Fiche de mathématiques

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Bac Mathématiques

Cameroun 2023

Série A-ABI

Durée : 2h
Coefficient: 2

Partie A: Évaluation des resources (15 points)

4 points

exercice 1

6 points

exercice 2

5 points

exercice 3

Partie B: Évaluation des compétences (5 points)

Voir la correction

Bac Cameroun 2023 série A-ABI

Partie A : Évaluation des ressources (15 points)

4 points

exercice 1

1. L'ensemble des solutions dans $\overset{ { \white{ _. } } } { \R}$ de l'équation : ${ x^3-x^2-2x+2=0 }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { {\blue{\lbrace-\sqrt 2\;;\;\sqrt 2\;;\;1\rbrace.}} }$ Réponse d.

${ \white{ xxi } }$ $x^3-x^2-2x+2=0\quad\Longleftrightarrow\quad (x^3-x^2)-(2x-2)=0 \\ \phantom{x^3-x^2-2x+2=0}\quad\Longleftrightarrow\quad x^2(x-1)-2(x-1)=0 \\ \phantom{x^3-x^2-2x+2=0}\quad\Longleftrightarrow\quad (x-1)(x^2-2)=0 \\ \phantom{x^3-x^2-2x+2=0}\quad\Longleftrightarrow\quad x-1=0\quad\text{ou}\quad x^2-2=0 \\ \phantom{x^3-x^2-2x+2=0}\quad\Longleftrightarrow\quad x=1\quad\text{ou}\quad x^2=2 \\ \phantom{x^3-x^2-2x+2=0}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x=1\quad\text{ou}\quad x=\sqrt 2\quad\text{ou}\quad x=-\sqrt 2}$
Par conséquent, la proposition $\red{\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ \text{ d } } } }$ est correcte.

2. Les nombres réels solutions dans $\overset{ { \white{ _. } } } { \R}$ de l'équation : ${ \text e^x+8\text e^{-x}-6=0 }$ sont ${\blue{\ln 2} }$ et ${\blue{2\ln 2.} }$ Réponse b.

${ \white{ xxi } }$ $\text e^x+8\text e^{-x}-6=0\quad\Longleftrightarrow\quad \text e^x+\dfrac {8}{\text e^{x}}-6=0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\text e^x+8\text e^{-x}-6=0}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac {(\text e^{x})^2+8-6\text e^{x}}{\text e^{x}}=0} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\text e^x+8\text e^{-x}-6=0}\quad\Longleftrightarrow\quad(\text e^{x})^2+8-6\text e^{x}=0} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\text e^x+8\text e^{-x}-6=0}\quad\Longleftrightarrow\quad(\text e^{x})^2-6\text e^{x}+8=0}$

Si $\overset{ { \white{ . } } } { X=\text e^x, }$ l'équation devient : $\overset{ { \white{ _. } } } { X^2-6X+8=0 }$
Le discriminant du trinôme est égal à $\overset{ { \white{ . } } } { \Delta=(-6)^2-4\times1\times8=36-32=4>0. }$

Les solutions de cette équation sont :

${ \white{ xxi } }$ ${ \white{ xxi } }$ ${\bullet}{\white{xx}}X_1=\dfrac{6-\sqrt 4}{2}=\dfrac{6-2}{2}=2 \\\\ {\bullet}{\white{xx}}X_2=\dfrac{6+\sqrt 4}{2}=\dfrac{6+2}{2}=4$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ ${ \white{ xxi } }$ ${\bullet}{\white{xx}}X=2\quad\Longleftrightarrow\quad \text e^x=2 \\\phantom{WWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x=\ln 2} \\\\ {\bullet}{\white{xx}}X=4\quad\Longleftrightarrow\quad \text e^x=4 \\\phantom{WWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad x=\ln 4=\ln2^2 \\\phantom{WWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x=2\ln 2}$
Par conséquent, la proposition $\red{\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ \text{ b } } } }$ est correcte.

3. L'ensemble des solutions dans $\overset{ { \white{ _. } } } { \R}$ de l'équation : ${ \ln^3x-\ln^2x-22\ln x+40=0 }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { {\blue{\lbrace\text e^{-5}\;;\;\text e^{2}\;;\;\text e^{4}\rbrace.}}} }$ Réponse c.

Si $\overset{ { \white{ . } } } { X=\ln x, }$ l'équation devient : $\overset{ { \white{ . } } } { X^3-X^2-22X+40=0 }$
Parmi les diviseurs de 40, le nombre entier 2 est une solution évidente de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { X^3-X^2-22X+40=0 }$
En effet, $\overset{ { \white{ . } } } { 2^3-2^2-22\times2+40=8-4-44+40=0. }$
Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { X^3-X^2-22X+40 }$ peut se factoriser par $\overset{ { \white{ . } } } { (X-2). }$
Par la règle de Horner, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ ${ \white{ xxi } }$ $\begin{array}{c|cccccc|c}&1&&-1&&-22&&40 \\\hline 2&&&2&&2&&-40 \\\hline &1&&1&&-20&&0\\ \end{array}$

$\text{D'où }\;X^3-X^2-22X+40=0\quad\Longleftrightarrow\quad (X-2)(X^2+X-20)=0 \\\phantom{\text{D'où }\;X^3-X^2-22X+40=0}\quad\Longleftrightarrow\quad X-2=0\quad\text{ou }\quad X^2+X-20=0 \\\\ {\bullet}{\white{xx}}X-2=0\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{X=2} \\\\ {\bullet}{\white{xx}}X^2+X-20=0 \\\\ {\white{{\bullet}xx}}\text{Discriminant : }\Delta=1^2-4\times1\times(-20)=1+80=81>0$

$\\\\ {\white{{\bullet}xx}}\text{Solutions : }X_1=\dfrac{-1-\sqrt{81}}{2}=\dfrac{-1-9}{2}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{X_1=-5} \\\\ {\white{{\bullet}xxSolutions : }}\text{}X_2=\dfrac{-1+\sqrt{81}}{2}=\dfrac{-1+9}{2}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{X_2=4}$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ ${ \white{ xxi } }$ ${\bullet}{\white{xx}}X=2\quad\Longleftrightarrow\quad\ln x=2 \\\phantom{WWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x=\text e^2} \\\\ {\bullet}{\white{xx}}X=-5\quad\Longleftrightarrow\quad\ln x=-5 \\\phantom{WWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x=\text e^{-5}} \\\\ {\bullet}{\white{xx}}X=4\quad\Longleftrightarrow\quad\ln x=4 \\\phantom{WWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x=\text e^{4}}$
Par conséquent, la proposition $\red{\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ \text{ c } } } }$ est correcte.

4. L'ensemble solution dans $\overset{ { \white{ _. } } } { \R}$ de l'inéquation : ${ \text e^{2x}+2\text e^x-15\ge0 }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { {\blue{[\,\ln 3\;;\;+\infty\,[.}} }$ Réponse b.

Si $\overset{ { \white{ . } } } { X=\text e^x, }$ l'inéquation devient : $X^2+2X-15\ge0$

Factorisons le trinôme du second degré $X^2+2X-15.$

Le discriminant du trinôme est égal à $\overset{ { \white{ . } } } { \Delta=2^2-4\times1\times(-15)=4+60=64>0. }$
Les racines du trinôme sont :

${ \white{ xxi } }$ ${ \white{ xxi } }$ ${\bullet}{\white{xx}}X_1=\dfrac{-2-\sqrt {64}}{2}=\dfrac{-2-8}{2}=-5 \\\\ {\bullet}{\white{xx}}X_2=\dfrac{-2+\sqrt {64}}{2}=\dfrac{-2+8}{2}=3$

D'où $X^2+2X-15=(X+5)(X-3).$

Dès lors, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\text e^{2x}+2\text e^x-15\ge0\quad\Longleftrightarrow\quad X^2+2X-15\ge0 \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{X^2+2X-15\ge0}\quad\Longleftrightarrow\quad (X+5)(X-3)\ge0} \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{X^2+2X-15\ge0}\quad\Longleftrightarrow\quad (\text e^x+5)(\text e^x-3)\ge0} \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{X^2+2X-15\ge0}\quad\Longleftrightarrow\quad \text e^x-3\ge0\quad\quad\text{car }\;\text e^x>0\Longrightarrow \text e^x+5>0}$
${ \white{ xxi } }$ $\\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{X^2+2X-15\ge0}\quad\Longleftrightarrow\quad \text e^x\ge3} \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{X^2+2X-15\ge0}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln(\text e^x)\ge\ln 3}\quad\quad\text{car ln est une fonction croissante sur }\R_+^* \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{X^2+2X-15\ge0}\quad\Longleftrightarrow\quad x \ge\ln 3} \\\\\text{D'où }\;\boxed{\text e^{2x}+2\text e^x-15\ge0\quad\Longleftrightarrow\quad x \ge\ln 3}$
Par conséquent, la proposition $\red{\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ \text{ b } } } }$ est correcte.

6 points

exercice 2

Le tableau suivant donne le relevé pendant huit semaines consécutives, du nombre de cas déclarés lors d'une épidémie.

$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline&&&&&&&&&\text{Semaine } (x_i) &\phantom{x}1\phantom{x}&\phantom{x}2\phantom{x}&\phantom{x}3\phantom{x}&\phantom{x}4\phantom{x}&\phantom{x}5\phantom{x}&\phantom{x}6\phantom{x}&\phantom{x}7\phantom{x}&\phantom{x}8\phantom{x}\\&&&&&&&& \\ \hline &&&&&&&&&\text{Nombre de cas déclarés }(y_i)&25&44&54&65&75&80&90&95\\&&&&&&&&\\ \hline \end{array}$

1. Représentons le nuage de points de la série $\overset{ { \white{ . } } } { (x_i\;;\;y_i) }$ dans un repère orthogonal $\overset{{\white{.}}}{{\white i} (O\,; \, \vec i \,, \vec j \,)\,.}$

2. Calculons les moyennes ${\white i} \overset{{\white{.}}}{\overline x} \text { et } \overline y \white i$ puis plaçons le point moyen G du nuage de points.

$\left\lbrace\begin{matrix}\overline{x}=\dfrac{1+2+3+4+5+6+7+8}{8}=\dfrac{36}{8}\\\\\overline{y}=\dfrac{25+44+54+65+75+80+90+95}{8}=\dfrac{528}{8}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}\overline{x}=4,5\\\\\overline{y}=66\end{matrix}\right.$

Les coordonnées du point moyen G sont donc : $\overset{{\white{.}}}{\boxed{G\,(4,5\,;\,66)}}$
Plaçons le point moyen G du nuage de points (voir graphique : question 1.)

3. On subdivise cette série statistique en deux sous-séries $\overset{ { \white{ . } } } { (S_1) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (S_2) }$ constituées respectivement par les quatre premiers points et les quatre derniers points du nuage de points $\overset{ { \white{ . } } } { (x_i\;;\;y_i). }$

3. a) Déterminons les coordonnées des points moyens $\overset{{\white{.}}}{G_1}$ et $\overset{{\white{.}}}{G_2}$ des séries statistiques $\overset{ { \white{ . } } } { (S_1) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (S_2) }$ respectivement.

${ \white{ xxi } }$ ${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}\overline{x}_1=\dfrac{1+2+3+4}{4}=\dfrac{10}{4}\\\\\overline{y}_1=\dfrac{25+44+54+65}{4}=\dfrac{188}{4}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}\overline{x}_1=2,5\\\\\overline{y}_1=47\end{matrix}\right.$
Les coordonnées du point moyen $\overset{{\white{.}}}{G_1}$ sont donc : $\overset{{\white{.}}}{\boxed{G_1\,(2,5\,;\,47)}}$
${ \white{ xxi } }$ ${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}\overline{x}_2=\dfrac{5+6+7+8}{4}=\dfrac{26}{4}\\\\\overline{y}_2=\dfrac{75+80+90+95}{4}=\dfrac{340}{4}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}\overline{x}_2=6,5\\\\\overline{y}_2=85\end{matrix}\right.$
Les coordonnées du point moyen $\overset{{\white{.}}}{G_2}$ sont donc : $\overset{{\white{.}}}{\boxed{G_2\,(6,5\,;\,85)}}$

3. b) Vérifions qu'une équation de la droite d'ajustement par la méthode de Mayer est : $\overset{ { \white{ . } } } { y=9,5x+23,25. }$

La droite de Mayer admet une équation de la forme $\overset{ { \white{ . } } } { y=ax+b. }$
Cette droite passe par les deux points moyens $\overset{{\white{.}}}{G_1\,(2,5\,;\,47)}$ et $\overset{{\white{.}}}{G_2\,(6,5\,;\,85).}$

Remplaçons y et x par les coordonnées des deux points.
Nous obtenons ainsi :
${ \white{ xxi } }$ ${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { (1)\;:\;47=a\times2,5+b} \\\overset{ { \white{ . } } } { (2)\;:\;85=a\times6,5+b}$

Pour déterminer la valeur de $''a''$ , il suffit de soustraire (1) de (2).

$85-47=6,5a-2,5a+b-b\quad\Longleftrightarrow\quad 38=4a \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{87-45=6,5a-2,5a+b-b}\quad\Longleftrightarrow\quad a=9,5}$

Pour déterminer la valeur de $''b''$ , il suffit de remplacer $''a''$ par 9,5 dans l'équation (1) .

$47=9,5\times2,5+b\quad\Longleftrightarrow\quad 47=23,75+b \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{47=9,5\times2,5+b}\quad\Longleftrightarrow\quad 47-23,75=b} \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{47=9,5\times2,5+b}\quad\Longleftrightarrow\quad b=23,25}$

Par conséquent, une équation de la droite d'ajustement par la méthode de Mayer est : $\overset{ { \white{ . } } } { y=9,5x+23,25. }$

3. c) Nous devons estimer à l'unité près, le nombre de cas déclarés à la semaine 15.
Dans l'équation de la droite de Mayer, remplaçons x par 15 et calculons la valeur de y .

$9,5\times15+23,25=165,75.$

Par conséquent, selon ce modèle, le nombre de cas déclarés à la semaine 15 est estimé à 166 cas.

4. Parmi les 25 cas déclarés la première semaine, il y a 15 hommes et 10 femmes. On choisit au hasard et simultanément 10 cas déclarés pour constituer le groupe sur lequel sera testé un traitement.
Nous devons déterminer la probabilité pour que six hommes exactement fassent partie de ce groupe.

Les choix des personnes sont équiprobables.
Le nombre de groupes de 10 personnes choisies parmi 25 s'élève à $\begin{pmatrix}25\\10\end{pmatrix}=3\,268\,760.$
Il y a $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{pmatrix}15\\6\end{pmatrix}=5\,005}$ groupes de 6 hommes parmi les 15 hommes et $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{pmatrix}10\\4\end{pmatrix}=210}$ groupes de 4 femmes parmi les 15 hommes.

La probabilité pour que six hommes exactement fassent partie de ce groupe est donc égale à $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{5\,005\times210}{3\,268\,760}\approx0,321.}$

5 points

exercice 3

On considère la fonction f définie sur $\overset{ { \white{ . } } } {]-\infty\;;\;-2[\,\cup\,]-2\;;\;+\infty[}$ par : $f(x)=\dfrac{x^2-x-8}{x+2}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {(C_f)}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O\;;\;\vec i , \vec j).$

1. Nous devons déterminer la limite de la fonction f en $\overset{ { \white{ . } } } {-\infty,\;+\infty,\;-2^-}$ et $-2^+.$

$\bullet\;\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x^2-x-8}{x+2}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x^2}{x}=\lim\limits_{x\to-\infty}x=-\infty \\\overset{ { \white{ . } } } { \bullet\; \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^2-x-8}{x+2}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^2}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty} \\\overset{ { \white{ . } } } { \bullet\;\left\lbrace\begin{matrix} \lim\limits_{x\to-2^-}(x^2-x-8)=4+2-8=-2\\ \lim\limits_{x\to-2^-}(x+2)=0^-\phantom{WWWWWWW} \end{matrix}\right.} \quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to-2^-}\dfrac{x^2-x-8}{x+2}=+\infty \\\overset{ { \white{ . } } } { \bullet\;\left\lbrace\begin{matrix} \lim\limits_{x\to-2^+}(x^2-x-8)=4+2-8=-2\\ \lim\limits_{x\to-2^+}(x+2)=0^+\phantom{WWWWWWW} \end{matrix}\right.} \quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to-2^+}\dfrac{x^2-x-8}{x+2}=-\infty$

En résumé, $\boxed{\begin{matrix} \bullet\;\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty \\\overset{ { \white{ . } } } { \bullet\; \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty} \\\overset{ { \white{ . } } } { \bullet\; \lim\limits_{x\to-2^-}f(x)=+\infty} \\\overset{ { \white{ . } } } { \bullet\; \lim\limits_{x\to-2^+}f(x)=-\infty} \end{matrix}}$

2. a) Déterminons l'expression algébrique de $\overset{ { \white{ . } } } {f'(x)}$ pour tout x dans l'ensemble $\overset{ { \white{ . } } } {]-\infty\;;\;-2[\,\cup\,]-2\;;\;+\infty[.}$

$f'(x)=\left(\dfrac{x^2-x-8}{x+2}\right)'=\dfrac{(x^2-x-8)'\times(x+2)-(x^2-x-8)\times(x+2)'}{(x+2)^2} \\\phantom{f'(x)=\left(\dfrac{x^2-x-8}{x+2}\right)'}=\dfrac{(2x-1)\times(x+2)-(x^2-x-8)\times1}{(x+2)^2} \\\phantom{f'(x)=\left(\dfrac{x^2-x-8}{x+2}\right)'}=\dfrac{(2x^2+4x-x-2)-(x^2-x-8)}{(x+2)^2} \\\phantom{f'(x)=\left(\dfrac{x^2-x-8}{x+2}\right)'}=\dfrac{2x^2+3x-2-x^2+x+8}{(x+2)^2} \\\phantom{f'(x)=\left(\dfrac{x^2-x-8}{x+2}\right)'}=\dfrac{x^2+4x+6}{(x+2)^2} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\, x\in\,]-\infty\;;\;-2\,[\;\cup\;]-2\;;\;+\infty[,\ f'(x)=\dfrac{x^2+4x+6}{(x+2)^2}}$

2. b) Montrons que $x^2+4x+6 > 0$ pour tout réel x .

Le discriminant du trinôme $x^2+4x+6$ est égal à $\overset{ { \white{ . } } } {\Delta=4^2-4\times1\times6=16-24=-8<0.}$

Puisque ce discriminant est strictement négatif, le trinôme est du signe du coefficient principal pour tout x réel.
Par conséquent, $x^2+4x+6 > 0$ pour tout réel x .

2. c) Nous venons de montrer que $x^2+4x+6 > 0$ pour tout réel x .
De plus, $(x+2)^2>0$ pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } {x \in\; ]-\infty\;;\;-2[\;\cup\;]-2\;;\;+\infty[.}$
Par conséquent, $f'(x)>0$ pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x \in\;]-\infty\;;\;-2[\;\cup\;]-2\;;\;+\infty[.}$

Nous en déduisons que la fonction f est strictement croissante sur $\overset{ { \white{ . } } } {]-\infty\;;\;-2[\cup]-2\;;\;+\infty[.}$

3. $f(0)=\dfrac{-8}{2}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{f(0=-4}$
D'où les coordonnées du point d'intersection de $\overset{ { \white{ . } } } {(C_f)}$ avec l'axe des ordonnées sont $\boxed{(0 ; 4).}$

4. Montrons que pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } {x \in ]-\infty\;;\;-2[\cup]-2\;;\;+\infty[, f(x)=x-3-\dfrac{2}{x+2}.}$

${ \white{ xxi } }$ $x-3-\dfrac{2}{x+2}=\dfrac{(x-3)(x+2)-2}{x+2} \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ x-3-\dfrac{2}{x+2}}=\dfrac{x^2+2x-3x-6-2}{x+2}} \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ x-3-\dfrac{2}{x+2}}=\dfrac{x^2-x-80}{x+2}} \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ x-3-\dfrac{2}{x+2}}=f(x)}$
Donc pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } {x \in ]-\infty\;;\;-2[\cup]-2\;;\;+\infty[, f(x)=x-3-\dfrac{2}{x+2}.}$

5. Soit F la fonction définie sur $\overset{ { \white{ . } } } {]-2\;;\;+\infty[}$ par ${F(x)=\dfrac{x^2}{2}-3x-2\ln(x+2).}$
Montrons que F est une primitive de f sur $\overset{ { \white{ . } } } {]-2\;;\;+\infty[.}$

F est dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } {]-2\;;\;+\infty[}$ (somme de fonctions dérivables sur $\overset{ { \white{ . } } } {]-2\;;\;+\infty[}$ ).

${ \white{ xxi } }$ $F\,'(x)=\left(\dfrac{x^2}{2}-3x-2\ln(x+2)\right)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'(x)}=\dfrac{1}{2}\times 2x-3-2\times \dfrac{1}{x+2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'(x)}=x-3-\dfrac{2}{x+2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'(x)}=f(x)} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\,]-2\;;\;+\infty[,\;F'(x)=f(x)}$

Par conséquent, F est une primitive de f sur $\overset{ { \white{ . } } } {]-2\;;\;+\infty[.}$

Partie B : Évaluation des compétences (5 points)

1. Déterminons le prix au $m^2$ de carreaux fleuris après la hausse.

Soit x le taux en pourcentage, de chaque hausse de prix.
Le prix initial du $m^2$ des carreaux vitrifiés est de 8 000 FCFA.
Après une double augmentation de x %, le prix du $m^2$ s'élève à 9 680 FCFA.

Nous obtenons alors la relation : $\overset{ { \white{ . } } } {9\,680=(1+\dfrac{x}{100})\times(1+\dfrac{x}{100})\times8\,000.}$
Résolvons cette équation.

$9\,680=8\,000\left(1+\dfrac{x}{100}\right)^2\quad\Longleftrightarrow\quad 9\,680=8\,000(1+\dfrac{2x}{100}+\dfrac{x^2}{10\,000}) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{9\,680=8\,000\left(1+\dfrac{x}{100}\right)^2}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{9\,680}{8\,000}=1+\dfrac{2x}{100}+\dfrac{x^2}{10\,000}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{9\,680=8\,000\left(1+\dfrac{x}{100}\right)^2}\quad\Longleftrightarrow\quad 1,21=1+\dfrac{2x}{100}+\dfrac{x^2}{10\,000}}$

${ \white{ WWWWWWWWWWW } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{9\,680=8\,000(1+\dfrac{x}{100})^2}\quad\Longleftrightarrow\quad 12\,100=10\,000+200x+x^2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{9\,680=8\,000(1+\dfrac{x}{100})^2}\quad\Longleftrightarrow\quad x^2+200x-2\,100=0}$

Résolvons l'équation $x^2+200x-2\,100=0.$

Discriminant de $\overset{ { \white{ . } } } {x^2+200x-2\,100 : \Delta=200^2-4\times1\times(-2\,100)=40\,000+8\,400=48\,400>0}$
Solutions de l'équation :

${ \white{ xxi } }$ ${ \white{ xxi } }$ $\bullet\;x_1=\dfrac{-200-\sqrt{48\,400}}{2}=\dfrac{-200-220}{2}=-210 \\\\\bullet\;x_2=\dfrac{-200+\sqrt{48\,400}}{2}=\dfrac{-200+220}{2}=10$

Puisque $\overset{ { \white{ . } } } { x>0,}$ la seule valeur acceptable est $\overset{ { \white{ . } } } { x = 10.}$

Le taux d'augmentation des tarifs est identique lors de chaque augmentation et ce, pour chaque modèle de carrelage.
Le prix initial du $m^2$ des carreaux fleuris est de 6 000 FCFA.
Après une augmentation de 10 %, le prix en FCFA sera égal à $\overset{ { \white{ . } } } { 6\,000\times(1+\dfrac{10}{100})=6\,000\times(1+0,10)=6\,000\times1,1=6\,600.}$
D'où le prix au $m^2$ de carreaux fleuris après la hausse s'élèvera à 6 600 FCFA.

2. Déterminons le prix d'achat du $m^2$ de carreaux de chaque modèle après la négociation avec le vendeur.

Soient x et y les prix d'achat du $m^2$ respectivement de carreaux vitrifiés et des carreaux fleuris.
Lors du premier achat, ETAH a acheté 30 $m^2$ de carreaux vitrifiés et 20 $m^2$ de carreaux fleuris pour une dépense totale de 41 5000 FCFA.

Nous obtenons donc la relation $\overset{ { \white{ . } } } { 30x+20y=41\,5000.}$

Lors du second achat, ETAH a acheté 25 $m^2$ de carreaux vitrifiés et 12 $m^2$ de carreaux fleuris pour une dépense totale de 315 500 FCFA.

Nous obtenons donc la relation $\overset{ { \white{ . } } } { 25x+12y=315\,500.}$

Le couple $\overset{ { \white{ . } } } { (x\;;\;y)}$ est la solution du système $\left\lbrace\begin{matrix}30x+20y=415\,000\\25x+12y=315\,500\end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix}30x+20y=415\,000\\25x+12y=315\,500\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}90x+60y=1\,245\,000\quad\;(1)\\125x+60y=1\,577\,500\quad(2)\end{matrix}\right. \\\\\overset{ { \white{ . } } } { (2)-(1): 35x =332\,500\quad\Longrightarrow\quad x=9\,500}$

$\\\\\left\lbrace\begin{matrix}x=9\,500\phantom{WWWW}\\30x+20y=415\,000\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=9\,500\phantom{W<<<WWW}\\30\times9\,500+20y=415\,000\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWW<<W}\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=9\,500\phantom{W<WWW}\\285\,000+20y=415\,000\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWW<<W}\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=9\,500\phantom{W}\\20y=130\,000\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWW<<W}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x=9\,500\\y=6\,500\end{matrix}\right.}$

En conséquence, le $m^2$ de carreaux vitrifiés coûte 9 500 FCFA et le $m^2$ de carreaux fleuris coûte 6 500 FCFA.

3. Soient x, y et z respectivement les nombres d'interrupteurs, de prises et d'ampoules économiques.
Le devis de l'électricien compte 50 pièces de matériel.

Nous obtenons ainsi la relation $\overset{ { \white{ . } } } { x+y+z=50.}$

Le premier devis propose un montant total de 45 500 FCFA pour tout le matériel à 1 000 FCFA par interrupteur, 800 FCFA par prise et 900 FCFA par ampoule économique.
Nous obtenons ainsi la relation $\overset{ { \white{ . } } } { 1\,000x+800y+900z=45\,500.}$

Le deuxième devis propose un montant total de 42 500 FCFA pour tout le matériel à 1 000 FCFA par interrupteur, 700 FCFA par prise et 800 FCFA par ampoule économique.
Nous obtenons la relation $\overset{ { \white{ . } } } { 1\,000x+700y+800z=42\,500.}$

Déterminons x, y et z en résolvant le système : $\left\lbrace\begin{matrix}x+y+z=50\\1\,000x+800y+900z=455\,00\\1\,000x+700y+800z=42\,500\end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix}x+y+z=50\\1\,000x+800y+900z=45\,500\\1\,000x+700y+800z=42\,500\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}10x+10y+10z=500\quad(1)\\10x+8y+9z=455\quad(2)\\10x+7y+8z=425\quad(3)\end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix}(1)-(2) : 2y+z=45\quad(3)\\ (2)-(3):y+z=30\quad(4)\;\end{matrix}\right.$

$(3)-(4):\boxed{y=15}$

$\left\lbrace\begin{matrix}y=15\\y+z=30\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad15+z=30\quad\Longrightarrow\quad \boxed{z=15}$

$\left\lbrace\begin{matrix}y=15\\z=15\\x+y+z=50\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad x+15+15=50\quad\Longrightarrow\quad \boxed{x=20}$

Par conséquent, le devis de l'électricien comprend 20 interrupteurs, 15 prises et 15 ampoules économiques.

Publié par malou/Panter le 29-10-2023

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