bonsoir voici mon exercice
Exercice 4:
Dans une sphère de rayon 4 cm, on inscrit un cylindre de hauteur h. Les deux bases du cylindre sont des disques de rayon r.
Pour quelle valeur de h le volume du cylindre est-il maximal ?
O le centre du cercle
le centre de la sphère
on a donc
On en déduit et on le reporte dans le volume du cylindre
On a donc une fonction en h que l'on va étudier
j'imagine qu'après on résout l'équation pour obtenir r en fonction de h
r^2 =16 - h^2/4
pi * Racine(16 - h^2/4) h
pi * Racine(16h -h^3/4)
Si c'était juste une question de rigueur. On dérive une fonction, pas un réel. On va chercher le maximum parmi les points où la dérivée s'annule.
Pour quelles valeurs de ?
on isole h puis
16 pi - 3pi h^2/4 = 0
h^2= 64/3
en prenant la racine carrée des deux côtés on a
h= Racine(64/3) = h= 8 Racine(3) / 3
Si le volume du cylindre admet un maximum, ce sera pour . Il reste à vérifier qu'en ce point l'expression change de signe
Quel intérêt ? le plus intéressant est le signe .
un trinôme du second degré est du signe de a sauf entre les racines quand elle existe.
Par conséquent, en
change de signe. étant positf avant et négatif
ensuite admet un maximum en ce point.
et ce que ça serait possible de faire un recap parce que je suis un peu perdue entre les mauvaises réponses et les bonnes
Non puisque
le rayon de la sphère est de 4cm
pour le cylindre la hauteur maximale est de
8racine(3)/3 = 4,62
Le diamètre du cylindre est 2r = 2*8racine(3)/ 3 = 9,24 cm
comparé au diamètre de la sphère
2*4 = 8cm
le diamètre du cylindre ne peut pas rentrer dans la sphère
Résumé
formule du volume du cylindre
relation entre r et h
expression du volume en fonction de seulement
étude de la fonction volume : dérivée nulle en changeant de signe
conclusion
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