b) L'écriture complexe de la symétrie centrale de centre qu'on note est:
Or:
Conclusion:
3-a) On calcule le module de
Donc:
La forme trigonométrique de
b) En remarquant que
L'ensemble des solutions de l'équation
exercice 2
1) L'équation cartésienne de dans le repère est:
Soit , donc l'équation cartésienne de dans le repère s'écrit:
2) On reconnaît une équation réduite d'une hyperbole, donc:
Calculons l'excentricité
3) Dans le repère , les sommets de l'hyperbole qu'on note ont pour coordonnées:
4) Dans le repère , les équations cartésiennes des asymptotes à l'hyperbole qu'on note sont:
5) La figure:
Rappel:
Cliquez pour afficher
Une hyperbole d'équation où admet:
Deux sommets de coordonnées
Excentricité:
Deux asymptotes d'équations:
probleme
1-a)
Rappel
Soit On appelle équation caractéristique de l'équation du second degré . Notons son dicriminent .
L'équation caractéristique admet deux solutions réelles distinctes . Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions de la forme :
L'équation caractéristique admet une solution réelle . Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions de la forme :
L'équation caractéristique admet deux solutions complexes conjuguées, que l'on note . Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions de la forme :
sont des constantes réelles quelconques
Soit l'équation différentielle , son équation caractéristique s'écrit .
Sans calculer le discriminent, on s'aperçoit que
L'équation caractéristique admet donc une solutions double .
Donc:
b) La fonction est définie sur comme solution de l'équation différentielle qui vérifie et .
Donc il existe deux constantes réelles telles que, pour tout réel positif
Déterminons ces deux constantes
est clairement dérivable sur comme solution d'une équation différentielle de deuxième ordre, donc:
Il s'ensuit alors:
On conclut alors que:
2) D'après la figure:
La courbe représentative de la fonction est au-dessus de l'axe des abscisses sur .
Donc:
3) Calcul des limites:
En effet:
Conclusion:
4-a) Etude de la dérivabilité de la fonction en
On a
est dérivable à gauche en avec
En effet:
est dérivable à droite en avec
On en déduit que est dérivable à gauche et à droite en , avec
Donc:
Supplément: Interprétation graphique du résultat
b) La fonction est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle, alors:
La fonction est dérivable sur comme produit de fonctions dérivables sur cet intervalle, alors:
c) Etudions le signe de
Sur :
On a pour tout . Donc
Sur :
Directement d'après 2) :
On en déduit que:
Et on dresse le tableau de variations de la fonction
5) La fonction est continue et strictement croissante sur .
De plus:
Donc , d'où
Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I.) sur :
D'autre part, la fonction est continue et strictement décroissante sur .
De plus:
Donc , d'où
On en tire que:
On obtient à partir de
Encadrement de la solution unique de l'équation dans
On calcule:
D'où:
6-a)
Puisque , on doit calculer
On obtient:
On a
Donc:
b) Le graphique:
7-a) La fonction est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle, donc:
On en déduit que:
b) Calculons à l'aide d'une intégration par parties:
Posons
Donc:
Il s'ensuit que:
c) Puisque est l'unique solution de l'équation et que
Alors:
d) Calculons
e) L'aire du domaine du plan délimité par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations , qu'on note , s'écrit en unité d'aire :
Or, puisque pour tout réel appartenant à (En effet, la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses sur cet intervalle)
Donc:
On obtient:
On nous donne la valeur approchée:
Donc:
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tel que: ![P(z)=(z-z_0)[z^2-(1+5i)z-8+i]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P(z)=(z-z_0)[z^2-(1+5i)z-8+i])
![\begin{matrix} P(z)=(z-z_0)[z^2-(1+5i)z-8+i] &\iff& P(z)=z^3-(1+5i)z^2-(8-i)z-z_0z^2+(1+5i)z_0z+(8-i)z_0 \\\\&\iff& P(z)=z^3-(1+5i+z_0)z^2-(8-i-(1+5i)z_0)z+(8-i)z_0 \\\\&\iff& z^3-(2+6i)z^2-(12-7i)z+9+7i = z^3-(1+5i+z_0)z^2-(8-i-(1+5i)z_0)z+(8-i)z_0 \\\\&\iff& \begin{cases} 2+6i=1+5i+z_0 \\12-7i=8-i-(1+5i)z_0 \\9+7i =(8-i)z_0\end{cases} \\\\&\iff& z_0=2-1+6i-5i=1+i\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix} P(z)=(z-z_0)[z^2-(1+5i)z-8+i] &\iff& P(z)=z^3-(1+5i)z^2-(8-i)z-z_0z^2+(1+5i)z_0z+(8-i)z_0 \\\\&\iff& P(z)=z^3-(1+5i+z_0)z^2-(8-i-(1+5i)z_0)z+(8-i)z_0 \\\\&\iff& z^3-(2+6i)z^2-(12-7i)z+9+7i = z^3-(1+5i+z_0)z^2-(8-i-(1+5i)z_0)z+(8-i)z_0 \\\\&\iff& \begin{cases} 2+6i=1+5i+z_0 \\12-7i=8-i-(1+5i)z_0 \\9+7i =(8-i)z_0\end{cases} \\\\&\iff& z_0=2-1+6i-5i=1+i\end{matrix})
z_0=8-i-(1+5i)(1+i)=8-i-1-i-5i+5=12-7i)
z_0=(8-i)(1+i)=8-i+8i+1=9+7i)
![\boxed{z_0=1+i\enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip P(z)=(z-(1+i))[z^2-(1+5i)z-8+i]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{z_0=1+i\enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip P(z)=(z-(1+i))[z^2-(1+5i)z-8+i]})
^2=3^2+2\times 3i+i^2 = 9+6i-1=8+6i)
^2=8+6i})
z-8+i=0)
![\Delta= [-(1+5i)]^2-4(-8+i)=1+10i-25+32-4i=8+6i\underbrace{=}_{\text{d'après 1-b)}} (3+i)^2 \neq 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\Delta= [-(1+5i)]^2-4(-8+i)=1+10i-25+32-4i=8+6i\underbrace{=}_{\text{d'après 1-b)}} (3+i)^2 \neq 0 )
}{2} = \dfrac{-2+4i}{2}=-1+2i )
}{2} = \dfrac{4+6i}{2}=2+3i )
=0\text{ : })
![\begin{matrix}P(z)=0&\iff& (z-(1+i))[z^2-(1+5i)z-8+i]=0 \\&\iff& z-(1+i)=0 \enskip\enskip \text{ ou }\enskip\enskip z^2-(1+5i)z-8+i=0\\&\iff& z=1+i\enskip\enskip\text{ ou } \enskip\enskip z=-1+2i\enskip\enskip\text{ ou }\enskip\enskip z=2+3i \end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix}P(z)=0&\iff& (z-(1+i))[z^2-(1+5i)z-8+i]=0 \\&\iff& z-(1+i)=0 \enskip\enskip \text{ ou }\enskip\enskip z^2-(1+5i)z-8+i=0\\&\iff& z=1+i\enskip\enskip\text{ ou } \enskip\enskip z=-1+2i\enskip\enskip\text{ ou }\enskip\enskip z=2+3i \end{matrix} )
=0\text{ est: }S=\lbrace 1+i\text{ ; }-1+2i\text{ ; }2+3i\rbrace } )
}{2+3i-(1+i)}&=& \dfrac{-2+i}{1+2i}\\\\&=& \dfrac{2i^2+i}{1+2i}&=& \dfrac{i(2i+1)}{1+2i}\\\\&=& i\end{matrix})
![\arg\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)=\arg(i)\Longrightarrow \boxed{(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})\equiv \dfrac{\pi}{2}\enskip[2\pi]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\arg\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)=\arg(i)\Longrightarrow \boxed{(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})\equiv \dfrac{\pi}{2}\enskip[2\pi]})
qu'on note 
est:
=D\text{ , donc : }\begin{matrix} z_D&=&-z_B+2+2i&=& -2-3i+2+2i&=&-i\end{matrix})
=E\text{ , donc : }\begin{matrix} z_E&=&-z_C+2+2i&=& 1-2i+2+2i&=&3\end{matrix})
=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt{2}\left(\cos \dfrac{\pi }4 +i\sin \dfrac{\pi} 4 \right))
})
=\sqrt{3} &\iff& \dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos x+\sin x \right)=\dfrac{\sqrt{3} }{2} \\&\iff& \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos x+ \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin x =\dfrac{\sqrt{3} }{2} \\&\iff& \cos \dfrac{\pi}{4} \cos x+ \sin \dfrac{\pi}{4} \sin x =\dfrac{\sqrt{3} }{2} \\&\iff& \cos\left(x- \dfrac{\pi}{4} \right) =\dfrac{\sqrt{3} }{2}\\&\iff& \cos\left(x- \dfrac{\pi}{4} \right) =\cos \dfrac{\pi }{6} \\&\iff& \begin{cases}x-\dfrac{\pi}{4} =\dfrac{\pi}{6}+2k\pi \text{ / }k\in\Z \\ x-\dfrac{\pi}{4} =-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi \text{ / }k\in\Z \end{cases} \\&\iff& \begin{cases}x =\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6}+2k\pi \text{ / }k\in\Z \\ x=-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{4}+2k\pi \text{ / }k\in\Z \end{cases} \\&\iff& \begin{cases}x =\dfrac{10\pi}{24}+2k\pi \text{ / }k\in\Z \\ x=\dfrac{2\pi}{24}+2k\pi \text{ / }k\in\Z \end{cases} \\&\iff& \begin{cases}x =\dfrac{5\pi}{12}+2k\pi \text{ / }k\in\Z \\ x=\dfrac{\pi}{12}+2k\pi \text{ / }k\in\Z \end{cases} \end{matrix})
\text{ est : })
)
dans le repère )
est:
\text{ : }x^2-y^2-4x+2y+2=0)
)
, donc l'équation cartésienne de )
s'écrit:
\text{ : }(x+\blue 2\black)^2-(y+\red 1\black)^2-4(x+\blue 2\black)+2(y+\red 1\black)+2=0 \\&\iff & x^2+4x+4-(y^2+2y+1)-4x-8+2y+2+2=0 \\&\iff & x^2+4x+4-y^2-2y-1-4x-8+2y+2+2=0 \\&\iff & x^2-y^2-1=0\\&\iff& \boxed{(\Gamma)\text{ : }x^2-y^2=1}\end{matrix})
\text{ : }x^2-y^2=1)
d'une hyperbole, donc:
 \text{ est une hyperbole }})
ont pour coordonnées:
\enskip\text{ et }\enskip S_2(1;0)})
\text{ et }(d_2))
sont:
\text{ : }y=-x\enskip\text{ et }\enskip (d_2)\text{ : }y=x})
Cliquez pour afficher
, son équation caractéristique s'écrit 
.
^2=0 \iff r=-1)
.
e^{-x}\enskip\text{ , où } A;B\in\R})
est définie sur 
comme solution de l'équation différentielle =0)
et =1)
.
telles que, pour tout réel positif =(Ax+B)e^{-x})
comme solution d'une équation différentielle de deuxième ordre, donc:
![\begin{matrix}\forall x\in \R^+\text{ : }u'(x)&=&\left[(Ax+B)e^{-x}\right]'\\\\&=& (Ax+B)'e^{-x}+(Ax+B)\left(e^{-x}\right)'\\\\&=& Ae^{-x}-(Ax+B)e^{-x}\\\\&=&(-Ax+A-B)e^{-x}\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix}\forall x\in \R^+\text{ : }u'(x)&=&\left[(Ax+B)e^{-x}\right]'\\\\&=& (Ax+B)'e^{-x}+(Ax+B)\left(e^{-x}\right)'\\\\&=& Ae^{-x}-(Ax+B)e^{-x}\\\\&=&(-Ax+A-B)e^{-x}\end{matrix})
=1\\u'(0)=0\end{cases} &\iff& \begin{cases} (A\times 0 +B)e^{-0} = 1 \\ (-A\times 0 +A-B)e^{-0}=0 \end{cases} \\&\iff& \begin{cases}B=1 \\A-B=0 \end{cases} \\\\&\iff& \begin{cases}B=1 \\A=B=1 \end{cases}\end{matrix} )
=(x+1)e^{-x}})
 )
représentative de la fonction 
est au-dessus de l'axe des abscisses sur ![]-\infty;0[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-\infty;0[)
.
![\boxed{\begin{matrix} \forall x\in ]-\infty;0[\text{ : }g(x)>0\end{matrix}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\begin{matrix} \forall x\in ]-\infty;0[\text{ : }g(x)>0\end{matrix}})
=\displaystyle\lim_{x\to-\infty} x\ln(1-x)+1 = (-\infty) \times (+\infty)+1=-\infty)
&=&\displaystyle\lim_{x\to+\infty} u(x)&=&\displaystyle\lim_{x\to+\infty} (x+1)e^{-x} \\\\& =&\displaystyle\lim_{x\to+\infty} xe^{-x}+e^{-x}&\underbrace{=}_{X=-x}& \displaystyle\lim_{X\to-\infty} -Xe^{X}+e^{X}\\\\&=&-0+0&=&0\end{matrix})
=-\infty \enskip\enskip\text{ ; }\enskip\enskip \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) =0})
en 
=u(0)=1)
-f(0)}{x-0}= \displaystyle\lim_{x\to 0^-}\dfrac{x\ln(1-x)+1-1}{x} =\displaystyle\lim_{x\to 0^-}\dfrac{x\ln (1-x)}{x}=\displaystyle\lim_{x\to 0^-}\ln(1-x)=\ln 1=0)
avec =0)
-f(0)}{x-0}&=& \displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{(x+1)e^{-x}-1}{x}&=&\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{xe^{-x}+e^{-x}-1}{x}\\\\&=&\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{xe^{-x}}{x}+\dfrac{e^{-x}-1}{x}&\underbrace{=}_{X=-x}&\displaystyle\lim_{X\to 0^-}e^{X}-\dfrac{e^{X}-1}{X}\\\\&=&1-1&=&0\end{matrix})
=0)
=f'_d(0)=0)
=0 })
 \text{ admet une tangente horizontale au point }J(0;1)} )
![]-\infty;0 [](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-\infty;0 [)
comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle, alors:
![\begin{matrix} \forall x\in ]-\infty;0[\text{ : }f'(x)&=& \left[x\ln(1-x)+1\right]'&=& x'\ln(1-x)+x\left(\ln(1-x)\right)' \\\\&=& \ln(1-x)+x\times \dfrac{(1-x)'}{1-x}&=& \ln(1-x)+x\times \dfrac{-1}{1-x} \\\\&=& \ln(1-x)+x\times \dfrac{1}{x-1}&=& \ln(1-x)+ \dfrac{x}{x-1} \\\\&=& g(x)\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix} \forall x\in ]-\infty;0[\text{ : }f'(x)&=& \left[x\ln(1-x)+1\right]'&=& x'\ln(1-x)+x\left(\ln(1-x)\right)' \\\\&=& \ln(1-x)+x\times \dfrac{(1-x)'}{1-x}&=& \ln(1-x)+x\times \dfrac{-1}{1-x} \\\\&=& \ln(1-x)+x\times \dfrac{1}{x-1}&=& \ln(1-x)+ \dfrac{x}{x-1} \\\\&=& g(x)\end{matrix})
![\boxed{\forall x\in ]-\infty;0[\text{ : }f'(x)=g(x) }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\forall x\in ]-\infty;0[\text{ : }f'(x)=g(x) })
comme produit de fonctions dérivables sur cet intervalle, alors:
![\begin{matrix} \forall x\in [0;+\infty[\text{ : }f'(x)&=& \left[(x-1)e^{-x}\right]'&=& (x+1)'e^{-x}+(x+1)\left(e^{-x}\right)' \\\\&=& e^{-x}-(x+1)e^{-x}&=& (1-x-1)e^{-x} \\\\&=& -xe^{-x}\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix} \forall x\in [0;+\infty[\text{ : }f'(x)&=& \left[(x-1)e^{-x}\right]'&=& (x+1)'e^{-x}+(x+1)\left(e^{-x}\right)' \\\\&=& e^{-x}-(x+1)e^{-x}&=& (1-x-1)e^{-x} \\\\&=& -xe^{-x}\end{matrix})
=-xe^{x} })
\text{ : })
:
. Donc =-xe^x\leq 0)
![\forall x\in ]-\infty;0[\text{ : }f'(x)=g(x)\geq 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in ]-\infty;0[\text{ : }f'(x)=g(x)\geq 0)
![\boxed{ \begin{matrix} \bullet & f \text{ est strictement croissante sur }]-\infty;0[ \\ \bullet & f \text{ admet un maximum au point }J(0;1) \\ \bullet & f\text{ est strictement décroissante sur }]0;+\infty[ \end{matrix} }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{ \begin{matrix} \bullet & f \text{ est strictement croissante sur }]-\infty;0[ \\ \bullet & f \text{ admet un maximum au point }J(0;1) \\ \bullet & f\text{ est strictement décroissante sur }]0;+\infty[ \end{matrix} })
 & & + & \barre{0} &-& \\ \hline & &&f(0)=1&& \\ f & &\nearrow&&\searrow& \\ & -\infty&&&&0 \\ \hline \end{array}} )
![]-\infty; 0]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-\infty; 0])
.
= -\infty \text{ et }f(0)=1)
![f(]-\infty;0])=]-\infty;1]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f(]-\infty;0])=]-\infty;1])
, d'où ![0\in f(]-\infty;0])](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?0\in f(]-\infty;0]))
![]-\infty;0]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-\infty;0])
:
![\text{L'équation }f(x)=0\text{ admet une solution unique notée }\alpha\text{ sur }]-\infty;0]\enskip \enskip (a)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{L'équation }f(x)=0\text{ admet une solution unique notée }\alpha\text{ sur }]-\infty;0]\enskip \enskip (a))
= 0 \text{ et }f(0)=1)
![f([0;+\infty[)=]0;1]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f([0;+\infty[)=]0;1])
, d'où ![0\notin f(]-\infty;0])](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?0\notin f(]-\infty;0]))
=0\text{ n'admet aucune solution sur }[0;+\infty[\enskip \enskip (b))
 \text{ et }(b)\text{ : })
=0\text{ admet dans }\R\text{ une solution unique notée }\alpha})
de l'équation =0)
dans 
=-1,3 \ln(1+1,3)+1\approx -0,08<0 \enskip\text{ et }\enskip f(-1,2)=-1,2 \ln(1+1,2)+1\approx 0,05>0)
=-\infty)
, on doit calculer }{x}\text{ : })
}{x}=\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \dfrac{x\ln(1-x)-1 }{x}=\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \ln(1-x)-\dfrac{1 }{x}=+\infty-0=+\infty)
\text{ admet une branche parabolique de la direction celle }\\\text{de l'axe des ordonnées au voisinage de }-\infty\end{matrix} })
=0)
\text{ au voisinage de }+\infty})
est dérivable sur ![\begin{matrix} \forall x\in ]-\infty;0[\text{ : }h'(x)&=& \left(\dfrac{x^2-1}{2} \ln(1-x)-\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{1}{2}x\right)' \\&=&\left(\dfrac{x^2-1}{2}\right)' \ln(1-x) + \dfrac{x^2-1}{2} \left(\ln(1-x) \right)'-\dfrac{2}{4}x+\dfrac{1}{2} \\&=& \dfrac{2x}{2}\ln(1-x)+\dfrac{x^2-1}{2} \dfrac{(1-x)'}{1-x}-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2} \\&=& x\ln(1-x)+\dfrac{(x-1)(x+1)}{2}\times \dfrac{-1}{1-x}-\dfrac{1}{2}(x-1) \\&=& x\ln(1-x)+\dfrac{(x-1)(x+1)}{2}\times \dfrac{1}{x-1}-\dfrac{x-1}{2}\\&=& x\ln(1-x)+\dfrac{x+1}{2}-\dfrac{x-1}{2}\\&=& x\ln(1-x)+\dfrac{x+1-x+1}{2}\\&=&x\ln(1-x)+1 \\&=& f(x)\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix} \forall x\in ]-\infty;0[\text{ : }h'(x)&=& \left(\dfrac{x^2-1}{2} \ln(1-x)-\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{1}{2}x\right)' \\&=&\left(\dfrac{x^2-1}{2}\right)' \ln(1-x) + \dfrac{x^2-1}{2} \left(\ln(1-x) \right)'-\dfrac{2}{4}x+\dfrac{1}{2} \\&=& \dfrac{2x}{2}\ln(1-x)+\dfrac{x^2-1}{2} \dfrac{(1-x)'}{1-x}-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2} \\&=& x\ln(1-x)+\dfrac{(x-1)(x+1)}{2}\times \dfrac{-1}{1-x}-\dfrac{1}{2}(x-1) \\&=& x\ln(1-x)+\dfrac{(x-1)(x+1)}{2}\times \dfrac{1}{x-1}-\dfrac{x-1}{2}\\&=& x\ln(1-x)+\dfrac{x+1}{2}-\dfrac{x-1}{2}\\&=& x\ln(1-x)+\dfrac{x+1-x+1}{2}\\&=&x\ln(1-x)+1 \\&=& f(x)\end{matrix})
![\boxed{\text{La fonction }h\text{ est une primitive de }f\text{ sur }]-\infty;0[ }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\text{La fonction }h\text{ est une primitive de }f\text{ sur }]-\infty;0[ })
e^{-x} \text{ d}x)
à l'aide d'une intégration par parties:
=x+1 \\v'(x)=e^{-x} \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} u'(x)=1 \\v(x)=-e^{-x}\end{cases})
![\begin{matrix}\displaystyle\int_0^{3} (x+1)e^{-x} \text{ d}x &=& \displaystyle\left[-(x+1)e^{-x}\right]_0^{3} -\int_0^{3} \left(-e^{-x}\right) \text{ d}x \\\\&=& \displaystyle\left[-(x+1)e^{-x}\right]_0^{3} -\left[e^{-x}\right]_0^{3} \\\\&=& \displaystyle -4e^{-3}+e^{0} -e^{-3}+e^0 \\\\&=& -5e^{-3}+2 \end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix}\displaystyle\int_0^{3} (x+1)e^{-x} \text{ d}x &=& \displaystyle\left[-(x+1)e^{-x}\right]_0^{3} -\int_0^{3} \left(-e^{-x}\right) \text{ d}x \\\\&=& \displaystyle\left[-(x+1)e^{-x}\right]_0^{3} -\left[e^{-x}\right]_0^{3} \\\\&=& \displaystyle -4e^{-3}+e^{0} -e^{-3}+e^0 \\\\&=& -5e^{-3}+2 \end{matrix})
e^{-x} \text{ d}x=2-5e^{-3}})
![\alpha\in ]-\infty;0[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha\in ]-\infty;0[ )
=0 &\iff& \alpha\ln (1-\alpha)+1=0 \\&\iff& \alpha\ln(1-\alpha)=-1\\&\iff& \boxed{\ln(1-\alpha)=-\dfrac{1}{\alpha}}\end{matrix})
 \text{ d}x\text{ :})
![\begin{matrix} \displaystyle\int_{\alpha}^{3} f(x) \text{ d}x&=& \displaystyle\int_{\alpha}^{0} f(x) \text{ d}x+\displaystyle\int_{0}^{3} f(x) \text{ d}x \\&=& \left[h(x)\right]_\alpha^0 + \displaystyle\int_{0}^{3} (x+1)e^{-x} \text{ d}x \\&=& h(0)-h(\alpha)+2-5e^{-3}\\&=& \dfrac{0^2-1}{2} \ln(1-0)-\dfrac{1}{4}\times 0^2+\dfrac{1}{2}\times 0-\left(\dfrac{\alpha^2-1}{2} \underbrace{\ln(1-\alpha)}_{=-\frac{1}{\alpha}}-\dfrac{1}{4}\alpha^2+\dfrac{1}{2}\alpha\right)+2-5e^{-3}\\&=& -\left(\dfrac{\alpha^2-1}{-2\alpha} -\dfrac{1}{4}\alpha^2+\dfrac{1}{2}\alpha\right)+2-5e^{-3}\\&=& \dfrac{\alpha^2-1}{2\alpha} +\dfrac{1}{4}\alpha^2-\dfrac{1}{2}\alpha+2-5e^{-3}\\&=& \dfrac{\alpha}{2}-\dfrac{1}{2\alpha} +\dfrac{1}{4}\alpha^2-\dfrac{1}{2}\alpha+2-5e^{-3}\\&=& \boxed{\dfrac{1}{4}\alpha^2-\dfrac{1}{2\alpha}-5e^{-3}+2}\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix} \displaystyle\int_{\alpha}^{3} f(x) \text{ d}x&=& \displaystyle\int_{\alpha}^{0} f(x) \text{ d}x+\displaystyle\int_{0}^{3} f(x) \text{ d}x \\&=& \left[h(x)\right]_\alpha^0 + \displaystyle\int_{0}^{3} (x+1)e^{-x} \text{ d}x \\&=& h(0)-h(\alpha)+2-5e^{-3}\\&=& \dfrac{0^2-1}{2} \ln(1-0)-\dfrac{1}{4}\times 0^2+\dfrac{1}{2}\times 0-\left(\dfrac{\alpha^2-1}{2} \underbrace{\ln(1-\alpha)}_{=-\frac{1}{\alpha}}-\dfrac{1}{4}\alpha^2+\dfrac{1}{2}\alpha\right)+2-5e^{-3}\\&=& -\left(\dfrac{\alpha^2-1}{-2\alpha} -\dfrac{1}{4}\alpha^2+\dfrac{1}{2}\alpha\right)+2-5e^{-3}\\&=& \dfrac{\alpha^2-1}{2\alpha} +\dfrac{1}{4}\alpha^2-\dfrac{1}{2}\alpha+2-5e^{-3}\\&=& \dfrac{\alpha}{2}-\dfrac{1}{2\alpha} +\dfrac{1}{4}\alpha^2-\dfrac{1}{2}\alpha+2-5e^{-3}\\&=& \boxed{\dfrac{1}{4}\alpha^2-\dfrac{1}{2\alpha}-5e^{-3}+2}\end{matrix})
)
du plan délimité par la courbe )
, l'axe des abscisses et les droites d'équations 
, qu'on note )
:
\right|\text{ d}x)
appartenant à ![[\alpha; 3] \text{ : }f(x)\geq 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[\alpha; 3] \text{ : }f(x)\geq 0)
(En effet, la courbe ![\forall x\in [\alpha;3]\text{ : }|f(x)|=f(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in [\alpha;3]\text{ : }|f(x)|=f(x))
\text{ d}x=\dfrac{1}{4}\alpha^2-\dfrac{1}{2\alpha}-5e^{-3}+2\enskip\enskip(UA))
^2-\dfrac{1}{2\times (-1,25)}-5e^{-3}+2 \enskip\Longrightarrow\enskip \boxed{A=2,54\enskip (UA) })
Publié par malou/Panter
le
 : ay''+by'+cy=0 \text{ , }a,b,c\in\R \text{ avec }a\neq 0)
)
l'équation du second degré 
. Notons 
son dicriminent .
L'équation caractéristique admet deux solutions réelles distinctes 
. Les solutions de l'équation différentielle 
L'équation caractéristique admet une solution réelle 
. Les solutions de l'équation différentielle \text{ e }^{\alpha x})
L'équation caractéristique admet deux solutions complexes conjuguées, que l'on note )
. Les solutions de l'équation différentielle  )
sont des constantes réelles quelconques 
Voir la correction
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