Je m'excuse petite faute dans l'écriture de q :
q(x) = x1²+x3²+x4²-2 x1*x3+2 x2*x4+4 x2*x3+6 x3*x4

Mes excuses (désolé pour le doublon, s'il y a un bouton edit je ne l'ai pas vu !)

salut


si je suppose x_i sont réels alors la forme qui de la base  orthogonale exprimée par une matrice M donne q(x)

alors rien ne t'interdit de construire une matrice M représentant une base du style

qui représente une base orthogonale

et ainsi et est une matrice diagonale  
  

je corrige car tu doit retrouver les composantes x_i c'est pas le cas avec la matrice précédente que je t'ai donné

qui représente une base orthogonale

et ainsi et est une matrice diagonale  
  

Bonjour !
Comment peut-on imaginer qu'une matrice de forme quadratique contienne les composantes d'un vecteur ?

Sans faire ton exo : tu écris sous forme réduite . Les sont des formes linéaires indépendantes (il y en a ).
Si , il faut compléter par formes linéaires de manière à avoir une base ) du dual.
La matrice de passage doit avoir en ligne les formes

Dans la nouvelle base la matrice de est ( zéros si tu es en dimension )

Ne pas tenir compte de ce qu'écrit amethyste. Première étape, indispensable : décomposer en carrés. Fais-le !

Le message de luzak contient quelques erreurs : oubli des carrés sur les formes linéaires, et la matrice de passage à la base orthogonale est l'inverse de celle qu'il décrit.

oui effectivement je me suis planté

j'étais trop content que tout le monde dorme pour en profiter pour poster le premier sans réfléchir à ce que je disais  

bon je vais fumer une clope! désolé

Salut à tous :

Bon déjà merci à tous pour vos réponses

Voici ma décomposition :

q(x)= (x₁+x₃+x₄)² + (-x₁+x₂+x₃+x₄)² - (x₁-x₂+x₃-x₄)²

J'ai donc trois formes linéaires :

f₁ (x) = x₁+x₃+x₄
f₂ (x) = -x₁+x₂+x₃+x₄
f₃ (x) = x₁-x₂+x₃-x₄

Il "m'en manque une" donc je complète, je prends par exemple :

f₄ (x) = x₄

(tant qu'elle est indépendante des autres je choisi ce que je veux non ?)

Je sais que  M' = Pt M P (relation de changement de base)

M=\begin {pmatrix} 1&0&-1&1\\ 0&0&2&0\\ -1&2&1&3 \\1&0&3&1\end {pmatrix}


Pour P je remplie donc par colonne avec les f_k, 0<k<5

P=\begin {pmatrix} 1&-1&1&0\\ 0&1&-1&0\\ 1&1&1&0 \\1&1&-1&1\end {pmatrix}

D'où P^t=\begin {pmatrix} 1&0&1&1\\ -1&1&1&1\\ 1&-1&1&-1 \\ 0&0&0&1\end {pmatrix}


Le problème c'est que M' n'est pas une base diagonale, donc il doit y avoir une erreur quelque part non ? :/

Petit edit j'avais oublié les balises LaTeX, du coup ça rendait moins bien forcément


Voici ma décomposition :

q(x)= (x1+x3+x4)² + (-x1+x2+x3+x4)² - (x1-x2+x3-x4)²

J'ai donc trois formes linéaires :

f1 (x) = x1+x3+x4
f2 (x) = -x1+x2+x3+x4
f3 (x) = x1-x2+x3-x4

Il "m'en manque une" donc je complète, je prends par exemple :

f4 (x) = x4

(tant qu'elle est indépendante des autres je choisi ce que je veux non ?)

Je sais que  M' = Pt M P (relation de changement de base)


M=


Pour P je remplie donc par colonne avec les fk, 0<k<5

P=

D'où Pt=


Le problème c'est que M' n'est pas une base diagonale, donc il doit y avoir une erreur quelque part non ? :/

si ta base est orthogonale alors la matrice M qui la represente verifie

M^t.M est une matrice diagonale

M^t la matrice transposée de M

Ta décomposition est incorrecte : en développant, les termes en x2 x4 disparaisent alors qu'il devrait en rester 2. Je me demande d'ailleurs quel algorithme tu utilises. Celui de Gauss élimine les variables l'une après l'autre.
Ensuite, tu lis de travers les messages : lescoefficients des formrs linéaires doivent être mis en lignes et non en colonne, et ensuite on doit inverser la matrice aindi obtenue pour obtenir la matrice de passage à la base orthogonale.

Donc je ne peux pas utiliser la relation M' = Pt M P ? (vu que tu me parles d'inverser cette matrice)

(Pour l'algorithme j'utilise Gauss, mais mal visiblement..., je la refais)

Ensuite non j'avais bien lu le message de luzak sur les lignes mais comme vous aviez dit qu'il avait commis une "inversion" j'ai présumé que vous disiez qu'il fallait les écrire en colonne mais je me rends compte maintenant que je vous ai mal compris et que vous parliez d'inverser la matrice en réalité.

Du coup pourriez vous m'expliquer pourquoi faut-il inverser la matrice trouvée et pourquoi ma relation de changement de base ne s'applique pas ici ?

Décidément, tu lis de travers ! Où vois-tu que j'aie écrit que la formule de changement de base est incorrecte ?
Le problème est d'avoir la bonne matrice P de changement de base, celle qui a en colonnes les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base (orthogonale) dans l'ancienne base(canonique). C'est la matrice qui donne les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles. Or les formes linéairesde la décomposition en carrés sont justement les formes coordonnées dans la nouvelle base orthogonale. Il faut donc inverser la matrice qui a en lignes les coordonnées de ces formes pour trouver P.

D'accord merci je comprends mieux !

En résumé, une fois que j'ai trouvé la "bonne" matrice de passage, je peux appliquer la formule dont je parlais précédemment pour trouver ma matrice orthogonale ou calculer les images par q de mes nouveaux vecteurs de la base orthogonale ?

Par ailleurs, est-il possible d'utiliser tout simplement le procédé d'orthogonalisation de Gram-Schmidt sur ma base de forme linéaire trouvée ?

Une matrice orthogonale est bien une matrice A telle que : A^t = A^-1 ?


Je sais que base orthogonale => matrice diagonale.
Mon raccourci est peut-être un peu facile mais il me semblait aussi que la matrice de q (exprimée dans une base orthogonale) était alors orthogonale.


Quand tu dis que ce n'est pas un produit scalaire, c'est bien parce que q n'est pas positive ici ?