2) Soient respectivement le nombre de sacs de haricot et le nombre de sacs de maïs chargés dans le camion des marchandises.
Pusique ce camion transporte en total sacs, alors:
De plus, un sac de haricot pèse kg, alors sacs de haricot pèsent kg .
De même, un sac de maïs pèse kg, alors sacs de maïs pèsent kg .
La charge totale du camion s'élève donc à , qui est égal à kg, la charge totale du camion selon le pesage routier, on obtient:
On déduit de
3) Puisque vérifient le système et que la seule solution de ce système est .
Alors , ou encore:
exercice 2
1-a) La couturière prend au hasard et simultanément 5 boutons parmi les 27 boutons dans a boîte, donc le nombre de prises possibles est :
b) Pour obtenir exactement 3 boutons rouges, il faut les prendre parmi les 12 boutons rouges qui se trouvent dans la boîte, les deux boutons restants doivent être pris des boutons restants dans la boîte , donc le nombre de prises possibles est :
2-a) L'effectif total noté est la somme de tous les effectifs , alors :
On calcule alors la moyenne de cette série statistique :
Donc :
b-i) Complétons le tableau par la ligne des effectifs cumulés croissants:
ii) La classe médiane est par définition la classe correspondant à la première fois où l'effectif cumulé croissant est supérieur ou égal à la moitié de l'effectif total .
La moitié de l'éffectif total est , on remarque que la première fois que l'effectif cumulé dépasse se trouve à la modalité .
Ainsi:
c) L'histogramme:
exercice 3
1-a) La fonction est dérivable sur car elle est une fonction polynomiale.
On a pour tout appartenant à
b) Étudions de signe de
On dresse le tableau de signes:
On en déduit alors que:
On en tire que:
Et on dresse le tableau des variations de la fonction
On calcule pour cela les images suivantes:
2) Une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse est par définition:
Or,
On remplace dans l'équation de
Conclusion:
3) La figure: On rappelle que n'est définie que sur , alors on ne trace le graphique que sur cet intervalle.
Partie B
1) Notons la longueur du petit côté de l'angle droit, et notons la longueur du grand côté de l'angle droit (Voir la figure ci-dessous)
Talor doit placer du fil barbelé tout au long du petit côté, la longueur du fil barbelé est donc , qu'on doit calculer.
Puisque le jardin a une forme de triangle rectangle, alors son aire est:
De plus, la somme des mesures des deux côtés de l'angle droit est
On obtient le système :
On résoud l'équation
Calculons le discriminent
L'équation admet deux solutions:
On poursuit la résolution du système:
Finalement, est la mesure du petit côté de l'angle droit, donc .
Il s'ensuit que la seule solution possible est:
Conclusion:
2)
Calculons le taux de hausse des fruits et légumes, qu'on note (en pourcentage).
Notons respectivement le premier et deuxième prix de hausse d'un seau de carottes dont le prix initial était .
Donc:
Résolvons cette équation de second degré, pour cela, calculons son discriminant:
L'équation admet deux solutions:
Or, , donc le taux d'augmentation recherché est
Calculons à présent le prix de vente d'un cageot de tomates qui coutait
On a le prix de vente après la première hausse:
Donc le prix de vente actuel (après la deuxième hausse) est:
3) Etudions les variations de la fonction pour déterminer le rang de l'année pour lequel la production des tomates sera maximale.
La fonction est dérivable sur comme fonction polynomiale dérivable sur , et donc aussi sur
Étudions le signe de
On dresse le tableau de signes:
On en déduit alors que:
On en tire que:
Et on dresse le tableau des variations de la fonction
On calcule pour cela les images suivantes:
On en déduit que la fonction admet un maximum en qui est
Conclusion:
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)
dans 
\text{ : }\begin{cases} 14x+8y=222\\x+y=21\end{cases} &\iff& \begin{cases} 14x+8y=222\\8x+8y=168\end{cases} \\&\iff& \begin{cases} 14x+8y-(8x+8y)=222-168\\x+y=21\end{cases} \\&\iff& \begin{cases} 6x=54\\y=21-x\end{cases}\\&\iff& \begin{cases} x=\dfrac{54}{6}=9\\y=21-9=12\end{cases}\\\\&\iff& (x;y)=(9;12)\end{matrix})
\text{ admet une seule solution qui est le couple }(9;12) })
respectivement le nombre de sacs de haricot et le nombre de sacs de maïs chargés dans le camion des marchandises.
sacs, alors: )
kg, alors 
sacs de haricot pèsent 
kg .
kg, alors 
sacs de maïs pèsent 
kg .
, qui est égal à 
kg, la charge totale du camion selon le pesage routier, on obtient:
)
\text{ et }(II)\text{ que : })
 } )
)
.
=(9;12))
, ou encore:
, donc le nombre de prises possibles est :
est la somme de tous les effectifs , alors :
 \\&=& \dfrac{1}{20}\times\left(5\times 1+6\times 3+4\times 5+3\times 7+2\times 9\right)\\&=&\dfrac{1}{20}\left(5+18+20+21+18)\\&=&\dfrac{82}{20}\\&=&4,1\end{matrix})
.
, on remarque que la première fois que l'effectif cumulé dépasse 
se trouve à la modalité 
.
![\forall x\in [0;4]\text{ : }f(x)=x^2-4x+5](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in [0;4]\text{ : }f(x)=x^2-4x+5)
est dérivable sur ![[0;4]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[0;4])
car elle est une fonction polynomiale.
appartenant à ![[0;4]\text{ :}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[0;4]\text{ :})
![\begin{matrix}\begin{matrix} f'(x)&=& (x^2-4x+5)'&=& 2x-4\end{matrix} &\Longrightarrow& \boxed{\forall x\in [0;4]\text{ : }f'(x)=2x-4}\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix}\begin{matrix} f'(x)&=& (x^2-4x+5)'&=& 2x-4\end{matrix} &\Longrightarrow& \boxed{\forall x\in [0;4]\text{ : }f'(x)=2x-4}\end{matrix})
\text{ , résolvons pour cela l'équation }f'(x)=0\text{ : })
=0 \iff 2x-4=0 \iff x=2)
=2x-4 & &-&\barre{0}&+& \\ \hline \end{array})
![\begin{matrix} \bullet & \forall x\in [0;2] & : & f'(x)\leq 0 \\ \bullet & \forall x\in [2;4] & : & f'(x)\geq 0 \end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix} \bullet & \forall x\in [0;2] & : & f'(x)\leq 0 \\ \bullet & \forall x\in [2;4] & : & f'(x)\geq 0 \end{matrix})
![\begin{matrix} \bullet & f \text{ est décroissante sur }[0;2] \\ \bullet & f \text{ est croissante sur }[2;4] \end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix} \bullet & f \text{ est décroissante sur }[0;2] \\ \bullet & f \text{ est croissante sur }[2;4] \end{matrix})
=0^2-4\times 0 + 5 =0+0-5=5 \\ f(2)=2^2-4\times 2+5=4-8+5=1 \\ f(4)=4^2-4\times 4 +5 = 16-16+5=5 \end{matrix})
 & & - &\barre{0} & + & \\ \hline & 5 & & && 5 \\ f & &\searrow& &\nearrow & \\ & & & 1 & & \\ \hline \end{array})
)
à la courbe )
au point d'abscisse 
est par définition:
\text{ : }y=f'(3)(x-3)+f(3))
=2\times 3 - 4 = 6-4 = 2)
=3^2-4\times 3 + 5 = 9-12+5=14-12=2 )
\text{ , on obtient: })
\text{ : }y=f'(3)(x-3)+f(3) \iff y=2(x-3)+2=2x-6+2\iff y=2x-4 )
\text{ est: }\enskip (T)\text{ : }y=2x-4})
=19200 \\b=280-a \end{cases}\\&\iff& \begin {cases}-a^2+280a=19200 \\b=280-a \end{cases}\\&\iff& \begin {cases}a^2-280a+19200=0 \\b=280-a \end{cases}\enskip (*)\end{matrix})
^2-4\times 1 \times 19200 = 78400-76800=1600=40^2 >0)
-\sqrt{40^2}}{2} =\dfrac{280-40}{2}=\dfrac{240}{2}=120 )
+\sqrt{40^2}}{2} =\dfrac{280+40}{2}=\dfrac{320}{2}=160)
&\iff& \begin {cases} a=120\text{ ou }a=160 \\b=280-a \end{cases} \\&\iff& \begin {cases} a=120 \text{ et } b=280-120=160 \\\text{ ou }\\a=160 \text{ et }b=280-160=120 \end{cases} \end{matrix})
.
(en pourcentage).
respectivement le premier et deuxième prix de hausse d'un seau de carottes dont le prix initial était 
.
=5000+\dfrac{5000\times t}{100}=5000+50t)
=5408&\iff&p_1(t)+\dfrac{p_1(t)\times t}{100}=5408&\iff&5000+50t+\dfrac{(5000+50t)t}{100}=5408\\\\&\iff&\dfrac{100(5000+50t)+(5000+50t)t}{100}=5408&\iff&500000+5000t+5000t+50t^2=540800\\\\&\iff&50t^2+10000t+500000-540800=0&\iff& 50t^2+10000t-40800=0 \\\\&\iff& t^2+200-816=0&\text{ (en divisant par 50) }\end{matrix})
^2+4\times 816 =43264=(208)^2>0)
, donc le taux d'augmentation recherché est 
pour déterminer le rang de l'année pour lequel la production des tomates sera maximale.
![[1;10]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[1;10])
comme fonction polynomiale dérivable sur 
, et donc aussi sur ![\forall t\in [1;10]\text{ : }q'(t)=(-t^2+10t-5)'=-2t+10](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall t\in [1;10]\text{ : }q'(t)=(-t^2+10t-5)'=-2t+10)
\text{ , résolvons pour cela l'équation }q'(t)=0\text{ : })
=0 \iff -2t+10=0 \iff 2t=10\iff t=5)
=-2t+10 & &+&\barre{0}&-& \\ \hline \end{array})
![\begin{matrix} \bullet & \forall t\in [1;5] & : & q'(t)\geq 0 \\ \bullet & \forall t\in [5;10] & : & q'(t)\leq 0 \end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix} \bullet & \forall t\in [1;5] & : & q'(t)\geq 0 \\ \bullet & \forall t\in [5;10] & : & q'(t)\leq 0 \end{matrix})
![\begin{matrix} \bullet & q \text{ est croissante sur }[1;5] \\ \bullet & q \text{ est décroissante sur }[5;10] \end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix} \bullet & q \text{ est croissante sur }[1;5] \\ \bullet & q \text{ est décroissante sur }[5;10] \end{matrix})
=-1^2+10\times 1-5 =-1+10-5=4 \\ q(5)=-5^2+10\times 5+5=-25+50-5=20 \\ q(10)=-10^2+10\times 10 -5 = -100+100-5=-5 \end{matrix})
 & & + &\barre{0} & - & \\ \hline & & & 20 && \\ q & &\nearrow& &\searrow & \\ & 4 & & & & -5 \\ \hline \end{array})
qui est =20)
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