Fiche de mathématiques

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Bac Cote d'Ivoire 2023

Série D

Durée : 4 heures

Coefficient : 4

Seules les calculatrices scientifiques non graphiques sont autorisées.

2 points

exercice 1

Soit $f$ une fonction numérique définie et deux (2) fois dérivable sur un intervalle contenant un nombre réel $x_0.$ On désigne par $(C)$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J), $a$ et $b$ sont deux nombres réels tels que : $a < b\;.$ On note $f'$ et $f''$ les dérivées première et seconde respectives de $f\;.$
Ecris sur la feuille de copie, le numéro de chaque proposition suivi de VRAI si la proposition est vraie ou de FAUX si la proposition est fausse.

Proposition n° 1 :
Si $f''(x_0)\neq 0$ , alors $(C)$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse $x_0\;.$

Proposition n° 2 :
Si $f$ est négative sur l'intervalle $[a\,;\,b]$ , alors l'aire (en unité d'aire) de la partie du plan délimitée par $(C)$ , la droite (OI) et les droites d'équations $x=a\text{ et } x=b$ est : $\begin{aligned} -\int_a^b f(t)\;$d$t \end{aligned}.$

Proposition n° 3 :
Si $\forall x \in [a\,;\,b]\;, \mid f'(x)\mid \le m\;, \text{ alors } \mid f(a)-f(b)\mid \le m(a-b)\;, (m\in \textbf R).$

Proposition n° 4 :
Les solutions de l'équation différentielle $f'' + \omega ^2 f = 0 \; (\omega \in \textbf R)$ sont les fonctions de la forme : $x\mapsto A\text e ^{\omega\;x}+ B \text e ^{-\omega\;x}\; (A\in \textbf R, \; B\in \textbf R).$

2 points

exercice 2

Pour chacun des énoncés ci-dessous, les informations des lignes A, B, C et D permettent d'obtenir quatre affirmations dont une seule est vraie.
Ecris, sur ta feuille de copie, le numéro de l'énoncé suivi de la lettre de la ligne qui donne l'affirmation vraie.

Énoncé 1 : Soient $(X;Y)$ une série statistique double et $Cov(X ;Y)$ sa covariance. On note respectivement $V(X) \text{ et } V(Y)$ les variances de $X$ et de $Y\;.$ On admet que $V(X)\neq 0 \text{ et } V(Y) \neq 0\;.$
On appelle coefficient de corrélation linéaire de la série statistique double $(X ; Y)$ , le nombre réel noté $r$ tel que ...
A : $r=\dfrac{Cov(X,Y)}{\sqrt{V(X)V(Y)}}$

B : $r=-\dfrac{Cov(X,Y)}{V(X)V(Y)}$

C : $r=-\dfrac{Cov(X,Y)}{\sqrt{V(X)}\sqrt{V(Y)}}$

D : $r=\dfrac{Cov(X,Y)}{V(X)V(Y)}$

Énoncé 2 :
Une primitive sur R de la fonction $x\mapsto \cos x - x \sin x$ est la fonction ...
A : $x\mapsto \cos x - \sin x$

B : $x\mapsto x\cos x$

C : $x\mapsto \sin x - \cos x$

D : $x\mapsto -x\cos x$

Énoncé 3 :
Si $(u_n)$ est une suite arithmétique de premier terme 3 et de raison 2, alors la somme des $n$ premiers termes consécutifs de cette suite est égale à ...
A : $(n+1)(n+3)$

B : $n(n+2)$

C : $\dfrac{(n+1)(n+3)}{2}$

D : $\dfrac{(n+2)(n+3)}{2}$

Énoncé 4 :
L'ensemble des solutions de l'inéquation : $x\in \textbf R\;, \ln (1-x)<2 \text{ est } \dots$
A: $]1\;;\; \text e ^2 -1[$

B : $]-\infty\;;\; 1-\text e ^2 [$

C : $]1-\text e ^2\;;\; 1 [$

D : $]\text e ^2 -1\;;\;+\infty[$

3 points

exercice 3

Un sondage effectué auprès d'anciens élèves d'un lycée révèle que :

${\white{w}}\bullet\white w$ 55% d'entre eux poursuivent uniquement leurs études dans une université ;

${\white{w}}\bullet\white w$ 10% poursuivent uniquement leurs études dans une grande école ;

${\white{w}}\bullet\white w$ les autres sont sur le marché du travail.

Ce sondage révèle aussi que certains de ces anciens élèves ont fait le choix de vivre en colocation. Il s'agit de :

${\white{w}}\bullet\white w$ 45% des anciens élèves qui poursuivent leurs études dans une université ;

${\white{w}}\bullet\white w$ 30% des anciens élèves qui poursuivent leurs études dans une grande école ;

${\white{w}}\bullet\white w$ 15% des anciens élèves qui sont sur le marché du travail.

On interroge au hasard un ancien élève du lycée.

On considère les événements suivants :

U : "L'ancien élève poursuit ses études dans une université" ;

G : "L'ancien élève poursuit ses études dans une grande école" ;

T : "L'ancien élève est sur le marché du travail" ;

C : "L'ancien élève vit en colocation".

1. Construis un arbre pondéré traduisant la situation.

2. Calcule la probabilité pour que l'ancien élève poursuive ses études dans une université et ait choisi de vivre en colocation.

3. Justifie que la probabilité de l'événement C est égale à 0,33.

4. Un ancien élève vit en colocation. Calcule la probabilité qu'il poursuive ses études dans une université.

3 points

exercice 4

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O ; I , J)$ . On désigne par $\Omega, A \text{ et } B$ les points d'affixe respectives $z_{\Omega}=1+\text i\;,\; z_A=1\;,\; \text{ et } z_B=\dfrac 3 2 +\dfrac 1 2 \text i.$

1. On note $S$ la similitude directe de centre $\Omega$ qui transforme $A$ en $B.$

$\white w$ a. Justifie que : $\dfrac{z_B-z_{\Omega}}{z_A-z_{\Omega}}=\dfrac{\sqrt 2}{2}\text e^{\text i \dfrac {\pi}{4}}}.$

$\white w$ b. Déduis de 1. a. que $S$ a pour rapport $\dfrac{\sqrt 2}{2}$ et pour angle $\dfrac {\pi}{4}}.$

$\white w$ c. Démontre que l'écriture complexe de $S$ est : $z'=\left(\dfrac 1 2 + \dfrac 1 2 \text i\right)\;z +1.$

2. a. Justifie que l'affixe du point $K$ , image du point $J$ par la similitude directe $S$ est : $\dfrac 1 2 + \dfrac 1 2 \text i .$

$\white w$ b. Démontre que les points $O\;,\; K \text{ et } \Omega$ sont alignés.

5 points

exercice 5

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $[0; +\infty[$ par : $f(x)=x\text e ^{-x}.$

On note $(C)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé (0; I, J). L'unité graphique est : 2 cm.

1. a. Détermine la limite de $f$ en $+\infty.$

$\white w$ b. On admet que $f$ est dérivable sur $[0; +\infty[$ .

$\white w$ Justifie que : $\forall x \in [0; +\infty[\;,\; f'(x)=(1-x)\text e ^{-x}.$

$\white w$ c. Démontre que $f$ est strictement croissante sur ]0 ; 1[ et strictement décroissante sur $]1; +\infty[.$

$\white w$ d. Dresse le tableau de variation de $f.$

$\white w$ e. Construis $(C)$ dans le repère (0; I, J).

2. Démontre que l'équation $f(x)=\dfrac 1 4$ admet une unique solution $\alpha$ dans ]0 ; 1[.

3. On considère la suite $(u_n)$ définie par : $\left\lbrace\begin{matrix} u_0 &= &\alpha & \\ \forall n\in\textbf N\;,& u_{n+1}& =& u_n\text e^{-u_n} \end{matrix}\right.$

$\white w$ a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n\,, u_n>0.$

$\white w$ b. Démontre que la suite $(u_n)$ est décroissante.

$\white w$ c. Justifie que la suite $(u_n)$ est convergente.

$\white w$ d. Détermine la limite de la suite $(u_n).$

5 points

exercice 6

Une coopérative agricole possède un terrain qui a la forme d'un quart de disque de rayon 1 km représenté par la figure ci-après qui n'est pas en grandeurs réelles.

Elle veut partager son terrain en trois parcelles pour y cultiver respectivement des tomates, des aubergines et des patates;
La parcelle hachurée est réservée à la culture des tomates. La coopérative souhaite que l'aire de cette parcelle soit maximale.

L'agent de l'agriculture chargé de la mise en valeur de ces trois parcelles informa la coopérative que l'aire de la partie réservée à la culture des tomates est égale à

$\dfrac{x\sqrt{1-x}}{2}\text{ , où } x=OH \text{ et } x\in [0 ; 1].$

Le gérant de la coopérative ne sachant comment déterminer l'aire maximale, te sollicite.
A l'aide d'une production argumentée basée sur tes connaissances mathématiques, réponds à la préoccupation du gérant de la coopérative.

Voir la correction

Bac Cote d'Ivoire série D

2 points

exercice 1

Soit $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ une fonction numérique définie et deux (2) fois dérivable sur un intervalle contenant un nombre réel $\overset{ { \white{ . } } } { x_0 }$ . On désigne par $\overset{ { \white{ . } } } { (C) }$ la courbe représentative de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J), $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { b }$ sont deux nombres réels tels que : $\overset{ { \white{ _. } } } { a < b\;. }$ On note $\overset{ { \white{ . } } } { f' }$ et $\overset{ { \white{ . } } } {f'' }$ les dérivées première et seconde respectives de $\overset{ { \white{ . } } } { f. }$

Proposition n° 1 : Si $\overset{ { \white{ . } } } { f''(x_0)\neq 0 }$ , alors $\overset{ { \white{ . } } } { (C) }$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse $\overset{ { \white{ . } } } { x_0\,. }$
Proposition fausse.

En effet, la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (C) }$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse $\overset{ { \white{ . } } } { x_0 }$ si et seulement si $\overset{ { \white{ . } } } { f'' }$ s'annule et change de signe en $\overset{ { \white{ . } } } { x_0\,. }$

Proposition n° 2 : Si $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est négative sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [a\,;\,b] }$ , alors l'aire (en unité d'aire) de la partie du plan délimitée par $\overset{ { \white{ . } } } { (C) }$ , la droite (OI) et les droites d'équations $\overset{ { \white{ _. } } }{ x=a\text{ et } x=b }$ est : $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{aligned} -\int_a^b f(t)\;$d$t \end{aligned}. }$
Proposition vraie.

En effet, une aire reste toujours positive alors qu'une intégrale d'une fonction négative est négative.

Proposition n° 3 : Si $\overset{ { \white{ . } } } { \forall\, x \in [a\,;\,b]\;, \mid f'(x)\mid \le m\;,}$ alors $\overset{ { \white{ . } } } {\mid f(a)-f(b)\mid \le m(a-b)\;, (m\in \R). }$
Proposition fausse.

Donnons un contre-exemple montrant que cette dernière proposition est fausse.
Soit la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f:x\mapsto f(x)=x^2 }$ définie sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [a\;;\;b]=[0\;;\;1]. }$

$\forall\,x\in[0\;;\;1],\;f'(x)=2x.$

$\overset{ { \white{ . } } } {\forall\,x\in[0\;;\;1],\;0\le x\le 1\quad\Longrightarrow\quad 0\le 2x\le2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\forall\,x\in[0\;;\;1],\;0\le x\le 1}\quad\Longrightarrow\quad 0\le |2x|\le2} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\forall\,x\in[0\;;\;1],\;0\le x\le 1}\quad\Longrightarrow\quad |f'(x)|\le2}$

Soit $\overset{ { \white{ . } } } { m=2. }$

Dans ce cas, nous obtenons : $\overset{ { \white{ . } } } { \forall\,x\in[0\;;\;1],\; |f'(x)|\le m. }$

De plus,

$\left\lbrace\begin{matrix}|f(a)-f(b)|=|0^2-1^2|=|-1| \\\overset{ { \white{ . } } } { m=1\phantom{WWWWWWWWWW}} \\\overset{ { \white{ . } } } { a-b=0-1\phantom{WWWWWWW}} \end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}|f(a)-f(b)|=1 \\\overset{ { \white{ . } } } { m=1\phantom{WWWW}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { a-b=-1\phantom{WW}} \end{matrix}\right.$

Dans ce cas, $\overset{ { \white{ . } } } { |f(a)-f(b)|\le m(a-b) }$ se traduirait par $\overset{ { \white{ . } } } { 1\le -1 }$ , ce qui est faux.

Dès lors, la proposition n° 4 est fausse.

En fait, l'inégalité des accroissements finis est la suivante :

Si $\overset{ { \white{ . } } } { \forall\, x \in [a\,;\,b]\;, \mid f'(x)\mid \le m\;,}$ alors $\overset{ { \white{ . } } } {\mid f(a)-f(b)\mid \le m(b-a)\;, (m\in \R). }$

Proposition n° 4 : Les solutions de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { f'' + \omega ^2 f = 0 \; (\omega \in \R) }$ sont les fonctions
de la forme : $\overset{ { \white{ . } } } { x\mapsto A\text e ^{\omega\;x}+ B \text e ^{-\omega\;x}\; (A\in \R, \; B\in \R).}$
Proposition fausse.

En effet,

$f(x)=A\,\text e ^{\omega\;x}+ B\, \text e ^{-\omega\;x}\quad\Longrightarrow\quad f'(x)=A\,\omega\;\text e ^{\omega\;x}- B\,\omega\; \text e ^{-\omega\;x} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f(x)=A\,\text e ^{\omega\;x}+ B\, \text e ^{-\omega\;x}}\quad\Longrightarrow\quad f''(x)=A\,\omega^2\;\text e ^{\omega\;x}+ B\,\omega^2\; \text e ^{-\omega\;x}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f(x)=A\,\text e ^{\omega\;x}+ B\, \text e ^{-\omega\;x}}\quad\Longrightarrow\quad f''(x)=\omega^2\;(A\,\text e ^{\omega\;x}+ B\; \text e ^{-\omega\;x})} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f(x)=A\,\text e ^{\omega\;x}+ B\, \text e ^{-\omega\;x}}\quad\Longrightarrow\quad f''(x)=\omega^2\;f(x)}$

Il s'ensuit que $\overset{ { \white{ . } } } { f''(x)+\omega^2\;f(x)=2\omega^2\,f(x){\red{\;\neq0}} }$
Dès lors, la proposition n° 4 est fausse.

En fait, les solutions de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { f'' + \omega ^2 f = 0 \; (\omega \in \R) }$ sont les fonctions de la forme : $\overset{ { \white{ . } } } { x\mapsto A\cos(\omega\;x)+ B \sin(\omega\;x)\; (A\in \R, \; B\in \R).}$

2 points

exercice 2

Énoncé 1 :
Soient $\overset{ { \white{ . } } } { (X;Y) }$ une série statistique double et $\overset{ { \white{ . } } } { \text{Cov}(X ;Y) }$ sa covariance. On note respectivement $\overset{ { \white{ . } } } { V(X) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { V(Y) }$ les variances de $\overset{ { \white{ . } } } { X }$ et de $\overset{ { \white{ . } } } { Y\,. }$ On admet que $\overset{ { \white{ . } } } { V(X)\neq 0 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { V(Y) \neq 0\;. }$ On appelle coefficient de corrélation linéaire de la série statistique double $\overset{ { \white{ . } } } { (X;Y), }$ le nombre réel noté $\overset{ { \white{ . } } } { r }$ tel que $\overset{ { \white{ o. } } } { {\red{r=\dfrac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{V(X)V(Y)}}}}}. }$
Proposition A.

Énoncé 2 :
Une primitive sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { x\mapsto \cos x - x \sin x }$ est la fonction $\overset{ { \white{ . } } } {{ \red{x\mapsto x\,\cos x }}.}$
Proposition B.

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $\forall\,x\in\R, \quad(x\,\cos x)'=x'\times \cos x+x\times(\cos x)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\forall\,x\in\R, \quad (x\,\cos x)'}=1\times \cos x+x\times(-\sin x)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\forall\,x\in\R, \quad (x\,\cos x)'}= \cos x-x\,\sin x} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\R, \quad(x\,\cos x)'=\cos x-x\,\sin x}$

Énoncé 3 :
Si $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est une suite arithmétique de premier terme 3 et de raison $\overset{ { \white{ . } } } { r=2 }$ , alors la somme $\overset{ { \white{ . } } } { S }$ des $\overset{ { \white{ . } } } { n}$ premiers termes consécutifs de cette suite est égale à $\overset{ { \white{ . } } } {{\red{n(n+2)}}. }$
Proposition B.

En effet, $\overset{ { \white{ . } } } { S=n\times \dfrac{u_1+u_n}{2} }$

${ \white{ xxi } }$ $\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}u_1=3\phantom{WWWWWW}\\\overset{ { \white{ . } } } { u_n=u_1+(n-1)\times r}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}u_1=3\phantom{WWWWWW}\\\overset{ { \white{ . } } } { u_n=3+(n-1)\times 2}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWt}\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}u_1=3\phantom{WW}\\\overset{ { \white{ . } } } { u_n=2n+1}\end{matrix}\right.$

${ \white{ xxi } }$ $\text{D'où }\;S=n\times\dfrac{3+(2n+1)}{2}=n\times\dfrac{2n+4}{2}=n\times\dfrac{2(n+2)}{2} \\\\\Longrightarrow\boxed{S=n(n+2)}$

Énoncé 4 :
L'ensemble des solutions de l'inéquation : $\overset{ { \white{ . } } } { x\in \R\;, \ln (1-x)<2 }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { {\red{]1-\text e ^2\;;\; 1 [}}. }$
Proposition B.

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $\ln (1-x)<2\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}1-x>0\\1-x<\text e^2\end{matrix}\right. \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\ln (1-x)<2}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}-x>-1\phantom{xxxx}\\-x<-1+\text e^2\end{matrix}\right.} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\ln (1-x)<2}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x<1\phantom{xxxx}\\x>1-\text e^2\end{matrix}\right.}\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\ln (1-x)<2}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x\in\;]\,1-\text e^2\;;\;1\,[}}$

3 points

exercice 3

Un sondage effectué auprès d'anciens élèves d'un lycée révèle que :

${\white{w}}\bullet\white w$ 55% d'entre eux poursuivent uniquement leurs études dans une université ;
${\white{w}}\bullet\white w$ 10% poursuivent uniquement leurs études dans une grande école ;
${\white{w}}\bullet\white w$ les autres sont sur le marché du travail.

Ce sondage révèle aussi que certains de ces anciens élèves ont fait le choix de vivre en colocation. Il s'agit de :

${\white{w}}\bullet\white w$ 45% des anciens élèves qui poursuivent leurs études dans une université ;
${\white{w}}\bullet\white w$ 30% des anciens élèves qui poursuivent leurs études dans une grande école ;
${\white{w}}\bullet\white w$ 15% des anciens élèves qui sont sur le marché du travail.

On interroge au hasard un ancien élève du lycée. On considère les événements suivants :

U : ''L'ancien élève poursuit ses études dans une université'' ;
G : ''L'ancien élève poursuit ses études dans une grande école'' ;
T : ''L'ancien élève est sur le marché du travail'' ;
C : ''L'ancien élève vit en colocation''.

1. Construisons un arbre pondéré traduisant la situation.

2. Nous devons calculer la probabilité pour que l'ancien élève poursuive ses études dans une université et ait choisi de vivre en colocation.

Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { P(U\cap C). }$

$P(U\cap C)=P(U)\times P_U(C) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ P(U\cap C)}=0,55\times 0,45} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ P(U\cap C)}=0,2475} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(U\cap C)=0,2475}$

Par conséquent, la probabilité pour que l'ancien élève poursuive ses études dans une université et ait choisi de vivre en colocation est égale à 0,2475.

3. Nous devons déterminer $\overset{ { \white{ . } } } { P(C). }$

Les événements $\overset{{\white{.}}}{U,\;G}$ et $\overline{T}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(C)=P(U\cap C)+P(G\cap C)+P(T\cap C) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(D)}=0,2475+P(G)\times P_G(C)+P(T)\times P_T(C)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(D)}=0,2475+0,1\times0,3+0,35\times0,15} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(D)}=0,33} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(C)=0,33}$
Par conséquent, la probabilité que l'ancien élève vive en colocation est égale à 0,33.

4. Un ancien élève vit en colocation. Calculons la probabilité qu'il poursuive ses études dans une université.

Nous devons déterminer $\overset{{\white{.}}}{P_C(U).}$

${ \white{ xxi } }$ $P_{_C}(U)=\dfrac{P(U\cap C)}{P(C)}=\dfrac{0,2475}{0,33}=0,75 \\\\\Longrightarrow\boxed{P_{_C}(U)=0,75}$

D'où, la probabilité qu'un ancien élève vivant en colocation poursuive ses études dans une université est égale à 0,75.

3 points

exercice 4

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\overset{ { \white{ . } } } { (O ; I , J). }$ On désigne par $\overset{ { \white{ . } } } { \Omega, A }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { B }$ les points d'affixe respectives $\overset{ { \white{ . } } } { z_{\Omega}=1+\text i\;,\; z_A=1\;,}$ et $\overset{ { \white{ . } } } { z_B=\dfrac 3 2 +\dfrac 1 2\, \text i. }$

1. On note $\overset{ { \white{ _. } } } { S }$ la similitude directe de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }$ qui transforme $\overset{ { \white{_. } } } { A }$ en $\overset{ { \white{ _. } } } { B. }$

1. a) Nous devons justifier que : $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{z_B-z_{\Omega}}{z_A-z_{\Omega}}=\dfrac{\sqrt 2}{2}\,\text e^{\text i \frac {\pi}{4}}}. }$

D'une part,
${ \white{ xxi } }$ $\dfrac{z_B-z_{\Omega}}{z_A-z_{\Omega}}=\dfrac{\left(\dfrac 3 2 +\dfrac 1 2\, \text i\right)-(1+\text i)}{1-(1+\text i)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\dfrac{z_B-z_{\Omega}}{z_A-z_{\Omega}}}=\dfrac{\dfrac 12 -\dfrac 1 2\,\text i}{-\text i} =\dfrac{\left(\dfrac 12 -\dfrac 1 2\,\text i\right){\red{\times\text i}}}{-\text i{\red{\,\times\text i}}} } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\dfrac{z_B-z_{\Omega}}{z_A-z_{\Omega}}}=\dfrac 12+\dfrac12\,\text i} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\dfrac{z_B-z_{\Omega}}{z_A-z_{\Omega}}=\dfrac 12+\dfrac12\,\text i}$

D'autre part,

${ \white{ xxi } }$ $\dfrac{\sqrt 2}{2}\,\text e^{\text i \frac {\pi}{4}}=\dfrac{\sqrt 2}{2}\,\left(\cos \dfrac {\pi}{4}+\text i\,\sin \dfrac {\pi}{4}\right) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\dfrac{\sqrt 2}{2}\,\text e^{\text i \frac {\pi}{4}}}=\dfrac{\sqrt 2}{2}\,\left(\dfrac{\sqrt 2}{2}+\text i\,\dfrac{\sqrt 2}{2}\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\dfrac{\sqrt 2}{2}\,\text e^{\text i \frac {\pi}{4}}}=\dfrac 12+\dfrac12\,\text i} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\dfrac{\sqrt 2}{2}\,\text e^{\text i \frac {\pi}{4}}=\dfrac 12+\dfrac12\,\text i}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ \dfrac{z_B-z_{\Omega}}{z_A-z_{\Omega}}=\dfrac{\sqrt 2}{2}\,\text e^{\text i \frac {\pi}{4}}}}\,. }$

1. b) De la question précédente, nous déduisons que :

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ le rapport de la similitude $\overset{ { \white{ _. } } } { S }$ est ${ k=\dfrac{\Omega B}{\Omega A}=\left|\dfrac{z_B-z_{\Omega}}{z_A-z_{\Omega}}\right|=\dfrac{\sqrt2}{2}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{k=\dfrac{\sqrt 2 }{2}}. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ l'angle de la similitude $\overset{ { \white{ _. } } } { S }$ est $\overset{ { \white{ . } } } {\theta=\text{mes}\left(\widehat{\overrightarrow{\Omega A}\,;\overrightarrow{\Omega B}}\right)=\arg\left(\dfrac{z_B-z_{\Omega}}{z_A-z_{\Omega}}\right)=\dfrac{\pi}{4}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\theta=\dfrac{\pi }{4}}.}$
1. c) Démontrons que l'écriture complexe de $\overset{ { \white{ _. } } } { S }$ est : $\overset{ { \white{ . } } } { z'=\left(\dfrac 1 2 + \dfrac 1 2 \text i\right)\;z +1. }$

L'écriture complexe de la similitude $\overset{ { \white{ _. } } } { S }$ est de la forme $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{z'=az+b} }$ avec $\overset{ { \white{ _. } } } { a\in\C^* }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { b\in \C. }$

La similitude $\overset{ { \white{ _. } } } { S }$ transforme $\overset{ { \white{_. } } } { A }$ en $\overset{ { \white{ _. } } } { B. }$
Dès lors, $\overset{ { \white{ _. } } } { z_B=az_A+b. }$

Le point $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }$ est le centre de la similitude $\overset{ { \white{ _. } } } { S. }$
Dès lors, $\overset{ { \white{ _. } } } { z_{\Omega}=az_{\Omega}+b. }$

Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}z_B=az_A+b\\z_{\Omega}=az_{\Omega}+b\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad z_B-z_{\Omega}=a\left(z_A-z_{\Omega}\right) \\\\\phantom{WWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{z_B-z_{\Omega}}{z_A-z_{\Omega}}=a \\\\\phantom{WWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{a=\dfrac 12+\dfrac12\,\text i}\quad(\text{voir question 1. a})$

$z_B=az_A+b\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac 32+\dfrac 12\,\text i=\left(\dfrac 12+\dfrac12\,\text i\right)\times1+b \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{z_B=az_A+b}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac 32+\dfrac 12\,\text i=\dfrac 12+\dfrac12\,\text i+b} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{z_B=az_A+b}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{b=1}}$

Par conséquent, l'écriture complexe de $\overset{ { \white{ _. } } } { S }$ est : $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{z'=\left(\dfrac 1 2 + \dfrac 1 2 \text i\right)\,z +1}\,. }$

2. a) Justifie que l'affixe du point $\overset{ { \white{ . } } } { K }$ , image du point $\overset{ { \white{ . } } } { J }$ par la similitude directe $\overset{ { \white{ . } } } {S }$ est : $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac 1 2 + \dfrac 1 2 \text i . }$

En effet, nous savons que l'affixe du point $\overset{ { \white{ . } } } { J }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { z_J=\text i. }$
Dès lors,
${ \white{ xxi } }$ $K=S(J)\quad\Longleftrightarrow\quad z_K=\left(\dfrac 1 2 + \dfrac 1 2\, \text i\right)z_J +1 \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{K=S(J)}\quad\Longleftrightarrow\quad z_K=\left(\dfrac 1 2 + \dfrac 1 2 \text i\right)\text i +1} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{K=S(J)}\quad\Longleftrightarrow\quad z_K=\dfrac 1 2\, \text i- \dfrac 1 2 +1} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{K=S(J)}\quad\Longleftrightarrow\quad z_K=\dfrac 1 2+\dfrac 1 2\, \text i} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{z_K=\dfrac 1 2+\dfrac 1 2\, \text i}$

2. b) Nous devons démontrer que les points $\overset{ { \white{ . } } } { O,\,K }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }$ sont alignés.

${ \white{ xxi } }$ $\arg\left(\dfrac{z_K-z_O}{Z_{\Omega}-z_O}\right)=\arg\left(\dfrac{\dfrac 1 2+\dfrac 1 2\, \text i-0}{1+\text i-0}\right) \\\phantom{\arg\left(\dfrac{z_K-z_O}{Z_{\Omega}-z_O}\right)}=\arg\left(\dfrac{\dfrac 1 2(1+ \text i)}{1+\text i}\right) \\\phantom{\arg\left(\dfrac{z_K-z_O}{Z_{\Omega}-z_O}\right)}=\arg\left(\dfrac 1 2\right) \\\phantom{\arg\left(\dfrac{z_K-z_O}{Z_{\Omega}-z_O}\right)}\equiv0\,[2\pi] \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\arg\left(\dfrac{z_K-z_O}{Z_{\Omega}-z_O}\right)\equiv0\,[2\pi]}$

Par conséquent, les points $\overset{ { \white{ . } } } { O,\,K }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }$ sont alignés.

5 points

exercice 5

Soit $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ la fonction numérique définie sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0; +\infty[ }$ par : $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=x\text e ^{-x}. }$

1. a) Nous devons déterminer la limite de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ en $\overset{ { \white{ . } } } {+\infty. }$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty}\text e^{-x}=0\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}x\,\text e^{-x}=0\quad(\text{croissances comparées})$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0}\,. }$

1. b) On admet que $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[. }$

Déterminons l'expression algébrique de $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in [0\;;\;+\infty[\,, }$

$f'(x)=(x\,\text e^{-x})'=x'\times\text e^{-x}+x\times(\text e^{-x})' \\\phantom{f'(x)=(x\,\text e^{-x})'}=1\times\text e^{-x}+x\times(-\text e^{-x}) \\\phantom{f'(x)=(x\,\text e^{-x})'}=(1-x)\,\text e^{-x} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{\forall\,x\in[0\;;\;+\infty[\,,\;f'(x)=(1-x)\,\text e^{-x}}$

1. c) Étudions le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[. }$

L'exponentielle est strictement positive sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [0\;;\;+\infty[.}$
Dès lors le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x)}$ est le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { (1-x).}$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{matrix}1-x<0\Longleftrightarrow x>1\\\overset{ { \white{.} } } {1-x=0\Longleftrightarrow x=1} \\\overset{ { \phantom{.} } } {1-x>0\Longleftrightarrow x<1}\end{matrix} \begin{matrix}\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&&1&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &&&&&&&\\1-x&&+&+&0&-&-&\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&\\f'(x)&&+&+&0&-&-&\\&&&&&&&\\\hline \end{array}$

Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est strictement croissante sur ]0 ; 1[ et strictement décroissante sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]1; +\infty[\,. }$

1. d) Dressons le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } { f. }$

${ \white{ WWWWW} } \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&&1&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &&&&&&&\\f'(x)&&+&+&0&-&-&\\&&&&&&&\\\hline&&&&\text e^{-1}=\dfrac{1}{\text e}\approx0,37&&&\\f(x)&&\nearrow&\nearrow&&\searrow&\searrow&\\&0&&&&&&0\\\hline \end{array}$

1. e) Construisons $\overset{ { \white{ . } } } { (C) }$ dans le repère (0; I, J).

2. Démontrons que l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=\dfrac 1 4}$ admet une unique solution $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha }$ dans ]0 ; 1[.

La fonction f est continue et strictement croissante sur $\overset{ { \white{ _. } } } { ]\,0\;;\;1\,[. }$
Il s'ensuit que f réalise une bijection de $\overset{ { \white{ . } } } { ]\,0\;;\;1\,[}$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { f\left( ]\,0\;;\;1\,[\right)=\,]\,0\;;\;\dfrac{1}{\text e}\,[}$
Or $\overset{ { \white{ . } } } {\dfrac 14\in\,]\,0\;;\;\dfrac{1}{\text e}\,[\,. }$
Dès lors, l'équation $\overset{ { \white{ . } } }{f(x)=\dfrac 1 4}$ admet une unique solution $\overset{ { \white{ . } } }{\alpha}$ dans $\overset{ { \white{ . } } }{ ]\,0\;;\;1\,[\,.}$

3. On considère la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ définie par : $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix} u_0 =\alpha \phantom{WWWWW} \\ u_{n+1} = u_n\,\text e^{-u_n}\quad\forall n\in\textbf N \end{matrix}\right. }$

3. a) Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n\,, u_n>0. }$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que $\overset{{\white{.}}}{u_0>0.}$
C'est une évidence car $\overset{{\white{.}}}{u_0=\alpha\in\,]0\;;\;1\,[\quad\Longrightarrow\quad u_0>0.}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, $\overset{{\white{.}}}{u_n>0}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{u_{n+1}>0 .}$
En effet,

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}u_n>0\\\text e^{-u_n}>0\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad u_n\,\text e^{-u_n}>0 \\\\\phantom{WxWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{u_{n+1}>0}$
L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n\,, u_n>0. }$

3. b) Démontrons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est décroissante.

$\forall\,n\in\N,\;u_{n+1}-u_n= u_n\,\text e^{-u_n}-u_n \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\forall\,n\in\N,\;u_{n+1}-u_n}= u_n\,\left(\text e^{-u_n}-1\right)} \\\\\text{Or }\;u_n>0\quad\Longrightarrow\quad -u_n<0 \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\text{Or }\;u_n>0}\quad\Longrightarrow\quad \text e^{-u_n}<1} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\text{Or }\;u_n>0}\quad\Longrightarrow\quad \text e^{-u_n}-1<0} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\text{Or }\;u_n>0}\quad\Longrightarrow\quad u_n\,\left(\text e^{-u_n}-1\right)<0} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\text{Or }\;u_n>0}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{u_{n+1}-u_n<0}}$
Nous en déduisons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est décroissante.

3. c) La suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est décroissante et minorée par 0.
${ \white{ xxxi } }$ Cette suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est donc convergente.

3. d) Nous devons déterminer la limite de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n). }$

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est continue sur $\overset{{\white{.}}}{[0\;;\;+\infty\,[} .$
La suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est définie par la relation de récurrence : $\overset{ { \white{ . } } } { u_{n+1}=f(u_n). }$
Nous savons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est convergente vers une limite notée $\overset{{\white{_.}}}{\ell}$ .
Selon le théorème du point fixe, nous déduisons que $\overset{{\white{_.}}}{\ell}$ vérifie la relation $\overset{{\white{.}}}{\ell=f(\ell).}$

${ \white{ xxi } }$ $\ell=f(\ell)\quad\Longleftrightarrow\quad\ell= \ell\,\text e^{-\ell} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\ell=f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow\quad\ell-\ell\,\text e^{-\ell}=0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\ell=f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow\quad\ell\,(1-\,\text e^{-\ell})=0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\ell=f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow\quad\ell=0\quad\text{ou}\quad\,1-\,\text e^{-\ell}=0}$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\ell=f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow\quad\ell=0\quad\text{ou}\quad\,\,\text e^{-\ell}=1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\ell=f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow\quad\ell=0\quad\text{ou}\quad\,\,\ell=0} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\ell=f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\ell=0}} \\.$
D'où $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0}}$

5 points

exercice 6

L'aire de la partie réservée à la culture des tomates est égale à

$\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{x\sqrt{1-x}}{2}\text{ , où } x=OH \text{ et } x\in [0 ; 1]. }$
Soit la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ définie sur [0 ; 1] par : ${ f(x)=\dfrac{x\sqrt{1-x}}{2}. }$
Étudions les variations de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est dérivable sur [0 ; 1[ .
Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in [0\;;\;1[, }$

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=\dfrac{1}{2}\times(x\,\sqrt{1-x})' \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f'(x)}=\dfrac{1}{2}\times\Big(x'\times\sqrt{1-x}+x\times(\sqrt{1-x})' \Big)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f'(x)}=\dfrac{1}{2}\times\Big(1\times\sqrt{1-x}+x\times\Big(\dfrac{-1}{2\sqrt{1-x}}\Big) \Big)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f'(x)}=\dfrac{1}{2}\times\Big(\sqrt{1-x}-\dfrac{x}{2\sqrt{1-x}}\Big) }$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f'(x)}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2(1-x)-x}{2\sqrt{1-x}}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f'(x)}=\dfrac{2-3x}{4\sqrt{1-x}}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in [0\;;\;1[,\;f'(x)=\dfrac{2-3x}{4\sqrt{1-x}}}$

Étudions le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ sur [0 ; 1[.

$\begin{matrix}2-3x<0\Longleftrightarrow 3x>2\\\phantom{WWWW}\Longleftrightarrow x>\dfrac23\\\overset{ { \white{.} } } {2-3x=0\Longleftrightarrow x=\dfrac23} \\\overset{ { \phantom{.} } } {2-3x>0\Longleftrightarrow x<\dfrac23}\end{matrix} \begin{matrix}\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&&\dfrac23&&&1&&&&&&&& \\\hline &&&&&&&\\2-3x&+&+&+&0&-&-&-\\4\sqrt{1-x}&+&+&+&+&+&+&0\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&||\\f'(x)&+&+&+&0&-&-&||\\&&&&&&&||\\\hline \end{array}$

Nous en déduisons le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ sur [0 ; 1].

${ \white{ WWWWWWW} }$ $\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&&\dfrac23&&&1&&&&&&&& \\\hline&&&&&&&||\\f'(x)&+&+&+&0&-&-&||\\&&&&&&&||\\\hline&&&&\dfrac{\sqrt3}{9}\approx0,19&&&\\f(x)&&\nearrow&\nearrow&&\searrow&\searrow&\\&0&&&&&&0\\\hline \end{array}$

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ admet un maximum pour $\overset{ { \white{ . } } } { x=\dfrac 23. }$
Ce maximum est égal à $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{\sqrt3}{9}. }$

Le terrain de la coopérative a la forme d'un disque de rayon 1 km.
Ci-dessous la figure représentant le terrain divisé en trois parcelles.
La parcelle colorée en rouge est réservée à la culture des tomates.

L'aire de cette parcelle sera maximale si $\overset{ { \white{ . } } } { OH=\dfrac23\,\text{km.} }$

Publié par malou le 05-04-2024

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