Fiche de mathématiques

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Bac Maroc 2023

Série: Sciences économiques

Durée : 2 heures
Coefficient : 4

Bac Maroc 2023 Économie et gestion : image 1

Bac Maroc 2023 Économie et gestion : image 2

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Bac Maroc 2023 Économie et gestion

2 points

exercice 1

Soit $\overset{ { \white{ . } } } {(w_n)_{n\in\N} }$ la suite définie par : $\overset{ { \white{ . } } } { w_0=1 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { w_{n+1}=\dfrac27w_n+1 }$ pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { n\in\N. }$

1. Montrons par récurrence que ${ w_n<\dfrac75 }$ pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ de $\overset{ { \white{ _. } } } { \N. }$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que $\overset{{\white{.}}}{w_0<\dfrac75.}$
C'est une évidence car $\overset{{\white{.}}}{w_0=1\quad\Longrightarrow\quad w_0<\dfrac75.}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, $\overset{{\white{.}}}{w_n<\dfrac75}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{w_{n+1}<\dfrac75 .}$
En effet,

${ \white{ xxi } }$ $w_n<\dfrac75\quad\Longrightarrow\quad \dfrac27\,w_n<\dfrac27\times\dfrac75 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{w_n<\dfrac75}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac27\,w_n<\dfrac25} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{w_n<\dfrac75}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac27\,w_n+1<\dfrac25+1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{w_n<\dfrac75}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{w_{n+1}<\dfrac75}}$
L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n\,, w_n<\dfrac75 . }$

2. a) Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } {(w_n)_{n\in\N} }$ est une suite croissante.

Pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { n\in\N, }$

${ \white{ xxi } }$ $w_{n+1}-w_n=\left(\dfrac27\,w_n+1\right)-w_n \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{w_{n+1}-w_n}=1-\dfrac57\,w_n}$

${ \white{ xxi } }$ $\text{Or }\;w_n<\dfrac75\quad\Longrightarrow\quad -\dfrac57\,w_n>\left(-\dfrac57\right)\times\dfrac75 \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\text{Or }\;w_n<\dfrac75}\quad\Longrightarrow\quad -\dfrac57\,w_n>-1} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\text{Or }\;w_n<\dfrac75}\quad\Longrightarrow\quad 1-\dfrac57\,w_n>0} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\text{Or }\;w_n<\dfrac75}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{w_{n+1}-w_n>0}}$

Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } {(w_n)_{n\in\N} }$ est une suite croissante.

2. b) La suite $\overset{ { \white{ . } } } { (w_n)_{n\in\N} }$ est croissante et majorée par $\dfrac75.$
${ \white{ xxxi } }$ Cette suite $\overset{ { \white{ . } } } { (w_n)_{n\in\N} }$ est donc convergente.

3 points

exercice 2

Soit $\overset{ { \white{ . } } } {(u_n)_{n\in\N} }$ la suite définie par : $\overset{ { \white{ . } } } { u_0=0 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { u_{n+1}=\dfrac{3+7u_n}{7+3u_n} }$ pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { n\in\N. }$

1. Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { u_1 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { u_2. }$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}u_{1}=\dfrac{3+7u_0}{7+3u_0}=\dfrac{3+0}{7+0}=\dfrac37\quad\Longrightarrow\quad\boxed{u_1=\dfrac37} \\\\\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\white{x}}u_{2}=\dfrac{3+7u_1}{7+3u_1}=\dfrac{3+7\times\dfrac37}{7+3\times\dfrac37}=\dfrac{3+3}{7+\dfrac97}=\dfrac{6}{\dfrac{58}{7}}=\dfrac{42}{58}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{u_2=\dfrac{21}{29}}$

2. On pose $\overset{ { \white{ . } } } { v_n=\dfrac{1-u_n}{1+u_n} }$ pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ de $\overset{ { \white{ . } } } { \N. }$

2. a) Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { v_0. }$

${ \white{ xxi } }$ $v_0=\dfrac{1-u_0}{1+u_0}=\dfrac{1-0}{1+0}=1\quad\Longrightarrow\quad\boxed{v_0=1}\,.$

2. b) Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } {(v_n)_{n\in\N} }$ est une suite géométrique de raison $\overset{ { \white{ . } } } {\dfrac25. }$

$v_{n+1}=\dfrac{1-u_{n+1}}{1+u_{n+1}}=\dfrac{1-\frac{3+7u_n}{7+3u_n}}{1+\frac{3+7u_n}{7+3u_n}}=\dfrac{\frac{(7+3u_n)-(3+7u_n)}{7+3u_n}}{\frac{(7+3u_n)+(3+7u_n)}{7+3u_n}}=\dfrac{7+3u_n-3-7u_n}{7+3u_n+3+7u_n} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{v_{n+1}}=\dfrac{4-4u_n}{10+10u_n} =\dfrac{4(1-u_n)}{10(1+u_n)} =\dfrac{2(1-u_n)}{5(1+u_n)} =\dfrac{2}{5}\times\dfrac{1-u_n}{1+u_n} =\dfrac{2}{5}\times v_n } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\in\N,\;v_{n+1}=\dfrac25\,v_n}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } {(v_n)_{n\in\N} }$ est une suite géométrique de raison $\overset{ { \white{ . } } } {q=\dfrac25. }$

2. c) Le terme général de la suite $\overset{ { \white{ . } } } {(v_n)_{n\in\N} }$ est $\overset{{\white{.}}}{v_n=v_0\times q^{n}}$ .
Donc, pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ de $\overset{ { \white{ . } } } { \N,\; v_n=1\times \left(\dfrac25\right)^{n} }$ , soit $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{v_n=\left(\dfrac25\right)^{n}}\,. }$

3. a) Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ . } } } {u_n=\dfrac{1-v_n}{1+v_n} . }$

$v_n=\dfrac{1-u_n}{1+u_n}\quad\Longleftrightarrow\quad v_n\,(1+u_n)=1-u_n \\\phantom{v_n=\dfrac{1-u_n}{1+u_n}}\quad\Longleftrightarrow\quad v_n+u_n\,v_n=1-u_n \\\phantom{v_n=\dfrac{1-u_n}{1+u_n}}\quad\Longleftrightarrow\quad u_n+u_n\,v_n=1-v_n \\\phantom{v_n=\dfrac{1-u_n}{1+u_n}}\quad\Longleftrightarrow\quad u_n\,(1+v_n)=1-v_n \\\phantom{v_n=\dfrac{1-u_n}{1+u_n}}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{u_n=\dfrac{1-v_n}{1+v_n}}$

3. b) Sur base des questions 2. c) et 3. a), nous déduisons que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ de $\overset{ { \white{ . } } } { \N, }$

$\left\lbrace\begin{matrix}u_n=\dfrac{1-{\red{v_n}}}{1+{\red{v_n}}}\\\overset{ { \white{ . } } } {{\red{v_n}}=\left(\dfrac25\right)^{n}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{u_n=\dfrac{1-\left(\dfrac25\right)^{n}}{1+\left(\dfrac25\right)^{n}}}$

3. c) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ Y. } } } { \lim\limits_{n\to+\infty}u_n. }$

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } {0<\dfrac25<1\quad \Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac25\right)^{n}=0. }$

Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1-\left(\dfrac25\right)^{n}}{1+\left(\dfrac25\right)^{n}}=\dfrac{1-0}{1+0}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1} }$

1 point

exercice 3

Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ deux événements indépendants tels que ${ p(A)=\dfrac12 }$ et ${ p(A\cup B)=\dfrac58. }$
Nous devons calculer $\overset{ { \white{ . } } } { p(B). }$

Les événements $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ sont indépendants.
Donc $\overset{ { \white{ . } } } { p(A\cap B)=p(A)\times p(B). }$

Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)\quad\Longleftrightarrow\quad p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A)\times p( B) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac58=\dfrac12+p(B)-\dfrac12\times p(B) } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac58-\dfrac12=\dfrac12\times p(B) } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac18=\dfrac12\times p(B) } \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{p(B)=\dfrac14 }}$

3 points

exercice 4

La répartition des jetons est donnée par le tableau suivant :

${ \white{ xxi } }$

Bac Maroc 2023 Économie et gestion : image 4

1. a) Parmi les 100 jetons, 64 d'entre eux sont blancs.
La probabilité que le jeton soit de couleur blanche est $\overset{ { \white{ . } } } { p_1=\dfrac{64}{100}=\dfrac{16}{25}. }$

1. b) Parmi les 100 jetons, 34 d'entre eux portent le chiffre 2.
La probabilité que le jeton porte le chiffre 2 est $\overset{ { \white{ . } } } { p_2=\dfrac{34}{100}=\dfrac{17}{50}. }$

1. c) Parmi les 100 jetons, 14 d'entre eux portent le chiffre 2 et sont de couleur blanche.
La probabilité que le jeton porte le chiffre 2 et soit de couleur blanche est $\overset{ { \white{ . } } } { p_3=\dfrac{14}{100}=\dfrac{7}{50}. }$

2. Parmi les 64 jetons blancs, 14 d'entre eux portent le chiffre 2.
La probabilité que le jeton porte le chiffre 2 sachant qu'il est de couleur blanche est $\overset{ { \white{ . } } } { p_4=\dfrac{14}{64}=\dfrac{7}{32}. }$

Remarque : Nous aurions pu trouver le même résultat par le calcul :
${ \white{ WWWWxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { p_4=\dfrac{p_3}{p_1}=\dfrac{\frac{14}{100}}{\frac{64}{100}}=\dfrac{14}{64}=\dfrac{7}{32}\,. }$

3. On considère la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ qui est égale au chiffre porté par le jeton.

3. a) Tableau complété.

${ \white{ WWWWWWW} }$ $\begin{array}{|c|ccc|ccc|}\hline &&&&&&&x_i&&1&&&2& &&&&&&& \\\hline &&&&&&\\p(X=x_i)&&\dfrac{66}{100}&&&\dfrac{34}{100}&\\&&&&&&\\\hline \end{array}$

3. b) Nous devons calculer l'espérance mathématique $\overset{ { \white{ . } } } { E(X) }$ de $\overset{ { \white{ . } } } { X. }$

$E(X)=1\times\dfrac{66}{100}+2\times\dfrac{34}{100}=\dfrac{134}{100}=\dfrac{67}{50}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{E(X)=\dfrac{67}{50}}\,.$

2,5 points

exercice 5

1. Deux calculs de limites.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ . } } } {\quad\lim\limits_{\overset{x\to0}{x>0}}\,\left(\dfrac{1}{x}-\ln x\right)}.$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{\overset{x\to0}{x>0}}\;\dfrac{1}{x}=+\infty\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{\overset{x\to0}{x>0}}\,\ln x=-\infty}\end{matrix}\right. \quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{\overset{x\to0}{x>0}}\;\dfrac{1}{x}=+\infty\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{\overset{x\to0}{x>0}}\,(-\ln x)=+\infty}\end{matrix}\right. \\\\\\\phantom{WWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{\overset{x\to0}{x>0}}\,\left(\dfrac{1}{x}-\ln x\right)=+\infty}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ . } } } {\quad\lim\limits_{\overset{x\to0}{x>0}}\,\left(\dfrac{1}{x}+\ln x\right)}.$

D'une part, $\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{\overset{x\to0}{x>0}}\,\left(\dfrac{1}{x}+\ln x\right)=\lim\limits_{\overset{x\to0}{x>0}}\,\dfrac{1}{x}\left(1+x\ln x\right). }$

D'autre part,

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{\overset{x\to0}{x>0}}\;\dfrac{1}{x}=+\infty\phantom{WWWWWWWWWxW}\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{\overset{x\to0}{x>0}}\,x\ln x=0\quad(\text{croissances comparées})}\end{matrix}\right. \quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{\overset{x\to0}{x>0}}\;\dfrac{1}{x}=+\infty\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{\overset{x\to0}{x>0}}\,(1+x\ln x)=1}\end{matrix}\right. \\\\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{\overset{x\to0}{x>0}}\,\dfrac{1}{x}\left(1+x\ln x\right)=+\infty$
Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\lim\limits_{\overset{x\to0}{x>0}}\,\left(\dfrac{1}{x}+\ln x\right)=+\infty} }$

2. $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ . } } } {\quad\lim\limits_{x\to1}\,\dfrac{\ln x}{x-1}}\,.$

$\lim\limits_{x\to1}\,\dfrac{\ln x}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}\,\dfrac{\ln x-0}{x-1} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{x\to1}\,\dfrac{\ln x}{x-1}}=\lim\limits_{x\to1}\,\dfrac{\ln x-\ln 1}{x-1}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{x\to1}\,\dfrac{\ln x}{x-1}}=f'(1)\quad\text{où }f\text{ est définie par }f(x)=\ln x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{x\to1}\,\dfrac{\ln x}{x-1}}=1\quad\text{car }f'(x)=\dfrac1x\Longrightarrow f'(1)=\dfrac11=1}$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\lim\limits_{x\to1}\,\dfrac{\ln x}{x-1}=1}} }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ . } } } {\quad\lim\limits_{x\to1}\,\left(\dfrac{x}{x-1}\times \ln x\right)}\,.$

$\lim\limits_{x\to1}\,\left(\dfrac{x}{x-1}\times \ln x\right)=\lim\limits_{x\to1}\,\left(\dfrac{\ln x}{x-1}\times x\right) \\\phantom{\lim\limits_{x\to1}\,\dfrac{x}{x-1}\times \ln x))))}=1\times1 \\\phantom{\lim\limits_{x\to1}\,\dfrac{x}{x-1}\times \ln x)))}=1$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\lim\limits_{x\to1}\,\left(\dfrac{x}{x-1}\times \ln x\right)=1} }$

8,5 points

exercice 6

On considère la fonction numérique $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ de la variable réelle $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } {\R }$ par :

$\overset{ { \white{ . } } } {f(x)=1-\dfrac{x}{\text e^x}. }$

1. a) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to+\infty}f(x). }$

$\lim\limits_{x\to+\infty}\left(-\dfrac{x}{\text e^x}\right)=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(-x\,\text e^{-x}\right) \\\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}\left(-\dfrac{x}{\text e^x}\right)}=\lim\limits_{X\to-\infty}X\,\text e^{X}\quad\text{où }\;X=-x \\\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}\left(-\dfrac{x}{\text e^x}\right)}=0\quad(\text{croissances comparées}) \\\\\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}\left(1-\dfrac{x}{\text e^x}\right)=1$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{ \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1} }$

Nous en déduisons que la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (C_f)}$ admet une asymptote horizontale en + infini

d'équation : $\overset{ { \white{ . } } } {y=1. }$

1. b) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to-\infty}f(x) }$ et ${ \lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ . } } } {\quad\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)}\,.$

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}x=-\infty\\\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1}{\text e^x}=+\infty\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x}{\text e^x}=-\infty \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}x=-\infty\\\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1}{\text e^x}=+\infty\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to-\infty}\left(1-\dfrac{x}{\text e^x}\right)=+\infty$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{ \lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty} }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons ${\quad\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}}\,.$

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac1x-\dfrac{1}{\text e^x}}$ .

$\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x}=0\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to-\infty}\text e^x=0^+}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x}=0\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1}{\text e^x}=+\infty}\end{matrix}\right. \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWx}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\dfrac1x-\dfrac{1}{\text e^x}\right)=-\infty}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{ \lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}=-\infty} }$

Nous en déduisons que la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (C_f)}$ admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées au voisinage de - infini

.

2. a) Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x. }$

Pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x, }$

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=\left(1-\dfrac{x}{\text e^x}\right)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'(x)}=-\left(\dfrac{x}{\text e^x}\right)'} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'(x)}=-\left(\dfrac{x'\times\text e^x-x\times(\text e^x)'}{(\text e^x)^2}\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'(x)}=-\left(\dfrac{1\times\text e^x-x\times\text e^x}{\text e^{2x}}\right)}$

${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'(x)}=-\left(\dfrac{\text e^x-x\,\text e^x}{\text e^{2x}}\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'(x)}=-\left(\dfrac{\text e^x(1-x)}{\text e^{2x}}\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'(x)}=-\left(\dfrac{1-x}{\text e^{x}}\right)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=\dfrac{x-1}{\text e^{x}}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\R,\;f'(x)=\dfrac{x-1}{\text e^{x}}}$

2. b) Étudions le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ et dressons le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } { f. }$

Puisque l'exponentielle est strictement positive pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ , le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ est le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { (x-1). }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{matrix}x-1<0\Longleftrightarrow x<1\\\overset{ { \white{.} } } {x-1=0\Longleftrightarrow x=1} \\\overset{ { \phantom{.} } } {x-1>0\Longleftrightarrow x>1}\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&-\infty&&&1&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &&&&&&&\\x-1&&-&-&0&+&+&\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&\\f'(x)&&-&-&0&+&+&\\&&&&&&&\\\hline \end{array}$

Dressons le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } { f. }$

${ \white{ WWWWW} } \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&-\infty&&&1&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &&&&&&&\\f'(x)&&-&-&0&+&+&\\&&&&&&&\\\hline&+\infty&&&&&&1\\f(x)&&\searrow&\searrow&&\nearrow&\nearrow&\\&&&&1-\dfrac{1}{\text e}&&&\\\hline \end{array}$

2. b) Déterminons l'équation de la tangente à $\overset{ { \white{ . } } } {(C_f) }$ au point d'abscisse 0.

L'équation de cette tangente est de la forme $\overset{ { \white{ . } } } {y=f'(0)(x-0)+f(0), }$ soit de la forme $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{y=f'(0)x+f(0)} }$

Or $\left\lbrace\begin{matrix}f(x)=1-\dfrac{x}{\text e^x}\\\overset{ { \white{ . } } } { f'(x)=\dfrac{x-1}{\text e^x}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}f(0)=1-\dfrac{0}{1}\\\overset{ { \white{ . } } } { f'(0)=\dfrac{0-1}{1}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}f(0)=1\\\overset{ { \white{ . } } } { f'(0)=-1}\end{matrix}\right.$

D'où une équation de la tangente à $\overset{ { \white{ . } } } {(C_f) }$ au point d'abscisse 0 est $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{y=-x+1} }$

3. Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { f''(x) }$ pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x. }$

${ \white{ xxi } }$ $f''(x)=\left(\dfrac{x-1}{\text e^{x}}\right)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f''(x)}=\dfrac{(x-1)'\times\text e^{x}-(x-1)\times(\text e^{x})'}{(\text e^{x})^2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f''(x)}=\dfrac{1\times\text e^{x}-(x-1)\times\text e^{x}}{\text e^{2x}}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f''(x)}=\dfrac{\text e^{x}-(x-1)\,\text e^{x}}{\text e^{2x}}}$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f''(x)}=\dfrac{\text e^{x}[1-(x-1)]}{\text e^{2x}}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f''(x)}=\dfrac{1-x+1}{\text e^{x}}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f''(x)}=\dfrac{2-x}{\text e^{x}}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\R,\;f''(x)=\dfrac{2-x}{\text e^{x}}}$

Montrons que la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (C_f)}$ admet un point d'inflexion.

Étudions le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { f''(x) }$
Puisque l'exponentielle est strictement positive pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ , le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { f''(x) }$ est le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { (2-x). }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{matrix}2-x<0\Longleftrightarrow x>2\\\overset{ { \white{.} } } {2-x=0\Longleftrightarrow x=2} \\\overset{ { \phantom{.} } } {2-x>0\Longleftrightarrow x<2}\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&-\infty&&&2&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &&&&&&&\\2-x&&+&+&0&-&-&\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&\\f''(x)&&+&+&0&-&-&\\&&&&&&&\\\hline \end{array}$

Nous observons que $\overset{ { \white{ . } } } { f''(x)}$ s'annule et change de signe en 2.

Dès lors, la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (C_f)}$ admet un point d'inflexion d'abscisse 2.

4. Dans la figure ci-dessous, $\overset{ { \white{ . } } } {(C_f) }$ est la courbe représentative de $\overset{ { \white{ . } } } {f }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta)}$ la droite d'équation : $\overset{ { \white{ . } } } {y=1 }$ dans le repère orthonormé $\overset{ { \white{ . } } } { (O;\vec i;\vec j).}$

Bac Maroc 2023 Économie et gestion : image 5

4. a) Montrons que $\displaystyle\int_{0}^{1} x\,\text e^{-x}\,\text{d}x=\dfrac{\text e-2}{\text e}\,.$

Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_{0}^{1} x\,\text e^{-x}\,\text{d}x. }$

$\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\displaystyle\int_0^{1}u(x)v'(x)\,\text{d}x=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_0^{1}- \displaystyle\int\limits_0^{1}u'(x)v(x)\,\text{d}x}}. \\ \\ \left\lbrace\begin{matrix}u(x)=x\quad\Longrightarrow\quad u'(x)=1 \\\\v'(x)=\text e^{-x}\phantom{}\quad\Longrightarrow\quad v(x)=-\text e^{-x}\end{matrix}\right.$

$\text{Dès lors }\;\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_{0}^{1} x\,\text e^{-x}\,\text{d}x=\left[\overset{}{-x\,\text e^{-x}}\right]_0^{1}-\displaystyle\int_0^{1}1\times(-\text{e}^{-x})\,\text{d}x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWW}=\left[\overset{}{-x\,\text e^{-x}}\right]_0^{1}-\displaystyle\int_0^{1}-\text{e}^{-x}\,\text{d}x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWW}=\left[\overset{}{-x\,\text e^{-x}}\right]_0^{1}-\left[\overset{}{\text e^{-x}}\right]_0^{1}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWW}=(-\,\text e^{-1}-0)-(\text e^{-1}-\text e^0)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWW}=-\,\text e^{-1}-\text e^{-1}+1} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{WWWWWWWW}=-2\,\text e^{-1}+1}$
$\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWWWWW}=1-\dfrac{2}{\text e}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{WWWWWWWW}=\dfrac{\text e-2}{\text e}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\displaystyle\int_{0}^{1} x\,\text e^{-x}\,\text{d}x=\dfrac{\text e-2}{\text e}}$

4. b) Nous devons en déduire l'aire $\overset{ { \white{ . } } } {\mathscr{A} }$ de la partie hachurée.

La partie hachurée correspond à la portion du plan comprise entre la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta)}$ , la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (C_f)}$ , les droites d'équations $\overset{ { \white{ . } } } { x=0}$ et $\overset{ { \white{ . } } } { x=1.}$

De plus, nous remarquons que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in[0\;;\;1],\;1-f(x)=1-\left(1-\dfrac{x}{\text e^x}\right)=\dfrac{x}{\text e^x}>0. }$

Donc sur l'intervalle [0 ; 1], la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta)}$ est au-dessus de la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (C_f).}$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $\mathscr{A}=\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_{0}^{1} (1-f(x))\,\text{d}x} \\\overset{ { \phantom{ . } } }{\phantom{A}= \displaystyle\int_{0}^{1} \Big(1-\left(1-\dfrac{x}{\text e^x}\right)\Big)\,\text{d}x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{A}=\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{x}{\text e^x}\,\text{d}x} \\\phantom{A}=\overset{ { \phantom{ . } } } { \displaystyle\int_{0}^{1} x\,\text e^{-x}\,\text{d}x} \\\phantom{A}=\overset{ { \phantom{ . } } } { \dfrac{\text e-2}{\text e}\;\text{u.a.}} \\\\\Longrightarrow \boxed{\mathscr{A}= \dfrac{\text e-2}{\text e}\;\text{u.a.}\approx0,26\;\text{u.a.}}$

Publié par malou/Panter le 23-04-2024

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