Dans cet exercice, les deux premières questions sont indépendantes de la troisième question.
1) On donne les nombres
En utilisant une composition de chaque nombre en produit de facteurs premiers, montrer que le .
2) On veut déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs tels que:
a) Écrire l'équation .
b) Vérifier que le couple est solution de l'équation .
c) Montrer que l'équation est équivalente à l'équation .
d) Résoudre l'équation .
e) Déduire de ce qui précède, les solutions de l'équation .
3-a) Montrer que l'équation est équivalente à .
b) En utilisant le tableau ci-dessous; déterminer l'ensemble des solutions de .
8 points
exercice 2
Dans le plan orienté , on considère un segment horizontal tel que Soit le point du plan tel que soit un triangle rectangle et isocèle en et de sens direct.
On désigne par le cercle de centre , de rayon . On désigne par le milieu du segment . La demi-droite coupe en .
1) Faire la figure.
2) Soit la similitude plane directe telle que . Déterminer son rapport est une mesure de son angle.
3) Soit le pied de la hauteur issue de sur le segment .
a) Montrer que le triangle est rectangle et isocèle en .
b) En déduire que .
4) Soit le point diamétralement opposé à sur le cercle et le point du plan tel que soit un carré de sens direct.
Démontrer que . On appelle le milieu de .
5) Soit la similitude plane directe telle que où est le milieu de .
a) Déterminer le rapport de .
b) On désigne par le centre de . Démontrer que est une homothétie dont on précisera le rapport.
c) Déterminer puis en déduire que .
d) Déterminer l'axe de .
6) Soit la parabole de foyer et dont la tangente en est la droite , d'axe focal .
a) Préciser sa directrice et son sommet .
b) La perpendiculaire en à la droite coupe la droite en . Le cercle de centre et de rayon coupe la demi-droite en . La droite parallèle à la droite passant par coupe la demi-droite en . Montrer que est un point de , on pourra utiliser la nature du triangle .
c) Achever la construction de .
5 points
exercice 3
1) On considère la fonction définie sur par: .
a) Montrer que, pour tout .
Puis montrer que la fonction est strictement décroissante sur .
b) Calculer la limite de en , puis dresser le tableau de variation de .
2) On définit, pour tout entier naturel , la suite par: .
a) Montrer que pour tout entier natruel .
b) Montrer que, pour tout entier naturel .
c) Calculer la limite de la suite .
3) Soit la fonction définie sur par .
a) Démontrer que, pour tout .
b) On pose, pour tout entier naturel .
Démontrer que, pour tout entier naturel .
c) On pose, pour tout entier naturel non nul
Démontrer que, pour tout entier naturel non nul .
3 points
exercice 4
Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 3 boules blanches et 7 boules noires.
On effectue deux tirages successifs sans remettre la première boule tirée dans l'urne.
On note:
l'événement: "la première boule tirée est blanche" .
l'événement: "la deuxième boule tirée est blanche" .
Soit la variable aléatoire qu'à deux tirages associe le nombre des boules blanches tirées.
1) Compléter l'arbre de probabilités suivant:
2) Déterminer l'ensemble des valeurs prises par .
3) Démontrer que .
4) Déterminer la loi de probabilité de .
5) Calculer l'espérance mathématique de .
Publié par malou/Panter
le
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=48)
.
)
d'entiers relatifs tels que:
\text{ : }au+bv=PGCD(a;b)\text{ ;})
)
.
=(5;-9))
est solution de l'équation \text{ : }20u+11v=1 )
.
\text{ : }20u+11v=0)
.
![(E_1)\text{ : }18x-31\equiv 0[7]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E_1)\text{ : }18x-31\equiv 0[7])
est équivalente à ![(E_2)\text{ : } 4x\equiv 3[7]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E_2)\text{ : } 4x\equiv 3[7])
.
)
.
)
, on considère un segment ![[AI]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[AI])
horizontal tel que 
Soit 
le point du plan tel que 
soit un triangle rectangle et isocèle en 
et de sens direct.
)
le cercle de centre 
. On désigne par 
le milieu du segment ![[AB]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[AB])
. La demi-droite )
coupe 
.
la similitude plane directe telle que =A\text{ et }f(I)=O)
. Déterminer son rapport 
est une mesure 
de son angle.
le pied de la hauteur issue de 
sur le segment ![[BD]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[BD])
.
est rectangle et isocèle en =H)
.
le point diamétralement opposé à 
le point du plan tel que 
soit un carré de sens direct.
=E\text{ et } f(F)=I)
. On appelle 
le milieu de ![[BK]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[BK])
.
la similitude plane directe telle que =H\text{ et }g(H)=A)
où 
est le milieu de ![[AD]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[AD])
.
de 
le centre de 
est une homothétie dont on précisera le rapport.
)
puis en déduire que 
.
)
de )
la parabole de foyer )
, d'axe focal )
.
)
et son sommet .
 )
coupe la droite )
en 
. Le cercle de centre 
coupe la demi-droite )
en 
. La droite parallèle à la droite )
en 
. Montrer que 
.
par: =\dfrac{6\ln(x+3)}{x+3})
.
![x\in[0;+\infty[\text{ , }f'(x)=\dfrac{6[1-\ln(x+3)]}{(x+3)^2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\in[0;+\infty[\text{ , }f'(x)=\dfrac{6[1-\ln(x+3)]}{(x+3)^2})
.
, puis dresser le tableau de variation de 
, la suite )
par: \text{ d}x)
.
\leq f(x)\leq f(n))
.
\leq u_n\leq f(n))
.
=\ln ^2(x+3))
.
=\dfrac{1}{3} f(x))
.
\text{ d}x)
.
![n\text{ , }I_n=3[\ln^2(n+3)-\ln^2(3)]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n\text{ , }I_n=3[\ln^2(n+3)-\ln^2(3)])
.
.
l'événement: "la première boule tirée est blanche" .
l'événement: "la deuxième boule tirée est blanche" .
la variable aléatoire qu'à deux tirages associe le nombre des boules blanches tirées.
)
des valeurs prises par =\dfrac{7}{15})
.
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