Fiche de mathématiques

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Bac Maroc 2023

Série: SVT-PC et Sciences technologiques

Durée : 3 heures
Coefficient : 7

exercice 1

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ , on considère les points $A(0,1,4)\text{ , }B(2;1;2)\text{ , }C(2;5;0)\text{ et }\Omega(3;4;4)$ .

1-a) Montrer que $\overrrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=4\left(2\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}\right)$ .

b) En déduire l'aire du triangle $ABC$ et la distance $d(B;(AC))$ .

2) Soit $D$ le milieu du segment $[AC]$ .

a) Vérifier que $\overrightarrow{D\Omega}=\dfrac{1}{4}\left(\overrrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right)$ .

b) En déduire que $d(\Omega;(ABC))=3$ .

3) Soit $(S)$ la sphère d'équation $x^2+y^2+z^2-6x-8y-8z+32=0$ .

a) Déterminer le centre et le rayon de la sphère $(S)$ .

b) Montrer que le plan $(ABC)$ est tangent à la sphère $(S)$ en un point que l'on déterminera.

4) Soient $(Q_1)\text{ et }(Q_2)$ les deux plans parallèles à $(ABC)$ tels que chacun d'eux coupe $(S)$ suivant un cercle de rayon $\sqrt{5}$ .

Déterminer une équation cartésienne pour chacun des deux plans $(Q_1)\text{ et }(Q_2)$ .

exercice 2

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec{u};\vec{v})$ , on considère les points $A,B,C\text{ et }D$ d'affixes repsectives $a=\sqrt{2}+i\sqrt{2}\text{ , }b=1+\sqrt{2}+i\text{ , }c=\overline{b}\text{ et }d=2i$ .

1)Écrire le nombre complexe $a$ sous forme trigonométrique.

2-a) Vérifier que $b-d=c$

b) Montrer que $(\sqrt{2}+1)(b-a)=b-d$ et déduire que les points $A\text{ , }B\text{ et }D$ sont alignés.

3-a) Vérifier que $ac=2b$ .

b) En déduire que $2\arg(b)\equiv \dfrac{\pi}{4} \enskip[2\pi]$ .

4) Soit $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ et qui transforme chaque point $M$ du plan d'affixe $z$ en un point $M'$ d'affixe $z'$ .

a) Montrer que $z'=\dfrac{1}{2} a z$ .

b) En déduire que $R(C)=B\text{ et que }R(A)=D$ .

c) Montrer que $\dfrac{b-a}{c-a}=\left(\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}\right)a$ , puis déduire une mesure de l'angle $\widehat{\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)}$ .

exercice 3

Une urne $U_1$ contient six boules portant les nombres : $0\text{ ; }0\text{ ; }1\text{ ; }1\text{ ; } 2$ et une urne $U_2$ contient cinq boules portant les nombres $1\text{ ; }1\text{ ; }1\text{ ; }2\text{ ; }2$ .

On suppose que les boules des deux urnes sont indiscernables au toucher.

On considère l'exprérience aléatoire suivante:

« On tire une boule de l'urne $U_1$ et on note le nombre $a$ qu'elle porte, puis on la met dans l'urne $U_2$ , ensuite on tire une boule de l'urne $U_2$ et on note le nombre $b$ qu'elle porte »

On considère les événements suivants:

A: "La boule tirée de l'urne $U_1$ porte le nombre 1"

B: "Le produit $ab$ est égal à $2$ "

1-a) Calculer $P(A)$ ; la probabilité de l'événement $A$ .

b) Montrer que $P(B)=\dfrac{1}{4}$ (On peut utiliser l'arbre des possibilités)

2) Calculer $P(A/B)$ ; probabilité de l'événement $A$ sachant que l'événement $B$ est réalisé.

3) Soit $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque résultat de l'expérience, le produit $ab$ .

a) Montrer que $p(X=0)=\dfrac{1}{3}$ .

b) Donner la loi de probabilité de $X$ (Remarquer que les valeurs prises par $X$ sont : $0\text{ ; }1\text{ ; }2\text{ et }4$ )

c) On considère les événements:

M: "Le produit $ab$ est pair non nul" et N:" Le produit $ab$ est égal à $1$ " .

Montrer que les événements M et N sont équiprobables.

probleme

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par : $f(x)=2-\dfrac{2}{x}+(1-\ln x)^2$ .

Soit $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ (unité: $1\text{ cm}$ )

1-a) Vérifier que pour tout $x\in]0;+\infty[\text{ : }f(x)=\dfrac{3x-2-2x\ln x + x(\ln x)^2}{x}$ .

b) Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x(\ln x)^2=0 \text{ et que }\lim_{x\to+\infty} \dfrac{(\ln x)^2}{x}=0 \enskip\text{ (on peut poser } t=\sqrt{x} \text{ )}$ .

c) Déduire que $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$ , puis donner une interprétation géométrique du résultat.

d) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)$ , puis montrer que la courbe $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses au voisinage de $+\infty$ .

2) Montrer que pour tout $x\in ]0;+\infty[\text{ : }f'(x)=\dfrac{2(1-x+x\ln x)}{x^2}$ .

3) En exploitant le tableau de variation ci-dessous, de la fonction dérivée $f'$ de $f$ sur $]0;+\infty[$ :

$\begin{array}{|c|cccccccc|} \hline x & 0 & & & 1 & &\beta & & +\infty \\ & & & & & & & & \\ \hline &\dbarre & +\infty & & & &f'(\beta) & & \\ f'(x) & \dbarre & &\searrow& & \nearrow && \searrow & \\ &\dbarre & & & 0 & & & & 0 \\ \hline \end{array}}$

(On donne $\beta\approx 4,9$ )

a) Prouver que $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ puis dresser le tableau de variations de $f$ .

b) Donner le tableau de signe de la dérivée seconde $f''$ de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$ .

c) Déduire la concavité de la courbe $(C_f)$ en précisant les abscisses de ses deux points d'inflexion.

4) La courbe $(C_g)$ ci-contre est la représentation graphique de la fonction $g:x\mapsto f(x)-x$ et qui s'annule en $\alpha$ et $1\enskip\text{ (}\alpha\approx 0,3\text{)}$ .

Bac Maroc 2023 SVT-PC et sciences technologiques : image 1

Soit $(\Delta)$ la droite d'équation $y=x$ .

a) A partir de la courbe $(C_g)$ , déterminer le signe de la fonction $g$ sur $]0;+\infty[$ .

b) Déduire que la droite $(\Delta)$ est en dessous de $(C_f)$ sur l'intervalle $[\alpha;1]$ et au-dessus de $(C_f)$ sur les intervalles $]0;\alpha]$ et $[1;+\infty[$ .

5) Construire la courbe $(C_f)$ et la droite $(\Delta)$ dans le repère $(O;\vec{i};\vec{j})$ .

$\text{(On prend : }\alpha\approx 0,3\text{ ; }\beta\approx 4,9\text{ et }f(\beta)\approx 1,9 \text{)}$

6-a) Vérifier que la fonction $x\mapsto 2x-x\ln x$ est une primitive de la focntion $x\mapsto 1-\ln x$ sur $[\alpha;1]$ .

b) En utilisant une intégration par parties, montrer que $\displaystyle \int_{\alpha}^{1} (1-\ln x)^2 \text{ d}x=5(1-\alpha)+\alpha(4-\ln\alpha)\ln\alpha$ .

c) Déduire en fonction de $\alpha$ l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $(C_f)$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=\alpha\text{ et }x=1$ .

7) Soit la suite numérique $(u_n)$ définie par $u_0\in]\alpha;1[$ et la relation $u_{n+1}=f(u_n)\text{ , pour tout }n\in\N$ .

a) Montrer par récurrence que $\alpha<u_n<1\text{ , pour tout }n\in\N$ .

b) Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante (on peut utiliser la question 4-b) )

c) En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente et calculer sa limite.

Publié par malou/Panter le 16-07-2023

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