Fiche de mathématiques

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Bac Mathématiques Côte d'Ivoire 2023

Série C

Durée : 4 heures

Coefficient : 5

Seules les calculatrices scientifiques non graphiques sont autorisées.

2 points

exercice 1

Écris sur ta feuille de copie, le numéro de chaque proposition suivi de Vrai si la proposition est vraie ou de Faux si la proposition est fausse.

Bac Cote d'Ivoire 2023 série C : image 6

2 points

exercice 2

Pour chacun des énoncés du tableau ci-dessous, les informations des lignes A, B, C et D permettent d'obtenir quatre affirmations dont une seule est vraie.
Écris, sur ta feuille de copie, le numéro de l'énoncé suivi de la lettre de la ligne qui donne l'affirmation vraie.

Bac Cote d'Ivoire 2023 série C : image 3

Bac Cote d'Ivoire 2023 série C : image 2

3 points

exercice 3

Des scientifiques participent à un séminaire sur le thème : "Le réchauffement climatique et ses conséquences sur les économies des pays".
Une enquête organisée par un organisme international a révélé que 75% des scientifiques croient au réchauffement climatique et parmi ceux-ci, il y a des écologistes.
Selon cette enquête :
$\bullet\white w$ la probabilité qu'un scientifique qui croit au réchauffement climatique soit un écologiste est 0,6 ;
$\bullet\white w$ la probabilité qu'un scientifique qui ne croit pas au réchauffement climatique ne soit pas un écologiste est 0,08.
On choisit un scientifique au hasard ayant participé au séminaire.
On désigne par :
R l'évènement : "Le scientifique interrogé croit au réchauffement climatique" ;
E l'évènement : "Le scientifique interrogé est un écologiste".

1. a. Traduis cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.
${\white {w}$ b. Donne les probabilités suivantes : $P(R) ; P_{\overline R} (\overline E) ; P_R(E).$
2. a. Calcule $P_R(\overline E).$
${\white {w}$ b. Justifie que $P(\overline R \cap E)=0,23.$
3. a. Justifie que la probabilité qu'un scientifique interrogé soit un écologiste est 0,68.
${\white {w}$ b. Un scientifique interrogé est un écologiste.
${\white {ww}$ Calcule la probabilité qu'il ne croit pas au réchauffement climatique. (Tu donneras l'arrondi d'ordre 2 du résultat ).

4 points

exercice 4

Soit m un nombre réel et $f_m$ la fonction de R vers R, définie par : $f_m(x)=x+\ln (1-m\text e ^{-x}).$
On note $\text D_m$ l'ensemble de définition de $f_m$ et on désigne par $(C_m)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère (O; I; J).
On désigne par $(D)$ la droite d'équation : $y=x.$

1. Justifie que :
$\white w$ a. Si $m\le 0,$ alors $\text D_m =\textbf R.$
$\white w$ b. Si $m > 0,$ alors $\text D_m =]\ln (m) ;+\infty[.$
2. On suppose que $f_m$ est dérivable sur $\text D_m$ pour tout nombre réel m.
$\white w$ a. Justifie que pour tout x de $\text D_m\;, f_m'(x)=\dfrac{\text e^x}{\text e ^x-m}$
$\white w$ b. Justifie que pour $m\le 0,\, f_m$ est strictement croissante sur R.
$\white w$ c. Justifie que pour $m>0,\,f_m$ est strictement croissante sur $]\ln (m) ;+\infty[.$
3. a. Démontre que pour tout nombre réel $m,\, f_m$ est une bijection sur $\text D_m.$
$\white w$ b. Établis que pour tout nombre réel m et pour tout nombre réel x élément de $f_m(\text D_m),$ on a : $f_m^{-1}(x)=f_{-m}(x).$
$\white w$ c. Déduis de la question précédente, une méthode de construction de $(C_{-m})$ dans le même repère que $(C_m).$
4. On suppose que m et p sont des nombres réels strictement positifs.
$\white w$ a. Justifie que $(C_p)$ est l'image de $(C_1)$ par la translation T de vecteur $\overrightarrow u (\ln (p)\,;\,\ln (p) ).$
$\white w$ b. Détermine la translation T' qui transforme $(C_p)$ en $(C_m).$

4 points

exercice 5

On considère l'équation (E) : $4x-y=2$ où les inconnues x et y appartiennent à Z.

1. a. Démontrer que si le couple $(x_0, y_0)$ est une solution de (E), alors $y_0$ est pair.
$\white w$ b. Détermine les valeurs possibles de $\text{PGCD}(x_0,y_0).$
2. a. Vérifie que le couple (1 ; 2) est une solution de (E).
$\white w$ b. Résous l'équation (E).
3. Détermine l'ensemble des couples (x, y) solutions de (E) tels que x et y soient premiers entre eux.
4. $\overline{ac2}^3 \text{ et } \overline{baa}^4$ sont deux écritures du même entier naturel p respectivement en base 3 et en base 4.
$\white w$ a. Justifie que 3c + 2 est multiple de 4.
$\white w$ b. Déduis-en que c est égal à 2.
$\white w$ c. Détermine les valeurs de a et b. (Tu pourras utiliser 2. b.).
$\white w$ d. Écris p dans le système décimal.

5 points

exercice 6

Une étudiante en histoire ancienne veut rédiger son mémoire de Master 2. Au cours de ses recherches, elle décide de déterminer l'âge d'un fragment d'os découvert par les archéologues.
L'information dont elle dispose est que le fragment découvert a une teneur en carbone 14 égale à 70% de celle d'un fragment d'os actuel de même masse pris comme témoin.
Au cours de sa formation, elle a appris que :
$\bullet \white v$ Si t est l'âge en années de l'os découvert, alors la quantité restante de carbone 14 dans le fragment d'os est $P(t)$ où $P$ est une fonction de $t.$
$\bullet \white v$ La dérivée $P'$ de la fonction $P$ est égale au produit de $P$ par l'opposé de la constante radioactive de carbone 14, notée $\lambda\, (\lambda = 1,2444\times 10^{-4}).$
$\bullet \white v$ La quantité $P_0$ de carbone 14 d'un organisme vivant commence à diminuer à partir de la mort de cet organisme à l'instant t égal à 0.
N'ayant pas suffisamment de connaissances pour exploiter ces données, elle te sollicite.
A l'aide d'une production argumentée basée sur tes connaissances mathématiques, réponds à la préoccupation de l'étudiante.

Voir la correction

Bac Côte d'Ivoire 2023 série C

2 points

exercice 1

Proposition n°1
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé ${(O\;;\;\vec i,\vec j,\vec k) }$ , si $\overset{ { \white{ . } } } { (P) }$ est le plan d'équation cartésienne : $\overset{ { \white{ . } } } { 2x+3y+4z-8=0 }$ , alors un vecteur normal à $\overset{ { \white{ . } } } { (P) }$ est : $\overset{ { \white{ . } } } { \vec n(1\;;\;\frac 32\;;\;2). }$
Proposition vraie.

En effet, un vecteur normal à $\overset{ { \white{ . } } } { (P):2x+3y+4z-8=0 }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \vec n_1(2\;;\;3\;;\;4) }$ ou un vecteur colinéaire à $\overset{ { \white{ . } } } { \vec n_1 }$ .
Or $\overset{ { \white{ . } } } { \vec n=\dfrac 12\,\vec n_1 }$ car $\overset{ { \white{ . } } } { (1\;;\;\dfrac 32\;;\;2)=\dfrac12\,(2\;;\;3\;;\;4). }$
Donc un vecteur normal à $\overset{ { \white{ . } } } { (P) }$ est : $\overset{ { \white{ . } } } { \vec n(1\;;\;\frac 32\;;\;2). }$
Par conséquent, la proposition n° 1 est vraie.

Proposition n°2
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O,I,J). L'ellipse d'équation réduite : $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{16}=1, }$ de demi distance focale $\overset{ { \white{ . } } } { \sqrt 7 }$ a pour foyers $\overset{ { \white{ . } } } { F }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { F' }$ tels que : $\overset{ { \white{ . } } } { F(\sqrt 7\;;\;0) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { F'(-\sqrt 7\;;\;0). }$
Proposition fausse.

En effet, puisque 9 < 16, l'ellipse a pour foyers $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { F' }$ tels que : $\overset{ { \white{ . } } } { F(0\;;\;\sqrt 7) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { F'(0\;;\;-\sqrt 7). }$

Proposition n°3
Une corrélation linéaire entre deux caractères $\overset{ { \white{ . } } } { X }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { Y }$ d'une série statistique double est forte lorsque le coefficient de corrélation linéaire $\overset{ { \white{ . } } } { r }$ est tel que : $\overset{ { \white{ . } } } { r<0,87. }$
Proposition fausse.

En effet, il y a une forte corrélation linéaire entre les deux caractères $\overset{ { \white{ . } } } { X }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { Y }$ si $\overset{ { \white{ . } } } { |r| }$ est proche de 1, soit en pratique si $\overset{ { \white{ . } } } { 0,87\le r<1 }$ ou $\overset{ { \white{ . } } } { -1<-r\le -0,87. }$

Proposition n°4
Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { A}$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ deux points distincts du plan. La composée $\overset{ { \white{ O. } } } { r_{(A;\frac{\pi}{3})}\circ t_{\overrightarrow{AB}} }$ est une rotation d'angle $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{\pi}{3}. }$
Proposition vraie.

En effet, la composée d'une rotation d'angle theta

et d'une translation est une rotation d'angle theta

.

2 points

exercice 2

Énoncé n°1 : Réponse C.
La suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n)_{n\in\N} }$ de terme général : $\overset{ { \white{ . } } } { u_n=\left(\dfrac{-2}{3}\right)^n }$ a pour limite $\overset{ { \white{ . } } } { {\red{0}}. }$
En effet, $\overset{ { \white{ . } } } { \left|\dfrac{-2}{3}\right|=\dfrac{2}{3}<1 }$ et si $\overset{ { \white{ . } } } { |q|<1 }$ alors $\overset{ { \white{ 0. } } } { \lim\limits_{n\to+\infty} q^n=0.}$

Énoncé n°2 : Réponse D.

$\overset{ { \white{ . } } } { PQRS }$ est un carré de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { O }$ tel que le triplet $\overset{ { \white{ . } } } { (P,Q,R) }$ soit de sens direct.
$\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { J }$ sont les milieux respectifs des segments $\overset{ { \white{ . } } } { [QR] }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { [RS]. }$
La composée $\overset{ { \white{ . } } } { r_{(O;\frac{\pi}{2})}\circ S_{(QR)} }$ est la symétrie glissée d'axe $\overset{ { \white{ . } } } { (IJ) }$ et de vecteur $\overset{ { \white{ . } } } {{\red{\overrightarrow{QO}}}. }$

En effet, soit $\overset{ { \white{ o. } } } {f=r_{(O;\frac{\pi}{2})}\circ S_{(QR)}.}$

La forme réduite de la symétrie glissée $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ d'axe $\overset{ { \white{ . } } } { (IJ) }$ et de vecteur ${\vec u} }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{f=S_{(IJ)}\circ t_{\vec u}=t_{\vec u}\circ S_{(IJ)}}\,. }$

$\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\left\lbrace\begin{matrix}S_{(QR)}(Q)={\red{Q}}\\r_{(O;\frac{\pi}{2})}({\red{Q}})=R\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \left(r_{(O;\frac{\pi}{2})}\circ S_{(QR)}\right)(Q)=R \\\phantom{WWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f(Q)=R} \\\\ \overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\white{x}} \left\lbrace\begin{matrix}S_{(QR)}(R)={\red{R}}\\r_{(O;\frac{\pi}{2})}({\red{R}})=S\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \left(r_{(O;\frac{\pi}{2})}\circ S_{(QR)}\right)(R)=S \\\phantom{WWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f(R)=S }$

$\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}(f\circ f)(Q)=f(f(Q))\\\phantom{WWw}=f(R)\\\phantom{uw}=S\\f\circ f=t_{\vec u}\circ S_{(IJ)}\circ S_{(IJ)}\circ t_{\vec u}\\=t_{\vec u}\circ t_{\vec u}\phantom{WWWi}\\=t_{2\vec u}\phantom{WwWWW} \end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{t_{2\vec u}(Q)=S }$

D'où $2\vec u=\overrightarrow{QS},$ soit $\vec u=\dfrac12\,\overrightarrow{QS},$ soit $\boxed{\vec u=\overrightarrow{QO}}$

Énoncé n°3 : Réponse A.

On admet que : $\overset{ { \white{ . } } } { \forall\,x\in[0\;;\;1], \; \dfrac12\le\dfrac{1}{1+x^2}\le1. }$
La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { F }$ définie sur [0 ; 1] par : $\overset{ { \white{ . } } } {F(x)=\displaystyle\int_1^x\dfrac{1}{1+t^2}\,\text{d}t }$ est telle que : $\overset{ { \white{ . } } } { {\red{x-1\le F(x)\le \dfrac x2-\dfrac12}}\,. }$
En effet, nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } { \forall\,t\in[0\;;\;1], \; \dfrac12\le\dfrac{1}{1+t^2}\le1. }$
Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } {\forall\,x\in[0\;;\;1], \; }$

$\displaystyle\int_x^1\dfrac12\,\text{d}t\le\displaystyle\int_x^1\dfrac{1}{1+t^2}\,\text{d}t\le\displaystyle\int_x^11\,\text{d}t \quad\Longrightarrow\quad \left[\overset{}{\dfrac t2}\right]_x^1\le\displaystyle\int_x^1\dfrac{1}{1+t^2}\,\text{d}t\le\left[\overset{\phantom{o}}{t}\right]_x^1 \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WxWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac 12-\dfrac x2\le-\displaystyle\int_1^x\dfrac{1}{1+t^2}\,\text{d}t\le1-x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WxWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac 12-\dfrac x2\le-F(x)\le1-x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WxWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{x-1\le F(x)\le\dfrac x2-\dfrac12}}$

Énoncé n°4 : Réponse A.

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O, I, J), on donne les points A, B et C d'affixes respectives : 2 ; 2+2i et 2i.
La similitude directe de centre A qui transforme B en C a pour angle et pour rapport $\overset{ { \white{ . } } } { {\red{\dfrac{\pi}{4}}} }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { {\red{\sqrt 2 }}. }$
En effet, écrivons $\overset{ { \white{ . } } } { \overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{z_C-z_{A}}{z_B-z_{A}}} }$ sous forme exponentielle.

${ \white{ xxi } }$ $\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\dfrac{2\text i-2}{2+2\text i-2} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWw}=\dfrac{2\text i-2}{2\text i}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWw}=\dfrac{2\text i(1+\text i)}{2\text i}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWw}=1+\text i}$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWw}=\sqrt2\,\text e^{\frac{\pi}{4}}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ \dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\sqrt2\,\text e^{\frac{\pi}{4}}}$

Dès lors,

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ le rapport de la similitude est $\overset{ { \white{ . } } }{ k=\dfrac{AC}{AB}=\left|\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right|=\sqrt2\quad\Longrightarrow\quad \boxed{k=\sqrt 2 }. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ l'angle de la similitude est $\overset{ { \white{ . } } } {\theta=\text{mes}\left(\widehat{\overrightarrow{AB}\,;\overrightarrow{AC}}\right)=\arg\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)=\dfrac{\pi}{4}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\theta=\dfrac{\pi }{4}}.}$

3 points

exercice 3

Une enquête organisée par un organisme international a révélé que 75% des scientifiques croient au réchauffement climatique et parmi ceux-ci, il y a des écologistes.
Selon cette enquête :
$\bullet\white w$ la probabilité qu'un scientifique qui croit au réchauffement climatique soit un écologiste est 0,6 ;
$\bullet\white w$ la probabilité qu'un scientifique qui ne croit pas au réchauffement climatique ne soit pas un écologiste est 0,08.
On choisit un scientifique au hasard ayant participé au séminaire.
On désigne par :
R l'événement : ''Le scientifique interrogé croit au réchauffement climatique'' ;
E l'événement : ''Le scientifique interrogé est un écologiste''.

1. a) Construisons un arbre pondéré traduisant la situation.

Bac Cote d'Ivoire 2023 série C : image 7

1. b) En utilisant l'arbre pondéré, nous obtenons : $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}P(R) =0,75 \\\overset{ { \white{ . } } } {P_{\overline R} (\overline E)=0,08} \\\overset{ { \white{ . } } } {P_R(E)=0,6}\end{matrix}\right. }$

2. a) $\overset{ { \white{ . } } } { P_R(\overline E)=1-0,6\quad\Longrightarrow\quad \boxed{P_R(\overline E)=0,4}\,. }$

2. b) Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { P(\overline R\cap E). }$

${ \white{ xxi } }$ $P(\overline R\cap E)=P(\overline R)\times P_{\overline R}(E) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ P(\overline R\cap E)}=0,25\times 0,92} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ P(\overline R\cap E)}=0,23} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(\overline R\cap E)=0,23}$

3. a) Nous devons déterminer $\overset{ { \white{ . } } } { P(E). }$

Les événements $\overset{{\white{.}}}{R}$ et $\overline{R}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(E)=P(R\cap E)+P(\overline{R}\cap E) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(D)}=P(R)\times P_R(E)+0,23} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(D)}=0,75\times0,6+0,23} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(D)}=0,68} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(E)=0,68}$

3. b) Un scientifique interrogé est un écologiste.
${\white {ww}$ Calculons la probabilité qu'il ne croie pas au réchauffement climatique.

Nous devons déterminer $\overset{{\white{.}}}{P_E(\overline{R}).}$

${ \white{ xxi } }$ $P_E(\overline{R})=\dfrac{P(\overline{R}\cap E)}{P(E)}=\dfrac{0,23}{0,68}\approx0,34 \\\\\Longrightarrow\boxed{P_E(\overline{R})\approx0,34}$

D'où, la probabilité qu'un scientifique écologiste ne croie pas au réchauffement climatique est environ égale à 0,34.

4 points

exercice 4

Soit $\overset{ { \white{ . } } } { m }$ un nombre réel et $\overset{ { \white{ . } } } { f_m }$ la fonction de $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ vers $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ , définie par : $\overset{ { \white{ . } } } { f_m(x)=x+\ln (1-m\text e ^{-x}). }$
On note $\overset{ { \white{ . } } } { \text D_m }$ l'ensemble de définition de $\overset{ { \white{ . } } } { f_m }$ et on désigne par $\overset{ { \white{ . } } } { (C_m) }$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère (O; I; J).
On désigne par $\overset{ { \white{ . } } } { (D) }$ la droite d'équation : $\overset{ { \white{ . } } } { y=x. }$

1. Déterminons $\overset{ { \white{ . } } } { \text D_m }$

${ f_m(x)\in\R\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{1-m\text e ^{-x}>0.} }$

1. a) Premier cas : $\overset{ { \white{ . } } } { m\le0. }$

${ \white{ xxi } }$ $\forall\,x\in\R,\;\text e^{-x}>0\quad\Longrightarrow\quad m\text e^{-x}\le0\quad(\text{car }m\le0) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\forall\,x\in\R,\;\text e^{-x}>0}\quad\Longrightarrow\quad -m\text e^{-x}\ge0} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\forall\,x\in\R,\;\text e^{-x}>0}\quad\Longrightarrow\quad 1-m\text e^{-x}\ge1>0} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\forall\,x\in\R,\;\text e^{-x}>0}\quad\Longrightarrow\quad 1-m\text e^{-x}>0} \\\\\Longrightarrow\boxed{\text{Si }m\le0,\;\text{alors }\forall\,x\in\R,\;1-m\text e^{-x}>0}$

Par conséquent, si $\overset{ { \white{ . } } } { m\le 0, }$ alors $\overset{ { \white{ . } } } { \text D_m =\R. }$

1. b) Deuxième cas : $\overset{ { \white{ . } } } { m>0. }$

${ \white{ xxi } }$ $1-m\text e^{-x}>0\quad\Longleftrightarrow\quad m\text e^{-x}<1 \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{1-m\text e^{-x}>0}\quad\Longleftrightarrow\quad \text e^{-x}<\dfrac1m} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{1-m\text e^{-x}>0}\quad\Longleftrightarrow\quad -x<\ln\left(\dfrac1m\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{1-m\text e^{-x}>0}\quad\Longleftrightarrow\quad -x<-\ln\left(m\right)}$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{1-m\text e^{-x}>0}\quad\Longleftrightarrow\quad x>\ln\left(m\right)} \\\\\Longrightarrow\boxed{\text{Si }m>0,\;\text{alors }1-m\text e^{-x}>0\quad\Longleftrightarrow\quad x>\ln\left(m\right)}$

Par conséquent, si $\overset{ { \white{ . } } } { m> 0, }$ alors $\overset{ { \white{ . } } } { \text D_m =\,]\ln(m)\;;\;+\infty[. }$

2. On suppose que $\overset{ { \white{ . } } } { f_m }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } { \text D_m }$ pour tout nombre réel $\overset{ { \white{ . } } } { m. }$

2. a) Déterminons l'expression algébrique de $\overset{ { \white{ . } } } { f_m'(x) .}$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in D_m\,, }$

${ \white{ xxi } }$ $f'_m(x)=\Big(x+\ln (1-m\text e ^{-x})\Big)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'_m(x)}=1+\dfrac{(1-m\text e ^{-x})'}{1-m\text e ^{-x} }} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'_m(x)}=1+\dfrac{m\text e ^{-x}}{1-m\text e ^{-x} }} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'_m(x)}=\dfrac{1-m\text e ^{-x} +m\text e ^{-x}}{1-m\text e ^{-x} }}$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'_m(x)}=\dfrac{1}{1-m\text e ^{-x} }} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'_m(x)}=\dfrac{1\times \text e^x}{(1-m\text e ^{-x})\times \text e^x }} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'_m(x)}=\dfrac{\text e^x}{\text e^x-m }} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in D_m,\;f'_m(x)=\dfrac{\text e^x}{\text e^x-m }}$

2. b) Étudions la croissance de $\overset{ { \white{ . } } } {f_m }$ pour $\overset{ { \white{ . } } } { m\le0. }$

L'exponentielle est strictement positive pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x. }$
Donc le signe de $\overset{ { \white{ . } } } {f'_m(x) }$ est le signe de : ${\text e^x-m. }$

$\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\text e^x>0\\m\le0\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\text e^x>0\\-m\ge0\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\text e^x-m>0\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f'_m(x)>0}$

Par conséquent, pour $\overset{ { \white{ . } } } {m\le 0,\, f_m }$ est strictement croissante sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R. }$

2. c) Étudions la croissance de $\overset{ { \white{ . } } } {f_m }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } {]\ln (m) ;+\infty\,[}$ pour $\overset{ { \white{ . } } } { m>0. }$

L'exponentielle est strictement positive pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x. }$
Donc le signe de $\overset{ { \white{ . } } } {f'_m(x) }$ est le signe de : ${\text e^x-m. }$

$\text{Or }\;x\in\,]\ln(m)\;;\;+\infty\,[\quad\Longrightarrow\quad x>\ln(m) \\\phantom{WWWWWWWWw}\quad\Longrightarrow\quad\text e^x>m \\\phantom{WWWWWWWWw}\quad\Longrightarrow\quad\text e^x-m>0 \\\phantom{WWWWWWWWw}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f'_m(x)>0}$

Par conséquent, pour $\overset{ { \white{ . } } } {m> 0,\, f_m }$ est strictement croissante sur $\overset{ { \white{ _. } } } { ]\ln (m) ;+\infty\,[\,. }$

3. a) Démontrons que pour tout nombre réel $\overset{ { \white{ . } } } { m,\, f_m }$ est une bijection sur $\overset{ { \white{ . } } } { \text D_m. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Premier cas : $\overset{ { \white{ . } } } { m=0. }$

Dans ce cas, $\overset{ { \white{ . } } } { f_0 }$ la fonction de $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ vers $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ , définie par : $\overset{ { \white{ . } } } { f_0(x)=x. }$
La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f_0 }$ est continue et strictement croissante sur ${ \overset{ { \white{ . } } } { \text D_0 =\R. } }$
Il s'ensuit que $\overset{ { \white{ . } } } { f_0 }$ réalise une bijection de $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { f_0\left( \R\right)=\,\R\,.}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Deuxième cas : $\overset{ { \white{ . } } } { m<0. }$

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f_m }$ est continue et strictement croissante sur ${ \overset{ { \white{ . } } } { \text D_m =\R. } }$
Il s'ensuit que $\overset{ { \white{ . } } } { f_m }$ réalise une bijection de $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { f_m\left( \R\right)\,.}$

Déterminons $\overset{ { \white{ . } } } { f_m\left( \R\right) }$ (non demandé dans l'énoncé )

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to-\infty}f_m(x). }$

$\lim\limits_{x\to-\infty}f_m(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}\Big(x+\ln (1-m\text e ^{-x})\Big) \\\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}f_m(x)}=\lim\limits_{x\to-\infty}\ln\Big(\text e^{x+\ln (1-m\text e ^{-x})}\Big) \\\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}f_m(x)}=\lim\limits_{x\to-\infty}\ln\Big(\text e^{x}\times\text e^{\ln (1-m\text e ^{-x})}\Big) \\\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}f_m(x)}=\lim\limits_{x\to-\infty}\ln\Big(\text e^{x}\times (1-m\text e ^{-x})\Big) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}f_m(x)}=\ln\left[\lim\limits_{x\to-\infty}\Big(\text e^{x}\times (1-m\text e ^{-x})\Big)\right]}$

Or la constante 1 est insignifiante comparée à ${ -m\text e ^{-x} }$ quand $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ tend vers $\overset{ { \white{ . } } } { -\infty. }$

Nous obtenons ainsi :

$\lim\limits_{x\to-\infty}f_m(x)=\ln\left[\lim\limits_{x\to-\infty}\Big(\text e^{x}\times (-m\text e ^{-x})\Big)\right] \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}f_m(x)}=\ln\left[(-m)\times\lim\limits_{x\to-\infty}\Big(\text e^{x}\times \text e ^{-x}\Big)\right]} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}f_m(x)}=\ln[(-m)\times1]} \\\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}f_m(x)}=\ln(-m) \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f_m(x)=\ln(-m)}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ o. } } } { \lim\limits_{x\to+\infty}f_m(x). }$

$\lim\limits_{x\to+\infty}\text e^{-x}=0\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}(1-m\text e^{-x})=1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}\text e^{-x}=0}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\ln(1-m\text e^{-x})=0} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}\text e^{-x}=0}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\Big(x+\ln (1-m\text e ^{-x})\Big)=+\infty} \\\overset{ { \white{ . } } } { \quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f_m(x)=+\infty}}$

D'où $\boxed{f_m\left( \R\right)=\,]\ln(-m)\;;\;+\infty[}\,.$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { f_m }$ réalise une bijection de $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { f_m\left( \R\right)=\,]\ln(-m)\;;\;+\infty[}\,.$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Troisième cas : $\overset{ { \white{ . } } } { m>0. }$

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f_m }$ est continue et strictement croissante sur $\overset{ { \white{ . } } } { \text D_m =\,]\ln(m)\;;\;+\infty[. }$
Il s'ensuit que $\overset{ { \white{ . } } } { f_m }$ réalise une bijection de $\overset{ { \white{ _. } } } { ]\ln(m)\;;\;+\infty[ }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { f_m\left( ]\ln(m)\;;\;+\infty[\right)\,.}$

Déterminons $\overset{ { \white{ . } } } { f_m\left( ]\ln(m)\;;\;+\infty[\right) }$ (non demandé dans l'énoncé ).

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ o. } } } { \lim\limits_{x\to\ln(m)}f_m(x). }$

$\lim\limits_{x\to\ln(m)}(-x)=-\ln(m)\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to\ln(m)}(-x)=\ln\left(\dfrac1m\right) \\\phantom{\lim\limits_{x\to\ln(m)}(-x)=-\ln(m)}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to\ln(m)}\text e^{-x}=\dfrac1m \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{x\to\ln(m)}(-x)=-\ln(m)}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to\ln(m)}m\,\text e^{-x}=1} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{x\to\ln(m)}(-x)=-\ln(m)}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to\ln(m)}(1-m\,\text e^{-x})=0} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{x\to\ln(m)}(-x)=-\ln(m)}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to\ln(m)}\ln(1-m\,\text e^{-x})=-\infty}$

Dès lors, $\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to\ln(m)}x=\ln(m)\phantom{WWWW}\\\lim\limits_{x\to\ln(m)}\ln(1-m\,\text e^{-x})=-\infty\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to\ln(m)}\Big(x+\ln(1-m\,\text e^{-x})\Big)=-\infty$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\lim\limits_{x\to\ln(m)}f_m(x)=-\infty}\,. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ o. } } } { \lim\limits_{x\to+\infty}f_m(x). }$

$\lim\limits_{x\to+\infty}\text e^{-x}=0\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}(1-m\text e^{-x})=1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}\text e^{-x}=0}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\ln(1-m\text e^{-x})=0} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}\text e^{-x}=0}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\Big(x+\ln (1-m\text e ^{-x})\Big)=+\infty} \\\overset{ { \white{ . } } } { \quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f_m(x)=+\infty}}$

D'où $\boxed{f_m\left( ]\ln(m)\;;\;+\infty[\right)=\,]-\infty\;;\;+\infty[\,=\R}\,.$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { f_m }$ réalise une bijection de $\overset{ { \white{ _. } } } { ]\ln(m)\;;\;+\infty[ }$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { f_m\left( ]\ln(-m)\;;\;+\infty[\right)=\,\R}\,.$

3. b) Nous devons établir que pour tout nombre réel $\overset{ { \white{ . } } } { m }$ et pour tout nombre réel $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ élément de $\overset{ { \white{ . } } } { f_m(\text D_m)\,, }$ on a : $\overset{ { \white{ . } } } { f_m^{-1}(x)=f_{-m}(x). }$

Montrons que pour tout nombre réel $\overset{ { \white{ . } } } { m }$ et pour tout nombre réel $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ élément de $\overset{ { \white{ . } } } { f_m(\text D_m)\,, }$ on a : $\overset{ { \white{ . } } } { f_m\Big(f_{-m}(x)\Big)=x. }$

En effet, pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { m\in\R }$ et pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in f_m(\text D_m)\,, }$

$f_m\Big(f_{-m}(x)\Big)=f_m\Big(x+\ln(1+m\,\text e^{-x})\Big) \\\phantom{f_m\Big(f_{-m}(x)\Big)}=\Big(x+\ln(1+m\,\text e^{-x})\Big)+\ln\Big(1-m\,\text e^{-(x+\ln(1+m\,\text e^{-x}))}\big) \\\phantom{f_m\Big(f_{-m}(x)\Big)}=x+\ln(1+m\,\text e^{-x})+\ln\Big(1-m\,\text e^{-x-\ln(1+m\,\text e^{-x})}\Big)$

$\text{Or }\;\text e^{-x-\ln(1+m\,\text e^{-x})}=\dfrac{\text e^{-x}}{\text e^{\ln(1+m\,\text e^{-x})}} \\\phantom{\text{Or }\;\text e^{-x-\ln(1+m\,\text e^{-x})}}=\dfrac{\text e^{-x}}{1+m\,\text e^{-x}}$

$\\\\\text{D'où }\;f_m\Big(f_{-m}(x)\Big)=x+\ln(1+m\,\text e^{-x})+\ln\Big(1-m\times\dfrac{\text e^{-x}} {1+m\,\text e^{-x}}\Big) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\text{D'où }\;f_m\Big(f_{-m}(x)\Big)}=x+\ln(1+m\,\text e^{-x})+\ln\Big(1-\dfrac{m\,\text e^{-x}}{1+m\,\text e^{-x}}\Big)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\text{D'où }\;f_m\Big(f_{-m}(x)\Big)}=x+\ln(1+m\,\text e^{-x})+\ln\Big(\dfrac{1+m\,\text e^{-x}-m\,\text e^{-x}}{1+m\,\text e^{-x}}\Big)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\text{D'où }\;f_m\Big(f_{-m}(x)\Big)}=x+\ln(1+m\,\text e^{-x})+\ln\Big(\dfrac{1}{1+m\,\text e^{-x}}\Big)}$
$\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\text{D'où }\;f_m\Big(f_{-m}(x)\Big)}=x+\ln(1+m\,\text e^{-x})-\ln(1+m\,\text e^{-x})} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\text{D'où }\;f_m\Big(f_{-m}(x)\Big)}=x} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,m\in\R, \forall x\in f_m(\text D_m)\,,f_m\Big(f_{-m}(x)\Big)=x}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\forall\,m\in\R, \forall x\in f_m(\text D_m)\,,\quad f_{-m}(x)=f_m^{-1}(x)} }$

3. c) Nous déduisons de la question précédente que $\overset{ { \white{ . } } } { (C_{-m}) }$ est le symétrique de $\overset{ { \white{ . } } } { (C_{m}) }$ par rapport à la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (D):y=x. }$

4. On suppose que $\overset{ { \white{ . } } } { m }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { p }$ sont des nombres réels strictement positifs.

4. a) Nous devons justifier que $\overset{ { \white{ . } } } { (C_p) }$ est l'image de $\overset{ { \white{ . } } } { (C_1) }$ par la translation $\overset{ { \white{ . } } } { T }$ de vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow u (\ln (p)\,;\,\ln (p) ). }$

Montrons donc que $\overset{ { \white{ . } } } { f_1(x-\ln(p))+\ln(p)=f_p(x). }$

En effet, $\overset{ { \white{ . } } } { \forall\,x>0,\; f_1(x)=x+\ln(1-\text e^{-x}) .}$

Nous obtenons alors :

$f_1(x-\ln(p))=x-\ln(p)+\ln\Big(1-\text e^{-(x-\ln(p))}\Big) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f_1(x-\ln(p))}=x-\ln(p)+\ln\Big(1-\text e^{-x+\ln(p)}\Big)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f_1(x-\ln(p))}=x-\ln(p)+\ln\Big(1-\text e^{-x}\times\text e^{\ln(p)}\Big)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f_1(x-\ln(p))}=x-\ln(p)+\ln\left(1-p\,\text e^{-x}\right)} \\\\\Longrightarrow f_1(x-\ln(p))=x-\ln(p)+\ln\left(1-p\,\text e^{-x}\right) \\\\\Longrightarrow f_1(x-\ln(p))+\ln(p)=x+\ln\left(1-p\,\text e^{-x}\right) \\\\\Longrightarrow \boxed{ f_1(x-\ln(p))+\ln(p)=f_p(x)}$

Par conséquent, l'image de $\overset{ { \white{ . } } } { (C_1) }$ par la translation $\overset{ { \white{ . } } } { T }$ de vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow u (\ln (p)\,;\,\ln (p) ) }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { (C_p) .}$

4. b) Déterminons la translation ${ T' }$ qui transforme $\overset{ { \white{ . } } } { (C_p) }$ en $\overset{ { \white{ . } } } { (C_m). }$

Nous déduisons de la question précédente que :

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ . } } } { (C_m) }$ est l'image de $\overset{ { \white{ . } } } { (C_1) }$ par la translation de vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow u_m (\ln (m)\,;\,\ln (m) ). }$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ . } } } { (C_1) }$ est l'image de $\overset{ { \white{ . } } } { (C_p) }$ par la translation de vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow u_p (-\ln (p)\,;\,-\ln (p) ). }$

Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { (C_m) }$ est l'image de $\overset{ { \white{ . } } } { (C_p) }$ par la translation de vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow u (\ln (m)-\ln(p)\,;\,\ln (m)-\ln(p) ). }$

4 points

exercice 5

On considère l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E) : 4x-y=2 }$ où les inconnues $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { y }$ appartiennent à $\overset{ { \white{ _. } } } { \Z. }$

1. a) Démontrons que si le couple $\overset{ { \white{ . } } } { (x_0, y_0) }$ est une solution de $\overset{ { \white{ . } } } { (E) }$ , alors $\overset{ { \white{ . } } } { y_0 }$ est pair.

Le couple $\overset{ { \white{ . } } } { (x_0, y_0) }$ est une solution de $\overset{ { \white{ . } } } { (E). }$
Donc nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $4x_0-y_0=2\quad\Longleftrightarrow\quad y_0=4x_0-2 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{4x_0-y_0=2}\quad\Longleftrightarrow\quad y_0=2(2x_0-1)}$

Il s'ensuit que $\overset{ { \white{ . } } } { y_0 }$ s'écrit sous la forme $\overset{ { \white{ _. } } } { y_0=2k }$ avec $\overset{ { \white{ _. } } } { k }$ entier.

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { y_0 }$ est pair.

1. b) Déterminons les valeurs possibles de $\overset{ { \white{ . } } } { \text{PGCD}(x_0,y_0). }$

$y_0=4x_0-2\quad\Longrightarrow\quad \text{PGCD}(y_0,x_0)=\text{PGCD}(x_0,-2) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{y_0=4x_0-2}\quad\Longrightarrow\quad \text{PGCD}(y_0,x_0)=\text{PGCD}(x_0,2)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{y_0=4x_0-2}\quad\Longrightarrow\quad \text{PGCD}(x_0,y_0)=\text{PGCD}(x_0,2)}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Si $\overset{ { \white{ . } } } { x_0 }$ est impair, alors $\overset{ { \white{ . } } } { \text{PGCD}(x_0,2)=1. }$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Si $\overset{ { \white{ . } } } { x_0 }$ est pair, alors $\overset{ { \white{ . } } } { \text{PGCD}(x_0,2)=2. }$

Donc $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\text{PGCD}(x_0,y_0)=1\;\text{ou }\; \text{PGCD}(x_0,y_0)=2}\,. }$

2. a) Le couple (1 ; 2) est une solution de $\overset{ { \white{ . } } } { (E) }$ car $\overset{ { \white{ . } } } { 4\times1-2=2. }$

2. b) Résolvons l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E). }$

L'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E) }$ équivaut à $\overset{ { \white{ . } } } { y=-2+4x }$
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E) }$ est $\overset{{\white{.}}}{\boxed{S=\lbrace(k\,;\,-2+4k)\,/\,k\in\Z\rbrace}}$

3. Déterminons l'ensemble des couples $\overset{ { \white{ . } } } { (x\;;\;y) }$ solutions de $\overset{ { \white{ . } } } { (E) }$ tels que $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { y }$ soient premiers entre eux.

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } { y }$ est pair.
Pour que $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { y }$ soient premiers entre eux, il faut que $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ soit un nombre impair, soit de la forme $\overset{ { \white{ . } } } { x=2n+1 }$ où $\overset{ { \white{ . } } } { n\in\N. }$

Donc l'ensemble des couples $\overset{ { \white{ . } } } { (x\;;\;y) }$ solutions de $\overset{ { \white{ . } } } { (E) }$ tels que $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { y }$ soient premiers entre eux est
$\overset{{\white{.}}}{\lbrace(2n+1\,;\,-2+4(2n+1)\,/\,n\in\Z\rbrace}$ soit $\overset{{\white{.}}}{\boxed{\lbrace(2n+1\,;\,8n+2)\,/\,n\in\Z\rbrace}\,.}$

4. ${ \overline{ac2}^3 \text{ et } \overline{baa}^4 }$ sont deux écritures du même entier naturel $\overset{ { \white{ o. } } } { p }$ respectivement en base 3 et en base 4.

4. a) Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } { 3c+2 }$ est multiple de 4.

$p=\overline{ac2}^3 \\\phantom{p}=a\times3^2+c\times3+2 \\\phantom{p}=9a+3c+2 \\\\ p=\overline{baa}^4 \\\phantom{p}=b\times4^2+a\times4+a \\\phantom{p}=16b+4a+a \\\phantom{p}=16b+5a$

Dès lors, par identification, nous obtenons : $\overset{ { \white{ . } } } { 9a+3c+2=16b+5a }$
soit $\overset{ { \white{ . } } } { 3c+2=16b-4a }$
soit $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{3c+2=4(4b-a)} }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { 3c+2 }$ est multiple de 4.

4. b) Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } { 3c+2 }$ est multiple de 4.

$\text{Or }\;0\le c\le9\quad\Longrightarrow\quad 0\le 3c\le27 \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\text{Or }\;0\le c\le9}\quad\Longrightarrow\quad 2\le 3c+2\le29}$

Nous savons donc que $\overset{ { \white{ . } } } { 3c+2 }$ est nombre entier multiple de 4 compris entre 2 et 29.

Donnons comme valeurs à $\overset{ { \white{ . } } } { 3c+2 }$ les multiples de 4 compris entre 2 et 29.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}3c+2=4\quad\Longrightarrow\quad c=\dfrac23\notin\N \\\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\phantom{x}3c+2=8\quad\Longrightarrow\quad \boxed{c=2\in\N}} \\\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\phantom{x}3c+2=12\quad\Longrightarrow\quad c=\dfrac{10}{3}\notin\N} \\\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet\phantom{x}3c+2=16\quad\Longrightarrow\quad c=\dfrac{14}{3}\notin\N} \\\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet\phantom{x}3c+2=20\quad\Longrightarrow\quad c=\dfrac{18}{3}\notin\N} \\\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet\phantom{x}3c+2=24\quad\Longrightarrow\quad c=\dfrac{22}{3}\notin\N} \\\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet\phantom{x}3c+2=28\quad\Longrightarrow\quad c=\dfrac{26}{3}\notin\N}$

Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{c=2}\,. }$

4. c) Déterminons les valeurs de $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ et de $\overset{ { \white{ . } } } { b. }$

$\left\lbrace\begin{matrix}c=2\phantom{WWWW}\\p=9a+3c+2\\p=16b+5a\phantom{xx}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}p=9a+6+2\\p=16b+5a\phantom{xx}\end{matrix}\right..\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}p=9a+8\phantom{x}\\p=16b+5a\end{matrix}\right.$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } { 9a+8=16b+5a }$
soit $\overset{ { \white{ . } } } { 16b-4a=8 }$
soit $\overset{ { \white{ . } } } { 4b-a=2. }$

Nous devons donc déterminer les valeurs entières de $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ et de $\overset{ { \white{ . } } } { b }$ comprises entre 0 et 9 vérifiant l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E) : 4b-a=2 }$ dont les solutions sont les couples $\overset{ { \white{ . } } } { (b, a). }$

Nous avons montré dans la question 2. b) que l'ensemble des solutions de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E) : 4x-y=2 }$ est $\overset{{\white{.}}}{\boxed{S=\lbrace(k\,;\,-2+4k)\,/\,k\in\Z\rbrace}}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Si $\overset{ { \white{ . } } } { k=1\,, }$ alors $\overset{ { \white{ . } } } {-2+4k=2. }$
Donc $\overset{ { \white{ . } } } { b=1 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { a=2. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Si $\overset{ { \white{ . } } } { k=2\,, }$ alors $\overset{ { \white{ . } } } {-2+4k=6. }$
Donc $\overset{ { \white{ . } } } { b=2 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { a=6. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Les autres valeurs de $\overset{ { \white{ _. } } } { k }$ rendent le problème impossible.

Par conséquent, nous obtenons : $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\left\lbrace\begin{matrix}a=2\\b=1\\c=2\end{matrix}\right.} }$ ou $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\left\lbrace\begin{matrix}a=6\\b=2\\c=2\end{matrix}\right.} }$

5. Écrivons $\overset{ { \white{ . } } } { p }$ dans le système décimal.

Premier cas : $\overset{ { \white{ . } } } {a=2\;;\;b=1\;;\;c=2. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet} {\white{x}}p=9a+3c+2=9\times2+3\times2+2=26\quad\Longrightarrow\quad\boxed{p=26}$
ou
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet} {\white{x}}p=16b+5a=16\times1+5\times2=26\quad\Longrightarrow\quad\boxed{p=26}$

Second cas : $\overset{ { \white{ . } } } {a=6\;;\;b=2\;;\;c=2. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet} {\white{x}}p=9a+3c+2=9\times6+3\times2+2=62\quad\Longrightarrow\quad\boxed{p=62}$
ou
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet} {\white{x}}p=16b+5a=16\times2+5\times6=62\quad\Longrightarrow\quad\boxed{p=62}$

5 points

exercice 6

Les données du problème nous conduisent à résoudre l'équation différentielle

$\overset{ { \white{ . } } } { (E): P'(t)=-\lambda\,P(t)\quad\text{où }\lambda=1,2444\times10^{-4}.}$

Les solutions de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { (E): P'(t)=-\lambda\,P(t)}$ sont les fonctions de la forme $\overset{ { \white{ . } } } { P(t)=k\,\text e^{-\lambda t}\quad\text{avec }k\in\R. }$

De plus, $\overset{ { \white{ . } } } { P(0)=k\,\text e^{0}=k\times1=k\quad\Longrightarrow\quad k=P(0). }$
Or $\overset{ { \white{ . } } } { P(0)=P_0. }$

Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{ P(t)=P_0\,\text e^{-\lambda t} }\,.}$

Nous savons que le fragment découvert a une teneur en carbone 14 égale à 70% de celle d'un fragment d'os actuel de même masse pris comme témoin.

Nous avons donc : $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{P(t)=0,7\times P_0 } }$

Il s'ensuit que $\overset{ { \white{ . } } } { P_0\,\text e^{-\lambda t}=0,7\times P_0 }$

Dès lors,

$P_0\,\text e^{-\lambda t}=0,7\times P_0\quad\Longleftrightarrow\quad \text e^{-\lambda t}=0,7 \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P_0\,\text e^{-\lambda t}=0,7\times P_0}\quad\Longleftrightarrow\quad -\lambda t=\ln(0,7)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P_0\,\text e^{-\lambda t}=0,7\times P_0}\quad\Longleftrightarrow\quad t=\dfrac{\ln(0,7)}{-\lambda }} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P_0\,\text e^{-\lambda t}=0,7\times P_0}\quad\Longleftrightarrow\quad t=-\dfrac{\ln(0,7)}{1,2444\times10^{-4}}}$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{t\approx2866,24} }$

Par conséquent, l'âge du fragment d'os découvert par les archéologues est d'environ 2866 ans.

Publié par malou le 16-04-2024

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