs de dimension n=4 représenté par une matrice A

et ici cette matrice est en fait la matrice dont tu recherche le rang

dont les composantes sont nommées avec de 1 à n et   de 1 à p



par un vecteur X de dimension n=4

dont les composantes sont nommées avec de 1 à n et  

et en simplifiant car en les notants avec de 1 à n



alors le produit donne pour solution une matrice

dont les composantes sont nommées avec de 1 à n et  

et en simplifiant car en les notants avec de 1 à n



et en appliquant ce produit

et donc  

ce produit constitue une combinaison linéaire que l'on représente par le systeme de quatres équations à quatres inconnues  



et c'est ici qu'interviens donc ce qui est dit par Truchement & Verdurin

pour commencer à traiter le problème il faut éliminer certains vecteurs liés avec le systeme de vecteurs que représente ta matrice

mais avant toute chose  : la question pourquoi? et pourquoi certains

comme on a vu ton systeme d'équation plus haut constitue une combinaison linéaire de la matrice A (qui est  la matrice de ton énoncé ) par un vecteur X
quand on dit qu'un systeme de vecteurs est lié on dit tout simplement qu'il existe p scalaires non tous nuls (donc qu'il en existe au moins un qui n'est pas nul) et tel que




selon est le vecteur nul  

est le vecteur dont les composantes sont les composantes de la ième colonne de ta matrice

alors à la question pourquoi commencer à traiter le problème ainsi reviens à se dire que l'on élimine tous les vecteurs nuls et que l'on élimine tous les vecteurs colinéaires (sauf en en gardant au moins un ) de ton systeme de vecteurs

en commençant cette élimination tu élimine certains terme de ton systeme d'équations ceux ci étants inutile car même en les éliminants ton systeme d'equation est semblable à celui de depart

mais là il reste encore à en éliminer mais selon un autre procédé

determiner le rang de ta matrice reviens à determiner la quantité minimale des termes de tes polynomes de ton systeme d'équations pour que malgré cela ton systeme d'equation reste semblable à celui de depart

post  : Pourquoi? deuxième partie  

donc dans la deuxieme partie tu as vu la raison pour laquelle on peut éliminer  toute colonne nulle (ceci dit je te laisse le soin de la demontrer en utilisant la definition précédente d'un systeme lié et en demontrant que tout vecteur nul d'un systeme de vecteur est lié à ce systeme : la demo fait un quart de page format A4)

et comme on a vu qu'il n'était pas utile pour obtenir un systeme d'equation semblable de garder (sauf en en gardant que un seul) tous les vecteurs colinéaires cela reviens donc à éliminer  

-éliminer (mais en conservant au moins une ) toutes les colonnes  toutes les colonnes P,Q,R ...   qui sont de type  


où en fait et sont des éléments qui appartiennent au corps auquel appartiennent les composantes de ta matrice (ici le corps étant le corps des rationnels

post  : Pourquoi? troisième partie  

ici dans cette troisième partie il s'agit de démontrer que le rang d'une matrice est identique au rang de sa transposée et que par conséquent ta matrice peut subir le même traitement que précédemment en considérant non pas seulement les colonnes mais aussi les lignes

en effet : en reprenant ce qui est dit plus haut que se passe t-il si on transpose la matrice dont tu recherche le rang ?

et que la nommant matrice B tu en recherche le rang



en fait dans ce cas tu recherche le rang de la matrice B dont les composantes sont notées



traiter le rang de cette matrice là reviens donc à traiter le rang de ta matrice originelle mais ici en considérant ses lignes

comme tu vas le constater le rang de B est le même que celui de A

appliquer la même transformation que précédemment reviens donc à traiter le systeme



or précédement on a  définit des systemes d'équations semblables au systeme de départ et la quantité minimale des termes de ses équations donnant la valeur du rang de la matrice par laquelle on a construit ce systeme et qui represente une combinaison linéaire construite par le produit A.X

X étant quelconque,  ici dans cette autre combinaison combinaison linéaire construite par le produit B.Y

Y est lui aussi quelconque

de sorte que le traitement d'élimination des termes est indépendant du vecteur pris pour construire cette combinaison linéaire

il en résulte donc que le rang d'une matrice est identique au rang de sa transposée  
  

post  : Pourquoi? quatrième partie

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préalable

dans la premiere partie on a vu que l'écriture compatible-compatible au sens du produit matriciel A.X=Z donc au sens comme il a été dit il résulte donc que la dimension sectorielle de la matrice A (la quantitée de lignes p) soit identique à dimension vectorielle de la matrice X (la quantité de lignes n) - donc que l'écriture du produit A.X est une combinaison linéaire que l'on peut représenté par un systeme de n équations possédant p termes

et on a vu aussi que rechercher le rang de la matrice A reviens à determiner la plus petite quantité de termes de ces équations et tel que le systeme reste semblable au systeme originel

ici dans l'exemple de ta matrice (n=p=4) le systeme originel s'ecrit



avec X est une matrice colonne de n lignes

(on ne reviens pas sur la demonstration que le rang de ta matrice transposée est identique au rang de cette matrice juste pour dire que dans ce cas en traitant sa transposée alors la matrice Y dont on a parlé est alors une matrice colonne de p ligne :  la demonstration se basant sur le fait que pour definir le rang il n'est pas besoin de definir une matrice particuliere  X est une matrice colonne de n lignes pour determiner le rang de A ou  Y est une matrice colonne de p lignes pour determiner le rang de la transposée de A  )

_______________________________

à présent sur ce quatrième chapitre on va demontrer que determiner la plus petite quantité de termes necessaires pour obtenir un systeme d'équation qui soit semblable au systeme d'équation originel reviens à determiner la plus petite quantité r de vecteurs necessaires pour exprimer pour tout vecteur W donné d'un espace vectoriel de n dimension l'égalitée



avec sont des scalaires (voir produit d'un vecteur par un scalaire de la definition d'un espace vectoriel) et en fait appartiennent au même corps auquel appartiennent les composantes de ta matrice

effectivement puisqu'on a vu comment à la premiere partie on obtiens le produit matriciel A.X

et pour l'expression



où ici les correspondent aux colonnes de ta matrice A

le i ième vecteur   correspondant à la i ième colonne de ta matrice A

et les scalaires   correspondant aux composantes de la matrice X

et le vecteur correspondant à la matrice solution du produit matriciel Z=A.X

alors éliminer le maximum de terme du systeme d'equation (donné au premier chapitre) reviens à contruire un systeme d'équation semblable dont l'expression vectiorielle est donnée par



ce systeme de r vecteurs constitue un sous-espace de l'espace vectoriel de dimension n

et on vérifie

à présent qu'on a compris le pourquoi , il ne reste plus qu'à determiner le rang de cette matrice

ce que à la limite je ferai tout à l'heure

mais je dois partir chez le veto  : mon chat a besoin de medicaments bon je vous décrit des fois que si vous avez un chat qui a déjà eu ça on se donne des infos sur la rubrique expresso en écrivant des maths en sujet principal -merci- mon veto ne sait pas combien de temps elle survivra

donc là il s'agit du ONCIOR posologie 6mg / jour pour le traitement d'un carcinome épidermoide avec multiples emboles vasculaires associée à une keratite ulcerative severe avec perforation cornenne et synechies anterieure ,
tumeur maline possiblement issue d'un revêtement malpighien au niveau du globe oculaire prélevé , peu différenciée , avec de nombreux amboles vasculaires visibles , associée à des remaniemants inflamatoires et nécrotiques marqués au niveau de la cornée avec perforation visible

j'ai rien compris!    

correction de quelques petites erreurs que j'ai relevé en me relisant par ordre d'apparition

primo je voulais dire : ...au sens comme il a été dit il résulte donc que ...

deuxio je voulais dire : ...que determiner la plus petite quantité de termes necessaires pour obtenir un systeme d'équation qui soit semblable au systeme d'équation originel reviens à determiner la plus petite quantité r de vecteurs necessaires pour exprimer pour tout vecteur W donné d'un espace vectoriel de n dimension l'égalitée et dont le systeme d'equation exprimé est semblable au systeme d'equation originel contruit à partir de la matrice dont on recherche le rang...donc pas de tout vecteur W de l'espace vectoriel mais uniquement de tout vecteur dont le systeme d'equation formé par combinaison lineaire est semblable au systeme originel

tercio je voulais dire :

Cétipa + kler com sa ?

merci beaucoup pour tous ,vraiment c'est géniale

On peut redémontrer toutes les propriétés sur le rang de façon expéditive si on connaît cette caractérisation : Une matrice M est de rang r si et seulement si elle est équivalente à la matrice définie par blocs c'est à dire :

  extraite de    est de rang 2 :   donc  .




Les lignes 1, 2 et 3 sont liées, de même que les lignes 1, 3 et 4 :   donc  

bonsoir,
on peut aussi remarquer que

... en ce qui concerne la résolution générale de la recherche du rang de toute matrice non nulle

après donc avoir traité cette matrice là en éliminant les colonnes et lignes nulles
puis éliminés pour chaque série de vecteurs (colonnes ) colinéaires en en gardant un seul
puis de même sur la transposé de la matrice éliminés pour chaque série de vecteurs (colonnes ) colinéaires en en gardant un seul

le traitement au préalable de cette matrice donnant une matrice (pas forcément la même mais on garde la  même notation pour cette matrice)
de composantes et dont on recherche le rang

si la matrice ne possède qu'une seule colonne alors la matrice est de rang 1 mais sinon

on considére  le K-l'espace vectoriel euclidien de dimension n noté

pour deux vecteurs et

le produit scalaire euclidien noté  

on peut traiter le problème de la recherche du rang de la matrice en se dotant d'une loi de composition interne dans  

définie par   selon

pour ce faire on va construire deux suites finies de vecteurs notés et

par ailleurs à toute ème colonne de la matrice dont on recherche le rang

on propose la notation est donc un vecteur

on pose et

cette construction s'effectuant dans un ordre précis en suivant les étapes

Etape  N°1 :

si   alors on élimine la deuxieme colonne de la matrice  

cette élimination donne une nouvelle matrice M  

si cette nouvelle matrice ne possede plus de deuxieme colonne  alors la matrice est de rang mais sinon on reviens à l'étape 1

si   et que la matrice ne possède pas de troisième colonne alors la matrice est de rang 2 mais sinon à l'étape 2


Etape  N°2 :

on pose  



si      alors on élimine la troisième  colonne de la matrice  

cette élimination donne une nouvelle matrice M  

si cette nouvelle matrice ne possede plus de troisième colonne alors la matrice est de rang mais sinon on reviens à l'étape 2

si   et que la matrice ne possède pas de quatrième colonne alors la matrice est de rang 3 mais sinon à l'étape 3


Etape  N°3 :

on pose  





si      alors on élimine la troisième  colonne de la matrice  

cette élimination donne une nouvelle matrice M  

si cette nouvelle matrice ne possede plus de quatrième colonne alors la matrice est de rang mais sinon on reviens à l'étape 3

si   et que la matrice ne possède pas de cinquième colonne alors la matrice est de rang 4 mais sinon à l'étape 4

Etape  N°4 :

on pose  

et ainsi de suite ...