Fiche de mathématiques
Ile mathématiques > maths bac > Bac 2023 toujours : des sujets venus d'ailleurs
Bac Mathématiques
Durée : 4h
Coefficient: 5
3 points
On donne dans l'espace muni d'un repère orthonormé \text{ les points } A(1;1;1)\text{ ; }B(-1;2;0)\text{ et }C(3;0;1))
.
1-a) Calculer le produit vectoriel
.
b) En déduire qu'une équation du plan)
passant par les points 
2) Soit)
l'ensemble des points )
de l'espace tel que: 
.
Montrer que est une sphère de centre )
et de rayon 
.
3-a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite)
passant par 
et orthogonale au plan  )
.
b) Déterminer les coordonnées du point
intersection de la droite et du plan .
4) montrer que la sphère et le plan se coupent suivant un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.
3 points
et 
sont des entiers naturels.
Une urne contient boules blanches et boules rouges indiscernables au toucher.
On considère le système\text{ : }\begin{cases} (2x+y)(7x+5y)=765\\ pgcd(x;y)=3\end{cases})
.
1-a) Décomposer
en produit des facteurs premiers.
b) Déterminer l'ensemble des diviseurs positifs de.
c) Résoudre dans
le système .
2) Dans cette question on suppose que l'urne contient trois boules blanches et six boules rouges.
On tire simultanément et au hasard deux boules de l'urne.
Soit
la variable aléatoire désignant le nombre des boules blanches tirées.
a) Déterminer la loi de probabilité de .
b) Calculer l'espérance et la variance de.
6 points
1-a) Résoudre dans
l'équation différentielle \text{ : }y''+y=0)
.
b) Déterminer les solutions
de l'équation )
telles que: =1\text{ et }f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0\text{ , puis } g(0)=0\text{ et }g\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2)
2) Soit)
la courbe paramétrée définie par: =\cos t \\y(t)=2\in t \end{cases}\text{ , }(t\in\R))
a) Étudier la position des points\text{ et }M(-t) )
puis celle des points \text{ et }M(t))
.
b) En déduire que l'on peut étudier sur l'intervalle ![[0;\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[0;\pi])
.
c) Calculer\text{ et }y'(t))
dérivées des fonctions \text{ et }y(t))
.
d) Préciser les vecteurs dérivées aux points\text{ , }M_1\left(t=\dfrac{\pi}{2}\right)\text{ et }M_2(t=\pi))
.
e) Dresser le tableau de variation commun de
.
f) Construire dans le repère orthonormé )
.
3-a) Montrer qu'une équation réduite de est: 
b) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de (centre, foyers, sommets et directrices) .
4) L'aire
de en unité d'aire est donnée par: \times y(t)\text{ d}t)
.
a) Montrer que\text{ d}t)
.
b) Déterminer la valeur exacte de=\dfrac{1-\cos(2t)}{2} \right))
8 points
Partie A: Étude d'une fonction
On appelle
la fonction définie sur par : =\ln(x^2+x+1) \text{ ; }(C))
sa courbe représentative dans un repère orthonormé .
1) Calculer les limites de en 
.
2-a) Vérifier que}{x}=\dfrac{2\ln x}{x}+\dfrac{1}{x}\times \ln\left(1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right) )
.
b) En déduire}{x})
. Interpréter graphiquement le résultat.
3-a) Justifier que est dérivable sur puis montrer que =\dfrac{2x+1}{x^2+x+1})
.
b) Dresser le tableau de variation de.
4) Déterminer une équation de la tangente)
à la courbe )
de en 
.
5) On considère la fonction
définie sur par : =f(x)-x)
.
a) Justifier que=-\infty\text{ , puis calculer }\lim_{x\to-\infty} g(x))
.
b) Calculer)
puis dresser le tableau de variation de 
.
c) Montrer que l'équation=0)
admet sur deux solutions : 
et une autre, notée ![\alpha\in\left[\dfrac{3}{2};2\right]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha\in\left[\dfrac{3}{2};2\right])
.
d) En déduire suivant les valeurs de le signe de )
. Préciser la position de la courbe par rapport à .
6) On admet qu'en)
admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses ; Construire \text{ et }(C))
dans un repère orthonormé .
Partie B: Étude d'une suite récurrente
On appelle)
la suite définie sur 
par:  \end{cases})
1-a) Montrer par récurrence que:
.
b) En déduire que la suite converge.
2) Montrer que|\leq \dfrac{16}{19})
. (On pourra étudier le signe de -\dfrac{16}{19})
)
3-a) Montrer que\text{ d}x\right|\leq \dfrac{16}{19} |u_n-\alpha| )
.
b) En déduire que
.
c) En déduire que^n )
.
d) Quelle est la limite de la suite )
?
e) Déterminer le plus petit entier naturel
tel que 
soit une valeur approchée de 
à 
.Publié par malou/Panter
le
Bac Mathématiques
Union des Comores 2023
Série C
Coefficient: 5
3 points
exercice 1
On donne dans l'espace muni d'un repère orthonormé
1-a) Calculer le produit vectoriel
b) En déduire qu'une équation du plan
2) Soit
Montrer que
3-a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite
b) Déterminer les coordonnées du point
4) montrer que la sphère
3 points
exercice 2
Une urne contient
On considère le système
1-a) Décomposer
b) Déterminer l'ensemble des diviseurs positifs de
c) Résoudre dans
2) Dans cette question on suppose que l'urne contient trois boules blanches et six boules rouges.
On tire simultanément et au hasard deux boules de l'urne.
Soit
a) Déterminer la loi de probabilité de
b) Calculer l'espérance et la variance de
6 points
exercice 3
1-a) Résoudre dans
b) Déterminer les solutions
2) Soit
a) Étudier la position des points
b) En déduire que l'on peut étudier
c) Calculer
d) Préciser les vecteurs dérivées aux points
e) Dresser le tableau de variation commun de
f) Construire
3-a) Montrer qu'une équation réduite de
b) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de
4) L'aire
a) Montrer que
b) Déterminer la valeur exacte de
8 points
probleme
Partie A: Étude d'une fonction
On appelle
1) Calculer les limites de
2-a) Vérifier que
b) En déduire
3-a) Justifier que
b) Dresser le tableau de variation de
4) Déterminer une équation de la tangente
5) On considère la fonction
a) Justifier que
b) Calculer
c) Montrer que l'équation
d) En déduire suivant les valeurs de
6) On admet qu'en
Partie B: Étude d'une suite récurrente
On appelle
1-a) Montrer par récurrence que:
b) En déduire que la suite
2) Montrer que
3-a) Montrer que
b) En déduire que
c) En déduire que
d) Quelle est la limite de la suite
e) Déterminer le plus petit entier naturel
ceci n'est qu'un extrait
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