Fiche de mathématiques

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Bac probatoire Mathématiques

Cameroun 2023

Série F-AMEB-TGF-IB-MAGE

Durée : (2h pour F) et (3h pour AMEB-TGF-IB-MAGE)
Coefficient: 3

4,75 points

exercice 1

1) Quatre nombres $x\text{ , }y\text{ , }z\text{ et }t$ sont dans cet ordre en progression géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de somme égale à $30$ .

a) Montrer que $x=16$ .

b) Déterminer $y\text{ , }z\text{ et }t$

2) Une caisse contient 30 vis de diamètres en millimètres variant de 25 à 80 et reparties de la manière suivante:

$\begin{array}{|c|l|l|l|l|}\hline \text{ Diamètre (mm) } &[25;50[&[50;65[&[65;70[&[70;80[ \\\hline \text{Nombre de vis}&16&8&4&2\\\hline \end{array}$

a) Calculer le diamètre moyen d'une vis de cette caisse.

b) Construire l'histogramme représentant cette série.

4,25 points

exercice 2

$f$ est la fonction numérique dont la représentation graphique sur $\R$ est ci-contre:

Bac probatoire Cameroun 2023 série F-AMEB-TGF-IB-MAG : image 3

1) Déterminer sous forme de réunion de deux intervalles, l'ensemble de définition de $f$ .

2) Dresser le tableau de variations de $f$ sur son ensemble de définition.

3) Reproduire cette figure puis construire sur le même graphique la courbe de la fonction $x\mapsto f(|x|)$ .

4) A partir des informations tirées du graphique ci-contre, déterminer les réels $a\text{ , }b\text{ et }c$ sachant que $f(x)=\dfrac{ax+b}{x+c}$ .

11 points

probleme

A/

1) Résoudre dans $\R$ , l'équation $2x^2+x-1=0$ .

2-a) Montrer que pour tout réel $t\text{ , }\cos(2t)=1-2\sin^2 t$

b) Résoudre dans $]-\pi;\pi[$ l'équation $\sin t-\cos(2t)=0$

B/

$A\text{ , }B\text{ et }C$ sont trois points du plan complexe, ayant pour affixes respectives $\sqrt{3}+i\text{ , }-\sqrt{3}+i\text{ et }-2i$ .

1) Déterminer le module et un argument de $z_A=\sqrt{3}+i\text{ , }z_B=-\sqrt{3}+i\text{ et de }z_C=-2i$ .

2) Montrer que le triangle $ABC$ est équilatéral.

3) Soit $D$ le point du plan tel que $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{0} \text{ ; }I$ le milieu de $[AB]$ .

a) Montrer que $I$ le milieu de $[CD]$ .

b) En déduire que $ADBC$ est un losange.

c) Soit $\alpha$ un réel et $\Gamma_{\alpha}$ l'ensemble des points $M$ du plan tels que $MA^2+MB^2=\alpha$ .

(i) Déterminer la valeur de $\alpha$ sachant que $C$ appartient à $\Gamma_{\alpha}$ .

(ii) Montrer que $MA^2+MB^2=2MI^2+6$ . En déduire la nature, les éléments caractéristiques de $\Gamma_{24}$ .

Voir la correction

exercice 1

1-a) Les nombres $x\text{ , }y\text{ , }z\text{ et }t$ sont dans cet ordre en progression géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de somme égale à $30$

Donc: $x+y+z+t=30$

Avec:

$y=\dfrac{1}{2}x$

$z=\dfrac{1}{2}y=\dfrac{1}{4}x$

$t=\dfrac{1}{2}z=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{4}x=\dfrac{1}{8}x$

Déterminons le premier nombre $x\text{ : }$

$\begin{matrix} x+y+z+t=30&\iff& x+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{8}x=30 \\&\iff& x\left(1+\dfrac 12+\dfrac 14 +\dfrac 18\right)=30\\&\iff& \dfrac{8+4+2+1}{8}x=30\\&\iff& x=30\times \dfrac{8}{15}\\&\iff& x=2\times 8 \\&\iff& \boxed{x=16}\end{matrix}$

b) On déduit de la question précédente les nombres $y\text{ , }z\text{ et }t\text{ :}$

$y=\dfrac{1}{2}x=\dfrac{16}{2}\Longrightarrow \boxed{y=8}$

$z=\dfrac{1}{2}y=\dfrac{8}{2}\Longrightarrow\boxed{z=4}$

$t=\dfrac{1}{2}z=\dfrac{4}{2}\Longrightarrow \boxed{t=2}$

Vérification: $x+y+z+t=16+8+4+2=30$

2-a) Le nombre total de vis noté $N$ est la somme de tous les nombres de vis , alors :

$N=\displaystyle\sum_{i}n_i=16+8+4+2=30$

On calcule alors la moyenne de cette série statistique :

$\begin{matrix}\bar{x}&=&\dfrac{1}{N} \displaystyle \sum_i n_i c_i \\&=& \dfrac{1}{30}\left(16\times \dfrac{25+50}{2}+8\times\dfrac{50+56}{2}+4\times\dfrac{65+70}{2}+2\times\dfrac{70+80}{2}\right) \\&=&\dfrac{1444}{30}\\&\approx&48,13\end{matrix}$

Donc :

$\boxed{\bar{x}=48,13\text{ mm}}$

b) Pour la construction de l'histogramme, on choisit:

Pour l'axe des abscisses $1\text{cm : } 5\text{mm}$
Pour l'axe des ordonnées $1\text{cm : } 2\text{vis}$

Bac probatoire Cameroun 2023 série F-AMEB-TGF-IB-MAG : image 5

exercice 2

1) La fonction $f$ est définie partout sur $\R$ sauf en $-2$ , donc l'ensemble de définition de $f$ est:

$D_f=\R\backslash \lbrace -2\rbrace \iff \boxed{D_f=]-\infty;-2[\cup]-2;+\infty[ }$

2) Puisque la courbe admet la droite d'équation $x=-2$ comme asymptote verticale, et qu'elle se dirige vers le haut à gauche de cette droite et en bas à droite de cette dernière, alors:

$\displaystyle\lim_{x\to -2^-}f(x)=+\infty \enskip\text{ et }\enskip \displaystyle\lim_{x\to -2^+}f(x)=-\infty$

De plus, la courbe admet la droite d'équation $y=2$ comme asymptote horizontale lorsque $x$ tend vers $-\infty$ et en $+\infty$ , alors:

$\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=2 \enskip\text{ et }\enskip \displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=2$

Finalement, $f$ est strictement croissante sur $]-\infty;-2[$ et aussi sur $]-2;+\infty[$ .

Dressons le tableau de variations de la fonction $f\text{ : }$

$\begin{array}{|c|rcccccc|} \hline x & -\infty & & & -2 & & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & &\dbarre & &+ & \\ \hline & & & +\infty &\dbarre & & & 2 \\ f & &\nearrow& &\dbarre & &\nearrow& \\ & 2 & & &\dbarre & -\infty & & \\ \hline \end{array}$

3) Puisque pour tout $x\in [0;+\infty[\text{: }|x|=x$ , alors $\forall x\in [0;+\infty[\text{ : }f(|x|)=f(x)$ , donc la courbe de la fonction $x\mapsto f(|x|)$ coïncide avec la courbe de $f$ sur cet intervalle.

Or, pour tout $x\in D_f\text{ : }-x\in D_f$ et $\forall x\in D_f\text{ : } f(|-x|)=f(|x|)$

Il s'ensuit que la fonction $x\mapsto f(|x|)$ est paire, et donc que sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Ces résultats permettent de tracer la courbe de la fonction $x\mapsto f(|x|)\text{ : }$

Bac probatoire Cameroun 2023 série F-AMEB-TGF-IB-MAG : image 6

4) Déterminons les réels $a\text{ , }b\text{ et }c\text{ tels que: }f(x)=\dfrac{ax+b}{x+c}$

Puisque la fonction homographique $f$ n'est pas définie en $-2$ , alors son dénominateur s'annule en $-2$ , il s'ensuit alors que:

$-2+c=0\Longrightarrow \boxed{c=2}$

Or, d'après le graphique: $\begin{cases} f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=0 \\ f(0)=\dfrac 12 \end{cases}\text{ , donc: }$

$\begin{matrix} \begin{cases} f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=0 \\ f(0)=\dfrac 12 \end{cases}&\iff& \begin{cases} \dfrac{-\dfrac{1}{2}a+b}{-\dfrac{1}{2}+c}=0 \\ \dfrac{a\times 0+b}{0+c}=\dfrac 12 \end{cases}\\&\iff& \begin{cases} \dfrac{-\dfrac{1}{2}a+b}{-\dfrac{1}{2}+2}=0 \\ \dfrac{b}{2}=\dfrac 12 \end{cases}\\&\iff& \begin{cases} \dfrac{\dfrac{2b-a}{2}}{\dfrac{3}{2}}=0 \\ b=1 \end{cases}\\&\iff& \begin{cases} \dfrac{2-a}{3}=0 \\ b=1 \end{cases}\\&\iff& \boxed{\begin{cases} a=2 \\ b=1 \end{cases}}\end{matrix}$

Conclusion:

$\boxed{a=c=2\text{ ; }b=1 \enskip\text{ et donc: }\forall x\in]-\infty;-2[\cup]-2;+\infty[\text{ : }f(x)=\dfrac{2x+1}{x+2}}$

probleme

A/

1) Résolvons l'équation $2x^2+x-1=0\text{ :}$

Calculons le discriminant $\Delta= (1)^2-4\times 2 \timles (-1)=1+8=9 >0$

L'équation admet donc deux solutions:

$x_1=\dfrac{-1-\sqrt{9}}{2\times 2 } =\dfrac{-1-3}{4}=\dfrac{-4}{4}=-1$

$x_2=\dfrac{-1+\sqrt{9}}{2\times 2 } =\dfrac{-1+3}{4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac 1 2$

L'ensemble des solutions de l'équation est: $\boxed{S=\left\lbrace -1 ; \dfrac 12\right\rbrace }$

2-a) Pour tout réel $t\text{ : }$

$\begin{matrix} \cos(2t)&=& \cos(t+t)\\&=& cos(t)\cos (t) -\sin (t)\sin(t)\\&=& \cos^2(t)-\sin^2(t)\\&=& 1-\sin^2(t)-\sin^2(t) &\left(\text{ En effet: }\cos^2(t)+\sin^2(t)=1 \text{ , donc }\cos^2(t)=1-\sin^2(t)\right) \\&=& 1-2\sin^2(t)\end{matrix}$

$\boxed{\text{Pour tout réel }t\text{ : }\cos(2t)=1-2\sin^2(t)}$

b) Résolvons dans $]-\pi;\pi[$ l'équation $\sin (t)-\cos(2t)=0$

$\begin{matrix} \sin (t)-\cos(2t)=0&\iff& \sin(t)-(1-2\sin^2(t))=0 \\&\iff& 2\sin^2(t)+\sin(t)-1=0 \\&\iff& 2x^2+x-1=0 \text{ avec }x=\sin(t)\\&\iff& x=-1 \text{ ou }x=\dfrac{1}{2} \text{ (d'après 1))}\\&\iff& \sin(t)=-1 \text{ ou }\sin(t)=\dfrac{1}{2}\\&\iff& t=-\dfrac{\pi}{2} \text{ ou } t=\dfrac{\pi}{6}\text{ ou }t=\dfrac{5\pi}{6} \end{matrix}$

L'ensemble des solutions de l'équation est: $\boxed{S=\left\lbrace -\dfrac{\pi}{2} \text{ ; } \dfrac{\pi}{6}\text{ ; }\dfrac{5\pi}{6}\right\rbrace }$

B/

1) Calcul des modules:

$|z_A|=|\sqrt{3}+i|=\sqrt{\sqrt{3}^2+1^2} = \sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2$

$|z_B|=|-\sqrt{3}+i|=\sqrt{(-\sqrt{3})^2+1^2} = \sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2$

$|z_C|=|-2i|=|-2||i|=2\times 1 = 2$

$\boxed{|z_A|=|z_B|=|z_C|=2 }$

Calcul des arguments:

Pour cela, on écrit les nombres sous leur forme trigonométrique, et on choisit l'argument qui appartient à $[-\pi;\pi]$ :

$z_A= \sqrt{3}+i = 2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\right) =2\left(\cos \dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right) \Longrightarrow \boxed{\arg(z_A)=\dfrac{\pi}{6}}$

$z_B= -\sqrt{3}+i = 2\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\right) =2\left(\cos \dfrac{5\pi}{6}+i\sin\dfrac{5\pi}{6}\right) \Longrightarrow \boxed{\arg(z_B)=\dfrac{5\pi}{6}}$

$z_C= -2i = 2\left(-i\right) =2\left(\cos \left(-\dfrac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\right) \Longrightarrow \boxed{\arg(z_C)=-\dfrac{\pi}{2}}$

2) Calculons $\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}\text{ : }$

$\begin{matrix}\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}&=& \dfrac{-2i-(-\sqrt{3}+i)}{(\sqrt{3}+i)-(-\sqrt{3}+i)}&=& \dfrac{-3i+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} \\\\&=&\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}+ \dfrac{-3}{2\sqrt{3}}i &=& \dfrac{1}{2}-\dfrac{3\sqrt{3}}{6}i\\\\&=& \dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i &=&\cos \left(-\dfrac \pi 3\right) + i \sin \left(-\dfrac \pi 3\right) \end{matrix}$

On obtient: $\boxed{\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}=e^{-i\frac \pi 3}}$

Alors:

$\dfrac{BC}{BA}=\dfrac{|z_C-z_B|}{|z_A-z_B|}=\left|\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}\right|=\left|e^{-i\frac \pi 3}\right|=1\Longrightarrow \boxed{BC=BA}$

$(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})=\arg\left(\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}\right)=\arg e^{-i\frac \pi 3}\equiv -\dfrac{\pi}{3}\enskip[2\pi]\Longrightarrow \boxed{ (\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})\equiv -\dfrac{\pi}{3}\enskip[2\pi]}$

D'où:

$\boxed{\text{Le triangle }ABC \text{ est équilatéral }}$

3-a) Puisque $I$ est le milieu de $[AB]$ , alors $\overrightarrow{AI}=-\overrightarrow{BI} \Longrightarrow \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI} =\overrightarrow{0 }$

Et en utilisant la relation de Chasles:

$\begin{matrix}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{0}&\iff& \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{ID}-\overrightarrow{CI}-\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0} \\&\iff& \overrightarrow{ID}-\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{0} \\&\iff& \boxed{\overrightarrow{CI} =\overrightarrow{ID} }\end{matrix}$

$\boxed{I \text{ est aussi le milieu de }[CD]}$

b) Puisque $I$ est le milieu de $[AB]$ et de $[CD]$ , alors le quadrilatère $ADBC \text{ est un parallèlogramme }\enskip\enskip (a)$ .

De plus , $z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2} \text{ et }z_I=\dfrac{z_C+z_D}{2} \text{ , alors } z_A+z_B=z_C+z_D$

On obtient: $z_D=z_A+z_B-z_C=\sqrt{3}+i-\sqrt{3}+i+2i= 4i$

D'autre part:

$AD=|z_D-z_A|=|4i-\sqrt{3}-i|=|-\sqrt{3}+3i|=\sqrt{3+9}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

$AC=|z_C-z_A|=|-2i-\sqrt{3}-i|=|-\sqrt{3}-3i|=\sqrt{3+9}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

On en tire que: $AD=AC\enskip\enskip (b)$

$\text{ De }(a)\text{ et }(b)\text{ : }ADBC$ est un parallèlogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur, donc:

$\boxed{ADBC \text{ est un losange }}$

c-i) Rappelons que $ABC$ est un triangle équilatéral, on a donc $CA=CB$ .

Et d'après la question précédente $CA=2\sqrt{3}$

Déterminons la valeur de $\alpha$ sachant que $C$ appartient à $\Gamma_{\alpha}$ .

$\begin{matrix} C\in \Gamma_{\alpha} &\iff& CA^2+CB^2=\alpha \\&\iff& CA^2+CA^2=\alpha \\&\iff& \alpha=2CA^2 \\&\iff& \alpha=2\times (2\sqrt{3})^2 \\&\iff&\lpha = 2\times 12 \\&\iff& \boxed{\alpha = 24}\end{matrix}$

ii) On rappelle que $IA=\dfrac{AB}{2} =\dfrac{AC}{2}=\dfrac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$ , $IB=IA=\sqrt{3}$ et que $\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{IB}$

En utilisant la relation de Chasles:

$\begin{matrix} MA^2+MB^2 &=& \overrightarrow{MA}^2+\overrightarrow{MB}^2 \\&=& (\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^2+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})^2\\&=& \overrightarrow{MI}^2+2 \overrightarrow{MI} \text{ . }\overrightarrow{IA}+ \overrightarrow{IA}^2 + \overrightarrow{MI}^2+2 \overrightarrow{MI}\text{ . } \overrightarrow{IB}+ \overrightarrow{IB}^2 \\&=& MI^2+2 \overrightarrow{MI} \text{ . }\overrightarrow{IA}+IA^2+MI^2+2 \overrightarrow{MI} \text{ . }(-\overrightarrow{IA})+IB^2 \\&=& 2MI^2+2 \overrightarrow{MI} \text{ . }\overrightarrow{IA}+IA^2-2 \overrightarrow{MI} \text{ . }\overrightarrow{IA}+IA^2\\&=& 2MI^2+2 IA^2 \\&=& 2MI^2+2(\sqrt{3})^2 \\&=& 2MI^2+6\end{matrix}$

On conclut alors que:

$\boxed{ MA^2+MB^2=2MI^2+6}$

Déduisons-en la nature et les éléments caractéristiques de $\Gamma_{24}$

$\begin{matrix} M\in \Gamma_{24} &\iff& MA^2+MB^2=24 \\&\iff& 2MI^2+6=24 \\&\iff& 2MI^2=18 \\&\iff& MI^2=9 \\&\iff& MI=3 & (\text{ En effet, }MI>0 \text{ puisqu'il s'agit d'une distance}) \end{matrix}$

Donc:

$\boxed{\Gamma_{24}\text{ est le cercle de centre }I\text{ et de rayon }r=3 }$

Publié par malou/Panter le 17-01-2024

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