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Aire d'un rectangle inscrit dans un triangle isocèle

Posté par
Adrael66 03-09-09 à 22:27

Salut à tous !
Je suis actuellement face à un problème a résoudre et je ne sais pas comment le faire...
Le voici:
Soit un rectangle inscrit dans un triangle isocèle dont la base et la hauteur mesurent respectivement 12 et 10.

Pour quelle valeur de x l'aire du rectangle est-elle maximale?

Ci-joint un schéma.



Merci pour votre aide !!

Aire d\'un rectangle inscrit dans un triangle isocèle

Posté par
Bourricotre : Aire d'un rectangle inscrit dans un triangle isocèle 03-09-09 à 22:33

Bonjour,

Thales ou Pythagore doivent pouvoir t'aider pour calculer l'autre dimension du rectangle en fonction de x

Avec les 2 dimensions , l'étude d'une fonction avec dérivée etc ... te permettra de conclure

Posté par
Adrael66re : Aire d'un rectangle inscrit dans un triangle isocèle 03-09-09 à 22:48

Oui c'est ce que je pense mais je ne vois pas comment faire pour les mettre en oeuvres (je ne suis pas super doué en maths )

Merci de répondre

Posté par
Bourricotre : Aire d'un rectangle inscrit dans un triangle isocèle 03-09-09 à 23:19

En TEr S il serait temps de maitriser Thales , Pythagore et les formules entre dimensions dans un triangle isocèle ! non ?

Posté par
bill159re : Aire d'un rectangle inscrit dans un triangle isocèle 04-09-09 à 02:38

une piste, essaie d'exprimer l'air du rectangle comme étant une fonction a variable x.

Et tu dis pour quel valeur de x, f(x) admet un maximum, simple non,

Si tu a un problème, n'hésite pas!

Posté par
bill159re : Aire d'un rectangle inscrit dans un triangle isocèle 04-09-09 à 02:43

comme le dit Bourricot, tu aura à dériver ta fonction pour établir ses variations et trouver son maximum...

Posté par
bill159re : Aire d'un rectangle inscrit dans un triangle isocèle 04-09-09 à 03:37

Voila comment tu dois faire, soit attentif car ce genre de truc est classique et tu dois le faire bras croisés!

Soit m

la distance entre la partie supérieur du rectangle et le sommet...

Cette partie supérieur du rectangle de longueur x, est parallèle à la base du triangle, donc tu dois maîtriser impérativement Le théorème de Thalès.

\frac{x}{{12}} = \frac{m}{{10}} \Rightarrow m = \frac{{10x}}{{12}}
la nouvelle dimension sera donc 10 - m soit 10 - \frac{{10x}}{{12}}

tu trouves facilement l'aire; l'aire est donc \begin{}{} \\ A = x \times \left( {10 - \frac{{10x}}{{12}}} \right) = x \times \left( {\frac{{120 - 10x}}{{12}}} \right) = \frac{{ - 10{x^2} + 120x}}{{12}} \\ \\ f\left( x \right) =- \frac{5}{6}{x^2} + 10x \Rightarrow f'\left( x \right) = - \frac{5}{6}x + 10


tu a ta fonction, il faut donc la dériver,



Tu résous f'\left( x \right) = 0 pour ma part je trouve que f croit puis décroit, f atteint un maximum, ce maximum est selon mes calculs hum hum je te laisse à toi de jouer!

Fonction croissante à gauche de Max et décroissante à droite de Max...
Sauf distraction bien entendu et sauf influence du sommeil vu l'heure!

Posté par
nounours76re : Aire d'un rectangle inscrit dans un triangle isocèle 05-09-09 à 20:12

salut bill159 j'ai exactement le meme exercice et je ne comprend pas bien ton point m ce que c'est peut tu t'expliquer en détail stp ou faire un schéma..

Merci, sinon belle explication mas je bloque encore..

Posté par
bill159re : Aire d'un rectangle inscrit dans un triangle isocèle 05-09-09 à 22:03

la plus courte longueur rouge est m...

Ne vois tu pas qu'on peut appliquer aisément le th de thalès, (les deux droites bleus sont paralèlles...)

Aire d\'un rectangle inscrit dans un triangle isocèle

Posté par
nounours76re : Aire d'un rectangle inscrit dans un triangle isocèle 05-09-09 à 23:01

ah oui merci je vois mieux là, je pense réussir à me débrouiller avec le reste..

Bonne soirée.

Posté par
bill159re : Aire d'un rectangle inscrit dans un triangle isocèle 05-09-09 à 23:05

de rien et bonne soirée!

Citation :
Match nul français pas déçu?

Posté par
nounours76re : Aire d'un rectangle inscrit dans un triangle isocèle 05-09-09 à 23:16

désolé de redéranger mais je ne comprend pas comment tu passe de l'aire à la fonction f(x)..?

j'ai des énormes trous sur la dérivation c'est fou..

Posté par
bill159re : Aire d'un rectangle inscrit dans un triangle isocèle 06-09-09 à 01:57

l'aire c justement la fonction j'ai multiplié x par 10-m, ayant au préalable trouver m... simple non?

Posté par
bill159re : Aire d'un rectangle inscrit dans un triangle isocèle 06-09-09 à 05:50

un exos du même type :

exo dérivée..

Posté par
nounours76re : Aire d'un rectangle inscrit dans un triangle isocèle 06-09-09 à 12:21

Merci je pense que j'ai compris, mais sinon pour :
F'(x) je pense que c'est F'(x)= -5/3x + 10 et non -5/6x +10. Enfin je crois..

Merci pour tout, bonne journée

Posté par
nounours76re : Aire d'un rectangle inscrit dans un triangle isocèle 06-09-09 à 12:25

si j'ai bon sa me donnerai pour x=6 l'aire du rectangle est maximale..

Posté par
bill159re : Aire d'un rectangle inscrit dans un triangle isocèle 06-09-09 à 20:52

exacte!


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