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Isomorphisme

Posté par
ino 16-07-15 à 04:56

Bonsoir

D'après mon cours, il y a écrit que deux ensembles E et F sont isomorphes ssi ils ont à même dimension.
est ce que ce théorème implique que TOUTE application linéaire définie de E ds F est un isomorphisme autrement dit est bijective ??

Merci à vous

Posté par
Robotre : Isomorphisme 16-07-15 à 08:32

Essaie d'écrire les choses de manière correcte !
Bon, il s'agit sans doute de ton cours d'algèbre linéaire, et il y est écrit que deux espaces vectoriels (pas des ensembles quelconques !) sont isomorphes ssi ils ont même dimension. Dire que E et F sont isomorphes, ça veut dire qu'il existe un isomorphisme de E sur F (et donc aussi de F sur E), absolument pas que toute application linéaire de E dans F est un isomorphisme.

Posté par Profil amethystere : Isomorphisme 16-07-15 à 10:03

bonjour

(bonjour Robot, je lui donne un exemple d'application linéaire qui n'est pas un isomorphisme)

application linéaire f:E\rightarrow F avec E et F sont des K-espaces vectoriels  

cette application est définie par f(x,y)=(x+2y,2x+4y)

_____________________________________________________________

on vérifie que f est une application linéaire

\begin {pmatrix} 1&2  \\ 2&4   \end {pmatrix}\begin {pmatrix}x   \\  y  \end {pmatrix}=\begin {pmatrix} x + 2y \\    2x + 4y\end {pmatrix}

f(X)=\begin {pmatrix} 1&2  \\ 2&4   \end {pmatrix}\begin {pmatrix} v_1  \\ v_2    \end {pmatrix}=\begin {pmatrix}   v_1+2v_2\\ 2v_1+4v_2   \end {pmatrix}

f(Y)=\begin {pmatrix} 1&2  \\ 2&4   \end {pmatrix}\begin {pmatrix} w_1  \\ w_2    \end {pmatrix}=\begin {pmatrix}   w_1+2w_2\\ 2w_1+4w_2   \end {pmatrix}

f(X+Y)=\begin {pmatrix} 1&2  \\ 2&4   \end {pmatrix}\begin {pmatrix} v_1+w_1  \\ v_2+w_2    \end {pmatrix}=\begin {pmatrix}   v_1+w_1++2v_2+2w_2\\ 2v_1+2w_1+4v_2+4w_2   \end {pmatrix}

on vérifie f(X+Y)=f(X)+f(Y)

f(Z)=\begin {pmatrix} 1&2  \\ 2&4   \end {pmatrix}\begin {pmatrix} z_1  \\ z_2    \end {pmatrix}=\begin {pmatrix}   z_1+2z_2\\ 2z_1+4z_2   \end {pmatrix}

f(\lambda Z)=\begin {pmatrix} 1&2  \\ 2&4   \end {pmatrix}\begin {pmatrix} \lambda z_1  \\ \lambda z_2    \end {pmatrix}=\begin {pmatrix}   \lambda z_1+2 \lambda z_2\\ 2\lambda  z_1+4 \lambda z_2   \end {pmatrix}

on vérifie f(\lambda Z)=\lambda f(Z)

cependant cette application est une surjection mais pas une injection (et donc n'est pas bijective)

en effet

si on pose X=\begin {pmatrix} 3  \\  0  \end {pmatrix}\in E et Y=\begin {pmatrix} 1  \\  1  \end {pmatrix}\in E

f(X)=\begin {pmatrix} 1&2  \\ 2&4   \end {pmatrix}\begin {pmatrix} 3  \\ 0    \end {pmatrix}=\begin {pmatrix}   3\\ 6   \end {pmatrix}

f(Y)=\begin {pmatrix} 1&2  \\ 2&4   \end {pmatrix}\begin {pmatrix} 1  \\ 1    \end {pmatrix}=\begin {pmatrix}   3\\ 6   \end {pmatrix}

on verifie f(X)=f(Y)

Posté par
Robotre : Isomorphisme 16-07-15 à 10:19

Tu aurais pu faire plus court : l'application linéaire nulle de \R dans \R.

Posté par
lionel52re : Isomorphisme 16-07-15 à 10:21

Ton application n'est pas surjective non plus!

Posté par
Robotre : Isomorphisme 16-07-15 à 10:23

Ah oui, je n'avais pas vu cette belle bourde noyée dans le flot de calculs.

Posté par Profil amethystere : Isomorphisme 16-07-15 à 10:39

certes oui Robot   j'aurai pu faire plus court avec une application nulle mais j'aimerai pas qu'on me donne un exemple comme ça pour comprendre ce que le camarade cherche à comprendre  

tu aimerai ça Robot ?

sinon eh bien (explication pour le camarade ) mon application est surjective puisque l'ensemble d'application Da de cette application est l'ensemble F

et il s'agit d'une application car tout élément de E possède une image sur F et donc l'ensemble de définition Df de cette application est l'ensemble E

mais des éléments de l'ensemble de definition Df de ma fonction possèdent la même image sur F

Posté par
Robotre : Isomorphisme 16-07-15 à 10:43

Amethyste, tu aggraves ton cas ! On aurait pu prendre ton affirmation de la surjectivité de l'application que tu décris pour une erreur d'inattention, mais non, tu enfonces le clou !
Pourrais-tu arrêter de rendre les fils illisibles en accumulant les bétises. Réfléchis et vérifie avant d'écrire n'importe quoi !

Posté par
Robotre : Isomorphisme 16-07-15 à 10:53

Au fait, l'exemple de l'application nulle est significatif : il montre que le seul cas où toute application linéaire de E dans E est surjective est le cas E={0}.

Posté par Profil amethystere : Isomorphisme 16-07-15 à 10:56

elle n'est pas surjective ... bon il m'arrive de dire des conneries (mais ça tu le sais que j'en dit des fois)  

effectivement il y a des éléments de F que j'ai oublié

(je fais de mon mieux Robot, là je dois faire le ménage de la maison il est presque 11 heure)

Posté par
lionel52re : Isomorphisme 16-07-15 à 11:01

Bah en fait tu pouvais t'y attendre parce qu'une application linéaire entre 2 espaces vectoriels de même dimension finie non injective est forcément non surjective.

Posté par Profil amethystere : Isomorphisme 16-07-15 à 11:11

oui et mes excuses sincères pour cette erreur

j'essayerai de dire moins de conneries Robot (je te l'ai promis )

pour ma défense tu peux constater que j'en dit pas souvent ... et que bon je fais des efforts

merci pour ta compréhension


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