1) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation:
2) Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé . On donne les points d'affixes respectives .
a) Montrer que les points appartiennent au cercle de centre origine du repère et de rayon .
b) Tracer puis placer les points sur le repère .
3) On pose .
a) Montrer que puis en déduire la forme exponentielle de .
b) Déterminer la nature du triangle .
4) Soit l'image du point par la rotation de centre et d'angle de mesure .
a) Montrer que l'affixe du point est .
b) Montrer que est un parallèlogramme.
c) Justifier que est un losange.
6 points
exercice 2
Une entreprise veut designer une nouvelle dirigeante: composée de trois personnes pour occuper trois postes ( sans possibilité de cumul de postes). Le choix se porte dur deux hommes et trois femmes.
I) Soit la variable aléatoire désignant le nombre des femmes choisies pour occuper les postes.
a) Déterminer l'univers image associé à la variable aléatoire .
b) Déterminer la loi de probabilité de .
c) Déterminer la fonction de répartition de .
d) Calculer l'espérance mathématique et la variance de .
II) Le nombre d'employés de cette entreprise pendant les six dernières années est représenté dans le tableau ci-dessous. le rang de l'année et le nombre d'employés.
Avec un nombre entier naturel .
Soit la droite de régression de en obtenue par la méthode des moindres carrées d'équation réduite: .
1) Déterminer les coordonnées du point moyen ; puis la valeur de .
2-a) Justifier que la variance de est puis que la covariance de et est .
b) On donne la variance de , déterminer le coefficient de corrélation linéaire puis interpréter le résultat.
c) Donner une estimation du nombre d'employés de l'entreprise en 2026 .
10 points
probleme
Partie A: Étude d'une équation différentielle
On considère les équations différentielles
1) Vérifier que la fonction définie sur par: est une solution particulière de .
2-a) Montrer qu'une fonction deux fois dérivable sur est une solution de l'équation si et seulement si est une solution de .
b) Résoudre dans l'équation homogène .
c) En déduire les solutions sur de l'équation différentielle .
d) Trouver la solution de qui vérifie les conditions suivantes: .
Partie B: Étude d'une fonction auxiliaire
On considère la fonction définie sur par: .
1-a) Déterminer .
b) Calculer puis dresser le tableau de variation de .
2-a) Montrer que l'équation admet sur une solution unique .
b) Vérifier que .
c) En déduire le signe de suivant les valeurs de .
Partie C: Étude d'une fonction
Soit la fonction définie sur par et sa courbe représentative dans un repère orthonormé .
1-a) Justifier que : .
b) Montrer qu'en , la courbe de admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
2-a) Montrer que la droite d'équation est une asymptote à la courbe de en .
b) Étudier la position relative de la courbe par rapport à l'asymptote .
3-a) Calculer la dérivée de puis vérifier que .
b) Dresser le tableau de variation de .
4-a) Déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.
b) Tracer l'asymptote et la courbe dans le repère orthonormé .
(On prendra )
5) Soit un réel strictement négatif. On pose .
a) Montrer que .
b) A l'aide d'une intégration par parties, montrer que .
c) En déduire .
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)
. On donne les points 
d'affixes respectives 
.
appartiennent au cercle )
de centre 
origine du repère et de rayon 
.
 )
puis placer les points 
sur le repère  )
.
.
puis en déduire la forme exponentielle de 
.
.
l'image du point 
par la rotation 
de centre 
et d'angle de mesure 
.
est 
.
est un parallèlogramme.
( sans possibilité de cumul de postes). Le choix se porte dur deux hommes et trois femmes.
la variable aléatoire désignant le nombre des femmes choisies pour occuper les postes.
le rang de l'année et 
le nombre d'employés.
un nombre entier naturel .
)
la droite de régression de 
en 
obtenue par la méthode des moindres carrées d'équation réduite: 
.
; puis la valeur de =2,9)
puis que la covariance de 
est =84,5)
.
=2518,3)
, déterminer le coefficient de corrélation linéaire 
puis interpréter le résultat.
\text{ : }y''-y=2e^x+1\text{ et }(E_0)\text{ : }y''-y=0)
définie sur 
par: =xe^x-1)
est une solution particulière de )
.
deux fois dérivable sur 
est une solution de )
.
\text{ : }y''-y=0)
.
de l'équation différentielle 
de =-2\text{ et }g'(0)=0)
.
=(x-1)e^x-1)
.
\text{ et }\lim_{x\to+\infty}g(x))
.
)
puis dresser le tableau de variation de =0)
admet sur 
.
.
)
suivant les valeurs de 
la fonction définie sur =(x-2)(e^x-1))
et )
.
=+\infty\text{ et }\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty)
.
, la courbe 
est une asymptote à la courbe  )
de 
.
 )
.
 )
de 
puis vérifier que =g(x)\text{ , }\forall x\in\R)
.
 )
.
)
un réel strictement négatif. On pose ![I(\lambda)=\displaystyle\int_{\lambda}^{0}\left[2-x-f(x)\right]\text{ d}x](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I(\lambda)=\displaystyle\int_{\lambda}^{0}\left[2-x-f(x)\right]\text{ d}x)
.
=\displaystyle\int_{\lambda}^{0} (2-x)e^x \text{ d}x)
.
=3+(\lambda-3)e^{\lambda})
.
)
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