Fiche de mathématiques

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Bac Mathématiques

Burkina Faso 2023

Série F1-F2-F3-F4

2ème tour

Durée : 4h
Coefficient: 5
Calculatrice non autorisée

4 points

exercice 1

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4 points

exercice 2

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12 points

probleme

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Voir la correction

exercice 1

Soit $(U_n)_{n\in\N^*}$ la suite définie par : $\begin{cases} U_1=1 \\ U_{n+1}=\dfrac{nU_n+4}{n+1} & \text{ ; }n\geq 1 \end{cases}$

1) Directement: $U_2= \dfrac{1\times U_1+4}{1+1} = \dfrac{1\times 1+4}{1+1} \Longrightarrow \boxed{U_2=\dfrac{5}{2}}$

2-a) Soit $(V_n)_{n\in\N^*}$ la suite définie par : $\forall n\in\N^*\text{ : } V_n=nU_n$

On a $V_1=1\times U_1= U_1=1$

De plus: $\forall n\in\N^*\text{ : }V_{n+1}=(n+1)U_{n+1}=(n+1)\dfrac{nU_n+4}{n+1}=nU_n+4=V_n+4$

On en déduit que:

$\boxed{(V_n) \text{ est une suite arithmétique de raison }r=4\text{ et de premier terme }V_1=1 }$

b) Puisque $(V_n) \text{ est une suite arithmétique de raison }r=4\text{ et de premier terme }V_1=1\text{ , alors : }$

$\forall n\in \N^*\text{ : } V_n=V_1+r(n-1)= 1+4(n-1)\Longrightarrow \boxed{\forall n\in\N^*\text{ : }V_n=4n-3}$

D'autre part, on sait que : $\forall n\in \N^*\text{ : }V_n=nU_n$ , il s'ensuit que :

$\forall n\in \N^*\text{ : }U_n=\dfrac{V_n}{n} \Longrightarrow \boxed{\forall n\in \N^*\text{ : }U_n=\dfrac{4n-3}{n}}$

c) On a, pour tout entier naturel non nul $n\text{ : }$

$\begin{matrix} U_{n+1}-U_n&=& \dfrac{4(n+1)-3}{n+1}-\dfrac{4n-3}{n} &=& \dfrac{4n+1}{n+1}-\dfrac{4n-3}{n} \\\\&=& \dfrac{ (4n+1)n-(4n-3)(n+1)}{n(n+1)}&=& \dfrac{4n^2+n-(4n^2+4n-3n-3)}{n(n-1)}\\\\&=& \dfrac{4n^2+n-4n^2-n+3}{n(n+1)}&=& \dfrac{3}{n(n+1)}\end{matrix}$

Or, $\forall n\in \N^*\text{ : }n+1>1>0\text{ , et donc }n(n+1)>0$

On en tire que: $\boxed{\forall n\in \N^*\text{ : }U_{n+1}-U_n>0}$

Ce qui veut dire que:

$\boxed{\text{ La suite }(U_n)_{n\in\N^*} \text{ est une suite strictement croissante }}$

3) Soit $n\in\N^*$ . La somme $S_n$ représente la somme des $n$ premiers termes consécutifs de la suite arithmétique $(V_n)\text{ , donc: }$

$\forall n\in \N^*\text{ : }S_n=(n-1+1)\dfrac{V_1+V_n}{2} = n\dfrac{1+4n-3}{2}=\dfrac{n(4n-2)}{2} \Longrightarrow \boxed{\forall n\in \N^*\text{ : }S_n=n(2n-1) }$

exercice 2

1) On a $A(-1;0;1)\text{ , }B(0;1;-2)\text{ et }C(1;2;-1)$ .

On calcule les coordonnées de: $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\y_B-y_A\\z_B-z_A\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0-(-1)\\1-0\\-2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\-3\end{pmatrix}\enskip\enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip\enskip\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} x_C-x_A\\y_C-y_A\\z_C-z_A\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-(-1)\\2-0\\-1-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\-2\end{pmatrix}$

On en tire les coordonnées du produit vectoriel: $\left(\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}\right)\left(\begin{pmatrix}1\\1\\-3\end{pmatrix}\wedge \begin{pmatrix}2\\2\\-2\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}1\times(-2)-(-3)\times 2\\-(1\times(-2)-(-3)\times 2)\\1\times 2-1\times 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-4\\0\end{pmatrix}$

Donc: $\boxed{\left(\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}\right)\begin{pmatrix}4\\-4\\0\end{pmatrix}}$

2-a) Soit $D(x,y,z)$ un point de l'espace tel que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ .

$\begin{matrix} \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}&\iff& \begin{pmatrix}1\\1\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-x\\2-y\\-1-z\end{pmatrix}\\&\iff& \begin{cases}1=1-x\\1=2-y\\-3=-1-z\end{cases}\\&\iff& \begin{cases}x=0\\y=1\\z=2\end{cases}\end{pmatrix}$

Donc:

$\boxed{\text{ Les coordonnées du point }D\text{ sont : }D(0;1;2)}$

b) Pusique $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ , alors le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.

Donc, l'aire de $ABCD$ est en unité d'aire $(ua)$ :

$\begin{matrix} \mathscr{A}_{ABCD}&=& || \overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC} || &=& \sqrt{ 4^2+(-4)^2+0^2}&=& \sqrt{2\times 4^2 }&=& 4\sqrt{2} \enskip (ua) \end{matrix}$

Finalement, l'unité graphique est $2cm$ , donc: $1 ua=2\times 2=4\text{cm}^2$

Donc: $\begin{matrix} \mathscr{A}_{ABCD}&=& 4\sqrt{2} \enskip (ua) &=& 4\times 4\sqrt{2} \enskip (cm^2) \end{matrix} \enskip \iff \enskip \boxed{\mathscr{A}_{ABCD}=16\sqrt{2}\enskip (cm^2)}$

3-a) Le vecteur $\left(\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}\right)\begin{pmatrix}4\\-4\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$ .

Donc une équation de ce plan s'écrit : $(ABC)\text{ : }4\times x +-4\times y +0\times z +d=0\text{ , avec }d\in\R$

Ce qui donne $(ABC)\text{ : }4x -4y +d=0\text{ , avec }d\in\R$ .

De plus , on a $A\in(ABC)$ , alors : $4x_A-4y_A+d=0\iff -4+0+d=0\iff d=4$

On obtient : $(ABC)\text{ : }4x-4y+4=0\iff \boxed{ (ABC)\text{ : }x-y+1=0}$

Calculons la distance $d(E;(ABC))$ entre le point $E(4;0;-3)\text{ et le plan }(ABC)\text{ est en unité de longueur } (ul)\text{ :}$

$d(E;(ABC))=\dfrac{|x_E-y_E+1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\dfrac{|5|}{\sqrt{2}}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\enskip (ul)$

Finalement, l'unité graphique est $2cm$ , donc: $1 ul=2cm$

$d(E;(ABC))=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\enskip (ul)= 2\times \dfrac{5\sqrt{2}}{2}\enskip (cm)\Longrightarrow \boxed{d(E;(ABC))=5\sqrt{2}\enskip (cm)}$

b) Le volume du tétraèdre $ABCDE$ qu'on note $\mathscr{V}$ est donné par la relation:

$\mathscr{V}=\dfrac{1}{3}\mathscr{A}_{ABCD} \enskip d(E;(ABC))$

Donc: $\mathscr{V}=\dfrac{1}{3}\mathscr{A}_{ABCD} \enskip d(E;(ABC))=\dfrac{1}{3}\times 16\sqrt{2} \enskip (cm^2)\times 5\sqrt{2}\enskip (cm) \Longrightarrow \boxed{\mathscr{V}=\dfrac{160}{3} \enskip (cm^3)}$

probleme

Partie A:

$\forall x\in ]-\infty;-1]\text{ : }g(x)=xe^x+2e^x-1$

1) Calculons les limites:

$\displaystyle\lim_{x\to -\infty} g(x)= \lim_{x\to -\infty} \underbrace{xe^x}_{\to 0 }+2e^x-1 = 0+0-1=-1$

$\boxed{\displaystyle\lim_{x\to -\infty} g(x)=-1}$

$\displaystyle\lim_{x\to -1} g(x)= g(-1) = -e^{-1}+2e^{-1}-1=e^{-1}-1$

$\boxed{\displaystyle\lim_{x\to -1} g(x)=e^{-1}-1}$

2) La fonction $g$ est dérivable sur $]-\infty;-1]$ comme somme de fonctions dérivables sur $]-\infty;-1]$ .

$\begin{matrix} \forall x\in ]-\infty;-1]\text{ : } g'(x)&=&\left(xe^x+2e^x-1\right)'&=& xe^x+e^x+2e^x &=& (x+3)e^x\end{matrix}$

On sait que $\forall x\in ]-\infty;-1]\text{ : }e^x>0\text{ , }$ donc le signe de $g'(x)$ est celui de $x+3$ .

Dressons le tableau de signes de $x+3\text{ :}$

$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & & -3 & & -1 \\ \hline x+3 & & - & \barre{0} &+& \\ \hline g'(x) & & - & \barre{0} &+& \\ \hline \end{array}}$

On en déduit que:

$\boxed{\begin{matrix} \forall x\in \left]-\infty;-3\right[ \text{ : } & g'(x)<0 \\ g'\left(-3\right)=0 &\\ \forall x\in \left]-3;-1] \text{ : } & g'(x)>0 \end{matrix} } \enskip\enskip\text{ , donc : }\enskip\enskip \boxed{\begin{matrix}g\text{ est strictement décroissante sur } ]-\infty;-3[\\g \text{ admet un minimum en }-3 \\ g\text{ est strictement croissante sur } ]-3;-1] \end{matrix}}$

Finalement: $g(-3)=-3e^{-3}+2e^{-3}-1=-e^{-3}-1$

Dressons le tableau de variations de la fonction $g\text{ : }$

$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & & -3 & & -1 \\ \hline g'(x) & & - & \barre{0} &+& \\ \hline & -1& &&& e^{-1}-1 \\ g & & \searrow & & \nearrow & \\ & & &-e^{-3}-1&& \\ & & &&& \\ \hline \end{array}}$

3) On a $e^{-1}\approx 0,57$ , donc $e^{-1}-1>-1$ .

Donc, d'après le tableau de variations de $g$ sur $]-\infty;-1]\text{ , }g \text{ admet une valeur maximale qui est }e^{-1}-1$

D'où: $\forall x\in ]-\infty;-1]\text{ : } g(x) \leq e^{-1}-1$

Et en sachant que $0>e^{-1}-1$ , on obtient finalement:

$\boxed{\forall x\in ]-\infty;-1]\text{ : } g(x)<0 }$

Partie B:

$\forall x\in\R\text{ : }f(x)=\begin{cases} xe^x +e^x-x-1 & \text{ si }x\leq -1 \\ (2-x)\sqrt{ 1+x} &\text{ si }x>-1\end{cases}$

1-a) Calculons les limites de $f$ à gauche et à droite en $-1$

$\displaystyle\lim_{x\to-1^-} f(x)=f(-1)=-e^{-1}+e^{-1}-(-1)-1 = 1-1 = 0$

$\displaystyle\lim_{x\to-1^+} f(x)=\dispaystyle\lim_{x\to-1^+} (2-x)\sqrt{ 1+x} = (2-(-1))\sqrt{ 1-1}=3\times 0 =0$

On en déduit que $\displaystyle\lim_{x\to-1^+} f(x)=\displaystyle\lim_{x\to-1^-} f(x)=f(-1)=0\Longrightarrow \boxed{\displaystyle\lim_{x\to-1} f(x)=f(-1)=0}$

Ce qui veut dire que:

$\boxed{\text{La fonction }f\text{ est continue en }-1 }$

b) Dérivabilité à gauche:

$\begin{matrix}\displaystyle \lim_{x\to -1^-}\dfrac{f(x)-f(-1)}{x+1} &=& \displaystyle \lim_{x\to -1^-}\dfrac{xe^x +e^x-x-1}{x+1}&=&\displaystyle \lim_{x\to -1^-}\dfrac{(x+1)e^x-(x+1)}{x+1}\\\\&=&\displaystyle \lim_{x\to -1^-}\dfrac{(x+1)e^x}{x+1}-\dfrac{x+1}{x+1}&=& \displaystyle \lim_{x\to -1^-} e^x-1 \\\\&=& e^{-1}-1 \end{matrix}$

Donc: $\boxed{f\text{ est dérivable à gauche en }-1 \text{ avec }f'_g(-1)=e^{-1}-1}$

Dérivabilité à droite:

$\begin{matrix}\displaystyle \lim_{x\to -1^+}\dfrac{f(x)-f(-1)}{x+1} &=& \displaystyle \lim_{x\to -1^+}\dfrac{(2-x)\sqrt{ 1+x}}{x+1}&=&\displaystyle \lim_{x\to -1^+}\dfrac{(2-x)(1+x)}{(x+1)\sqrt{ 1+x}}\\\\&=&\displaystyle \lim_{x\to -1^+}\dfrac{2-x}{\sqrt{ 1+x}}&=& \dfrac{3}{0^+} \\\\&=& +\infty \end{matrix}$

Donc: $\boxed{f\text{ n'est pas dérivable à droite en }-1 }$

Conclusion:

Donc: $\boxed{f\text{ n'est pas dérivable en }-1 }$

Interprétation graphique des résultats:

$f\text{ est dérivable à gauche en }-1 \text{ avec }f'_g(-1)=e^{-1}-1\text{ , donc: }$

De plus, d'après 1-a) , $f(-1)=0$

Donc la courbe $(\mathscr{C}_f)$ admet une demi-tangente à gauche au point $A(-1;-2)$ d'équation:

$y=f'_g(-1)(x+1)+f(-1)\iff y=(e^{-1}-1)(x+1)\iff y=(e^{-1}-1)x+e^{-1}-1$

$\boxed{(\mathscr{C}_f) \text{ admet la droite d'équation }y=(e^{-1}-1)x+e^{-1}-1\text{ comme demi-tangente à gauche au point }A(-1;0)}$

$f\text{ n'est pas dérivable à droite en }-1 \text{ , donc :}$

$\boxed{(\mathscr{C}_f) \text{ admet la droite verticale d'équation }x=-1 \text{ comme demi-tangente à droite au point }A(-1;0)}$

2-a) L'ensemble de définition de la fonction $f$ est $\R=]-\infty;+\infty[\text{ :}$

$\begin{matrix}\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\to-\infty} xe^x +e^x-x-1 &=& 0+0-(-\infty)-1&=&+\infty\end{matrix}$

$\begin{matrix}\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\to+\infty} (2-x)\sqrt{ x+1} &=& (-\infty)\times (+\infty)&=&-\infty\end{matrix}$

$\boxed{\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)=+\infty \enskip \text{ et } \enskip \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)=-\infty }$

b) Calculons la limite:

$\begin{matrix}\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)-(-x-1)&=&\displaystyle\lim_{x\to-\infty} xe^x +e^x-x-1-(-x-1) &=& \displaystyle\lim_{x\to-\infty} xe^x +e^x&=&0+0&=&0\end{matrix}$

$\boxed{\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)-(-x-1)=0 }$

Interprétation graphique:

$\boxed{\text{ La droite }(D)\text{ d'équation }(D)\text{ : }y=-x-1\text{ est une asymptote oblique à }(\mathscr{C}_f) \text{ au voisinage de }-\infty}$

c) Calculons la limite:

$\begin{matrix}\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{f(x)}{x}&=&\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{(2-x)\sqrt{x+1}}{x} &=& \displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{2-x}{x} \sqrt{x+1}&=&\dfrac{-1}{1}\times (+\infty)&=&-\infty\end{matrix}$

$\boxed{\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{f(x)}{x}=-\infty }$

Interprétation graphique:

$\boxed{\text{ La courbe }(\mathscr{C}_f)\text{ admet une branche parabolique de la direction celle de l'axe des ordonnées au voisinage de }+\infty}$

3-a) La fonction $f$ est dérivable sur $]-\infty;-1[$ comme somme de fonctions dérivables sur $]-\infty;-1[$ .

$\begin{matrix} \forall x\in ]-\infty;-1[\text{ : } f'(x)&=&\left(xe^x+e^x-x-1\right)'&=& xe^x+e^x+e^x-1 &=& xe^x+2e^x-1\end{matrix}$

$\boxed{\forall x\in]-\infty;-1[\text{ : }f'(x)=xe^x+2e^x-1 }\text{ , ou encore: }\boxed{\forall x\in]-\infty;-1[\text{ : }f'(x)=g(x) }$

b) D'après la question 3) de la partie A) : $\forall x\in ]-\infty;-1[\text{ : }f'(x)=g(x)<0$

On en déduit que:

$\boxed{\text{ La fonction }f\text{ est strictement décroissante sur }]-\infty;-1[}$

4-a) La fonction $f$ est dérivable sur $]-1;+\infty[$ comme produit de fonctions dérivables sur $]-1;+\infty[$ .

$\begin{matrix} \forall x\in ]-1;+\infty[\text{ : } f'(x)&=&\left((2-x)\sqrt{x+1}\right)'&=& (2-x)'\sqrt{x+1}+(2-x)\left(\sqrt{x+1}\right)' \\\\&=& -\sqrt{x+1}+(2-x)\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}} &=& \dfrac{-2(x+1)+(2-x)}{2\sqrt{x+1}} \\\\&=& \dfrac{-2x-2+2-x}{2\sqrt{x+1}}&=&-\dfrac{3x}{2\sqrt{x+1}}\end{matrix}$

Puisque $\forall x\in ]-1;+\infty[\text{ : } 0<\sqrt{x+1}$ , alors le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]-1;+\infty[$ est l'opposé de celui de $x$ .

D'où: $\boxed{\begin{matrix} \forall x\in \left]-1;0\right[ \text{ : } & 0<f'(x) \\ f'(0)=0 &\\ \forall x\in \left]0;+\infty[ \text{ : } & 0>f'(x) \end{matrix} } \enskip\enskip\text{ , donc : }\enskip\enskip \boxed{\begin{matrix}f\text{ est strictement croissante sur } ]-1;0[\\f \text{ admet un maximum en }0 \\ f\text{ est strictement décroissante sur } ]0;+\infty[ \end{matrix}}$

b) Une équation de la tangente $(T)$ au point d'abscisse $2$ s'écrit:

$(T)\text{ : }y=f'(2)(x-2)+f(2)$

Or: $f(2)=(2-2)\sqrt{2+1}=0\enskip\ext{ et }\enskip f'(2)=-\dfrac{3\times 2}{2\sqrt{2+1}}=-\dfrac{3}{\sqrt{3}}=-\sqrt{3}$

On obtient:

$(T)\text{ : }y=- \sqrt{3}(x-2)+0\iff\boxed{(T)\text{ : }y=-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}}$

5) On traduit les résultats trouvés en 3) et 4) en tableau de variation de la fonction $f\text{ : }$

$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & &-1 & & 0 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & - & \dbarre &+&\barre{0}&-& \\ \hline & &&&&& & \\ &+\infty &&&&2& & \\ f & & \searrow & & \nearrow & & \searrow& \\ & & &0&&&& -\infty \\ & &&&&& & \\ \hline \end{array}}$

En effet: $f(0)=(2-0)\sqrt{1+0}=2 \enskip\enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip\enskip f(-1)=0 \text{ d'après la question }\red 1)\black\text{ de la partie B}$

6) Voir le graphique à la fin de la correction de la partie C) .

Partie C:

1-a) On remarque facilement que $2$ et $-1$ sont des racines évidentes du trinôme $-x^2+x+2$ , donc, en faisant attention au signe, on a directement:

$\boxed{\forall x\in \R\text{ : }-x^2+x+2=-(x-2)(x+1)}$
Remarque:

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b) La fonction $F$ est dérivable sur $]-1;+\infty[$ comme produit de fonctions dérivables sur cet intervalle, donc:

$\begin{matrix} \forall x\in]-1;+\infty[\text{ : }F'(x)&=& \left[\dfrac{2}{5} (-x^2+3x+4)\sqrt{x+1}\right]'&=& \dfrac{2}{5} \left[ (-x^2+3x+4)'\sqrt{x+1}+(-x^2+3x+4)\left(\sqrt{x+1}\right)'\right]\\\\&=& \dfrac{2}{5}\left((-2x+3)\sqrt{x+1} +(-x^2+3x+4)\times\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}} \right) &=& \dfrac{2}{5}\times \left\dfrac{2(-2x+3)(x+1)-x^2+3x+4}{2\sqrt{x+1}} \\\\&=& \dfrac{(-4x+6)(x+1)-x^2+3x+4}{5\sqrt{x+1}}&=& \dfrac{-4x^2-4x+6x+6+6-x^2+3x+4}{5\sqrt{x+1}} \\\\&=& \dfrac{-5x^2+5x+10}{5\sqrt{x+1}}&=& \dfrac{-x^2+x+2}{\sqrt{x+1}} \\\\&=& \dfrac{-(x-2)(x+1)}{\sqrt{x+1}} &=& \dfrac{(2-x)(x+1)\sqrt{x+1}}{x+1} \\\\&=& (2-x)\sqrt{x+1} &=& f(x) \end{matrix}$

On conclut alors que: $\forall x\in ]-1;+\infty[\text{ : }F'(x)=f(x) \Longrightarrow \boxed{F\text{ est une primitive de }f\text{ sur }]-1;+\infty[}$

c) L'aire $\mathscr{A}$ de la partie du plan comprise entre $(\mathscr{C}_f)\text{ , }$ l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=-1 \text{ et } x=2$ . est en unité d'aire $(U.A)\text{ : }$

$\mathscr{A}=\displaystyle \int_{-1}^{2}|f(x)|\text{ d}x$

Or , on sait que: $\forall x\in [-1;2]\text{ : }f(x)=(2-x)\sqrt{x+1} \text{ et que } \sqrt{x+1}\geq 0\text{ et }0\leq 2-x$

Donc pour tout réel $x$ de $[-1;2]\text{ : }f(x)\geq 0 \text{ , et donc : }\forall x\in [-1;2]\text{ : }|f(x)|=f(x)$

Calculons cette intégrale :

$\begin{matrix} \mathscr{A}&=&\displaystyle \int_{-1}^{2}|f(x)|\text{ d}x\\&=&\displaystyle \int_{-1}^{2}f(x)\text{ d}x\\&=&\displaystyle \left[F(x)\right]_{-1}^{2}\\&=& \displaystyle \left[\dfrac{2}{5} (-x^2+3x+4)\sqrt{x+1}\right]_{-1}^2 \\&=& \dfrac 2 5 \left[ (-4+6+4)\sqrt{ 2+1}-(-1-3+4)\sqrt{-1+1}\right] \\&=& \dfrac{2}{5}(6\sqrt{3}) \\&=& \dfrac{12\sqrt{3}}{5} \enskip (U.A.)\end{matrix}$

Finalement, l'unité graphique est $1\text{ cm , il s'ensuit que: } 1 \text{ U.A }=\left(1\text{ cm }\times 1\text{ cm }\right) = 1\text{ cm}^2$

Donc: $\boxed{\mathscr{A}=\dfrac{12\sqrt{3}}{5} \enskip (U.A)=\dfrac{12\sqrt{3}}{5} \enskip (\text{ cm}^2) }$

2-a) La restriction $h$ de $f$ sur $[0;+\infty[$ est continue et strictement décroissante sur $[0;+\infty[$ .

Elle réalise alors une bijection sur $[0;+\infty[$ vers l'intervalle $h([0;+\infty[)=f([0;+\infty[)=\displaystyle \left]\lim_{x\to+\infty}f(x) ; f(0)\right]=]-\infty; 2]$

D'où :

$\boxed{h \text{ admet une bijection réciproque }h^{-1}\text{ définie sur l'intervalle }]-\infty;2] }$

b) La courbe $(\Gamma)$ se déduit de $(\mathscr{C}_f)$ en traçant le symétrique par rapport à la droite d'équation $y=x$ de la partie de $(\mathscr{C}_f)$ sur $[0;+\infty[$ . Ce symétrique $(\Gamma)$ se trouvera sur l'intervalle $]-\infty;2]$ .

Le graphique:

Bac Burkina Faso 2023 série F1-F2-F3-F4 - 2ème tour : image 6

On nous donne: $e^{-1}\approx 0,37\text{ , donc: }y=(e^{-1}-1)x+(e^{-1}-1)$ est approximativement la droite d'équation $y=-0,63x-0,63$

Et aussi $\sqrt{3}\approx 1,73 \text{ , donc }y=\sqrt{3} x+2\sqrt{3}$ est approximativement $y=1,73x+ 3,46$

Publié par malou/Panter le 12-11-2023

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