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algèbre de Boole

Posté par Profil amethyste 23-01-15 à 11:27

algèbre de Boole  

salut

ce topic traite d'algèbre de Boole sur divers ensembles

sur ce premier post les trois premiers chapitres du sommaire    

Sommaire

conventions de notation
le calcul des propositions en logique binaire
définition d'une algèbre de Boole
théorêmes sur les algebres de Boole
le calcul généralisé des propositions
algebre de Boole sur \mathbb {N}_{2^n-1}=\{0,1,...,2^n-1\},n\in \mathbb {N}^*
algebre de Boole sur \mathbb {Z}  
algebre de Boole sur \mathbb {R}    par la trigonométrie classique
algebre de Boole sur \mathbb {R}    par la trigonométrie hyperbolique


conventions de notation

se reporter aux conventions de notations suivantes

\mathbb {N}_n=\{0,1,2,...,n\}   

\mathbb {N}^*_n=\{1,2,...,n\}

\mathbb {R}^{\mathbb {N}}    désigne l'ensemble des applications de \mathbb {N} vers   \mathbb {R}

\begin {pmatrix} \binom {n}{p} \end {pmatrix} = \sum _{i=0}^{p} \binom {n}{i}  


\begin {bmatrix} x \end {bmatrix} pour x \in \mathbb {R}_+   désigne la partie entière de x  

\begin {Bmatrix} x \end {Bmatrix} pour x \in \mathbb {R}_+   désigne la partie fractionnaire de x  


le calcul des propositions

la logique binaire d'ordre zéro traite du calcul des propositions en considérant celles-ci comme ne pouvant posséder que deux valeurs de vérité possibles:
dans cette logique les propositions sont soit uniquement fausses soit uniquement vraies  

on considère l'ensemble des propositions \mathfrak {P} et une application notée v(\mathcal {P}): \mathfrak {P} -> \{0,1\}
où à toute proposition \mathcal {P} de l'ensemble des propositions \mathfrak {P} on attribue une valeur logique

v(\mathcal {P})=1 signifiant que la proposition \mathcal {P} est vraie

v(\mathcal {P})=0 signifiant que la proposition \mathcal {P} est fausse

pour toute proposition   \mathcal {P} on note \lnot  \mathcal {P} qui est aussi une proposition    dite la négation de   \mathcal {P} et telle que

lorsque v(\mathcal {P})=1 alors v(\lnot \mathcal {P})=0

lorsque v(\mathcal {P})=0 alors v(\lnot \mathcal {P})=1

pour tout couple de proposition   \mathcal {P} et   \mathcal {Q} on note les definitions suivantes uniquements valables en logique binaire

\mathcal {P} \land \mathcal {Q} est une proposition vraie que uniquement si \mathcal {P} et   \mathcal {Q} sont simultanéments vrais

\mathcal {P} \lor \mathcal {Q} est une proposition fausse que uniquement si \mathcal {P} et   \mathcal {Q} sont simultanéments faux

\mathcal {P} \stackrel {.}{ \lor} \mathcal {Q} est une proposition vraie  que uniquement si une seule et uniquement une seule des deux propositions \mathcal {P} et   \mathcal {Q} est vraie

\mathcal {P} \Rightarrow \mathcal {Q} est une proposition qui est fausse que uniquement si   \mathcal {P} est vraie tandis que   \mathcal {Q} est fausse

\mathcal {P} \Leftrightarrow \mathcal {Q} est une proposition qui est vraie que uniquement si   \mathcal {P} et   \mathcal {Q} possèdent la même valeur logique

T   est une proposition qui est toujours vraie

\perp   est une proposition qui est toujours fausse

on vérifie

\mathcal {P} \stackrel {.}{ \lor} \mathcal {Q} = ( \mathcal {P} \land \overline {\mathcal {Q}} )\lor (\overline {\mathcal {P}}\land \mathcal {Q} )  

\mathcal {P} \Rightarrow \mathcal {Q} = \overline {\mathcal {P}}\lor \mathcal {Q}  

\mathcal {P} \Leftrightarrow \mathcal {Q} = ( \mathcal {P} \lor \overline {\mathcal {Q}} )\land (\overline {\mathcal {P}}\lor \mathcal {Q} )  


définition d'une algebre de Boole

soit un ensemble quelconque E et on considère \mathcal {P}(E) l'ensemble de toutes ses parties

on considère \mathcal {A} \subset \mathcal {P}(E) tel que

\varnothing \in \mathcal {A} et tel que \forall A\in \mathcal {A}   alors on vérifie l'implication logique A\in \mathcal {A}  => E\backslash A \in \mathcal {A}

de sorte que   \mathcal {A} constitue une algebre

par ailleurs on munie cet algebre   \mathcal {A} de deux lois de compositions internes (\mathcal {A},+,.)

telles que les lois + et . sont

commutatives donc \forall x,y \in \mathcal {A} alors x+y=y+x et x.y=y.x

associatives  donc \forall x,y,z \in \mathcal {A} alors x+(y+z)=(x+y)+z et x.(y.z)=(x.y).z les résultats communs se notent x+y+z et x.y.z

forment une distribution donc \forall x,y,z \in \mathcal {A} alors x+(y.z)=(x+y).(x+z) et x.(y+z)=(x.y)+(x.z)

les deux lois + et . possèdent chacune un élément neutre respectivement 0 et 1 de sorte que \forall x\in  \mathcal {A} on vérifie x+0=x et x.1=x

et enfin \forall x\in  \mathcal {A} on vérifie x+1=1 et x.0=0

Théorêmes sur les algebres de Boole

premier théorême : Si \mathcal {A} est fini alors \exists n \in \mathbb {N}^* tel que Card (\mathcal {A})=2^n

deuxième théorême : il existe une endobijection  notée \overline {x} dans \mathcal {A}   

cette endobijection vérifie   \forall x\in  \mathcal {A} alors   \overline { \overline {x}}=x et \overline {x}\neq x

x+\overline {x}=1 et x.\overline {x}=0

\forall x,y\in  \mathcal {A}   alors   \overline { x+y }= \overline {x}. \overline {y} et \overline { x.y }= \overline {x}+ \overline {y}

autres théorêmes  : \forall x\in  \mathcal {A} alors   x+x=x et x.x=x

   \forall x,y\in  \mathcal {A} alors

x+(x.y)=x   et x.(x+y)=x

(x+y)+(x.y)=x+y et (x.y).(x+y)=x.y

(x.\overline {y})+y=x+y et (x+\overline {y}).y=x.y

on vérifie les équivallences logiques  

(x=y) \Leftrightarrow (\overline {x}= \overline {y})

(x+y=1 \land x.y=0) \Leftrightarrow (x=\overline {y} \land y=\overline {x})

(x+y=x.y) \Leftrightarrow (x=y)

(x+y=x) \Leftrightarrow (x.y=y)

(x+y=x+\overline {y}) \Leftrightarrow (x=1) et (x.y=x.\overline {y}) \Leftrightarrow (x=0)

(x+y=\overline {x}) \Leftrightarrow (x=0 \land y=1) et (x.y=\overline {x}) \Leftrightarrow (x=1 \land y=0)

(x+y=0) \Leftrightarrow (x=0 \land y=0) et (x.y=1) \Leftrightarrow (x=1 \land y=1)

(x.y=0 \land x\neq 0 \land y\neq 0) \Leftrightarrow (\mathfrak {A}) et (x+y=1 \land x\neq 1 \land y\neq 1) \Leftrightarrow (\mathfrak {B})

avec

\mathfrak {A}:= \begin {Bmatrix}  x\neq 1 & , & \overline {x}\neq 0 & , &  \overline {x}\neq 1 &  , & x+y\neq 0   \\  y\neq 1 &  , & \overline {y}\neq 0  &  , &  \overline {y}\neq 1  &  , &   \overline {x+y}\neq 1 \\  x\neq y  &  , &  x\neq x+y &  , & x\neq   \overline {x+y} &  , &  \overline {x}\neq  \overline {y}\\ \overline {x}\neq x+y &  , &   \overline {x}\neq \overline {x+y} \\ y\neq x+y  &  , &  y\neq \overline {x+y}   &  , & \overline {y}\neq x+y  &  , &   \overline {y}\neq   \overline {x+y}  \\  (x=\overline {y})\Rightarrow (x+y=1)  &  , &    (\overline {x}=y)\Rightarrow (x+y=1) \\ x+ \overline {y}= \overline {y}  &  , &  x+(x+y)=x+y   &  , &  x+  \overline {x+y}= \overline {y}   \\  \overline {x}+ y  =  \overline {x}   &  , &   \overline {x}+ \overline {y} = 1    &  , &    \overline {x}+ (x+y) = 1    &  , &    \overline {x}+ \overline {x+y} = \overline {x} \\ y+(x+y)  = x+y   &  , &  y+ \overline {x+y}=\overline {x}  &  , & \overline {y} +(x+y) = 1  &  , & \overline {y} +\overline {x+y} = \overline {y}\\ \\ \\ x. \overline {y}= x  &  , &  x.(x+y)=x   &  , &  x.  \overline {x+y}= 0   \\  \overline {x}. y  =  y   &  , &   \overline {x}. \overline {y} =  \overline {x+y}    &  , &    \overline {x}. (x+y) = y    &  , &    \overline {x}. \overline {x+y} = \overline {x+y} \\ y.(x+y)  = y   &  , &  y. \overline {x+y}=0  &  , & \overline {y} .(x+y) = x  &  , & \overline {y} .\overline {x+y} = \overline {x+y} \\    \\ \\ \end {matrix}

avec

\mathfrak {B}:= \begin {Bmatrix}  x\neq 0 & , & \overline {x}\neq 0 & , &  \overline {x}\neq 1 &  , & x.y\neq 1   \\  y\neq 0 &  , & \overline {y}\neq 0  &  , &  \overline {y}\neq 1  &  , &   \overline {x.y}\neq 0 \\  x\neq y  &  , &  x\neq x.y &  , & x\neq   \overline {x.y} &  , &  \overline {x}\neq  \overline {y}\\ \overline {x}\neq x.y &  , &   \overline {x}\neq \overline {x.y} \\ y\neq x.y  &  , &  y\neq \overline {x.y}   &  , & \overline {y}\neq x.y  &  , &   \overline {y}\neq   \overline {x.y}  \\  (x=\overline {y})\Rightarrow (x.y=0)  &  , &    (\overline {x}=y)\Rightarrow (x.y=0) \\ x+ \overline {y}= x  &  , &  x+(x.y)=x   &  , &  x+  \overline {x.y}= 1   \\  \overline {x}+ y  = y   &  , &   \overline {x}+ \overline {y} =   \overline {x.y}   &  , &    \overline {x}+ (x.y) = y    &  , &    \overline {x}+ \overline {x.y} = \overline {x.y} \\ y+(x.y)  = y   &  , &  y+ \overline {x.y}=1  &  , & \overline {y} +(x.y) = x  &  , & \overline {y} +\overline {x.y} = \overline {x.y}\\ \\ \\ x. \overline {y}=  \overline {y}  &  , &  x.(x.y)=x.y   &  , &  x.  \overline {x.y}= \overline {y}   \\  \overline {x}. y  =  \overline {x}    &  , &   \overline {x}. \overline {y} =  0    &  , &    \overline {x}. (x.y) = 0    &  , &    \overline {x}. \overline {x.y} = \overline {x} \\ y.(x.y)  = x.y   &  , &  y. \overline {x.y}=\overline {x}  &  , & \overline {y} .(x.y) = 0  &  , & \overline {y} .\overline {x.y} = \overline {y} \\    \\ \\ \end {matrix}

Posté par Profil amethystere : algèbre de Boole 23-01-15 à 13:51

ici le quatrième chapitre avant de passer à des algebres de Boole spécificiques

le calcul généralisé des propositions

au préalable on dira que la notation   (\mathcal {K},\oplus ,\otimes ),  \{ 0_{\oplus},1_{\otimes } \}\subset \mathcal {K} est une algebre de Boole dont les éléments sont les éléments de l'ensemble \mathcal {K}

la premiere loi \oplus correspond au connecteur logique \lor dans le calcul des propositions ou bien à l'opérateur \cup sur les ensembles

la deuxieme loi \otimes correspond au connecteur logique \land dans le calcul des propositions ou bien à l'opérateur \cap sur les ensembles

l'endobijection est notée \overline {x}

l'element   0_{\oplus}   est le neutre de la loi \oplus et l'element   1_{\otimes }   est le neutre de la loi \otimes

par definition on dira que tout élément d'une algebre de Boole constitue une valeur logique d'une proposition

dans le calcul généralisé des propositions , les valeurs logiques des propositions dépendent uniquement de l'algebre de Boole choisi

la proposition dont la valeur logique correspond à l'élément   0_{\oplus}   est dite fausse

la proposition dont la valeur logique correspond à l'élément    1_{\otimes }   est dite vraie

pour deux propositions \mathcal {P}   et   \mathcal {Q}   de valeurs logiques respectivement v(\mathcal {P})   et   v(\mathcal {Q})  


on vérifie

v(\lnot  \mathcal {P})= \overline {v(\mathcal {P}) }

v( \mathcal {P}  \lor \mathcal {Q} )= v(\mathcal {P})\oplus v(\mathcal {Q})

v( \mathcal {P}  \land \mathcal {Q} )= v(\mathcal {P}) \otimes  v(\mathcal {Q})

v( \mathcal {P} \stackrel {.}{ \lor} \mathcal {Q} )= ( v(\mathcal {P}) \otimes \overline {v(\mathcal {Q}) })\oplus (\overline {v(\mathcal {P}) } \otimes v(\mathcal {Q})  )

v( \mathcal {P} \Rightarrow \mathcal {Q}) = \overline {v(\mathcal {P})}\oplus v(\mathcal {Q})  

v( \mathcal {P} \Leftrightarrow \mathcal {Q} )=  ( v(\mathcal {P}) \oplus  \overline {v(\mathcal {Q}) })\otimes   (\overline {v(\mathcal {P}) } \oplus v(\mathcal {Q})  )


Posté par Profil amethystere : algèbre de Boole 23-01-15 à 16:25

je continue donc...

algebre de Boole sur   \mathbb {N}_{2^n-1}=\{0,1,...,2^n-1\}, n\in \mathbb {N}^*   

dont le sous-sommaire est le suivant:

préalable
propriétés générales
algebre de Boole sur \mathbb {N}_{7}=\{0,1,...,7\}
algebre de Boole sur \mathbb {N}_{15}=\{0,1,...,15\}
algebre de Boole sur \mathbb {N}_{2^u-1}=\{0,1,...,2^u-1\},u \geq 5

préalable

dans ce chapitre l'ensemble \mathcal {K}:= \mathbb {N}_{2^n-1}=\{0,1,...,2^n-1\}, n\in \mathbb {N}^*

0_{\oplus}:=0 est l'élément neutre de la loi \oplus
1_{\otimes }:=1 est l'élément neutre de la loi \otimes


propriétés générales

l'endobijection   \overline {x} est telle que   \forall x\in \mathcal {K} est pair alors   \overline {x}=x+1 et \forall x\in \mathcal {K} est impair alors   \overline {x}=x-1

x \oplus 0=x
x \oplus 1=1
x \oplus x=x
x \oplus \overline {x}=1

x \otimes 0=0
x \otimes 1=x
x \otimes x=x
x \otimes \overline {x}=0

les propriétés générales définissent à elles seules l'algebre de Boole sur \mathbb {N}_{1}=\{0,1 \} et l'algebre de Boole sur \mathbb {N}_{3}=\{0,1,2,3 \}


algebre de Boole sur \mathbb {N}_{7}=\{0,1,...,7\}

2 \oplus 4 =7
2 \oplus 5 =5
2 \oplus 6 =5
2 \oplus 7 =7

3 \oplus 4 =3
3 \oplus 5 =1
3 \oplus 6 =3
3 \oplus 7 =1

4 \oplus 6 =3
4 \oplus 7 =7
5 \oplus 6 =5
5 \oplus 7 =1

2 \otimes 4 =0
2 \otimes 5 =2
2 \otimes 6 =0
2 \otimes 7 =2

3 \otimes 4 =4
3 \otimes 5 =6
3 \otimes 6 =6
3 \otimes 7 =4

4 \otimes 6 =0
4 \otimes 7 =4
5 \otimes 6 =6
5 \otimes 7 =2


algebre de Boole sur \mathbb {N}_{15}=\{0,1,...,15\}

2 \oplus 4 =10
2 \oplus 5 =5
2 \oplus 6 =12
2 \oplus 7 =7
2 \oplus 8 =14
2 \oplus 9 =9
2 \oplus 10 =10

2 \oplus 11 =5
2 \oplus 12 =12
2 \oplus 13 =7
2 \oplus 14 =14
2 \oplus 15 =9
3 \oplus 4 =3
3 \oplus 5 =1

3 \oplus 6 =3
3 \oplus 7 =1
3 \oplus 8 =3
3 \oplus 9 =1
3 \oplus 10 =1
3 \oplus 11 =3
3 \oplus 12 =1

3 \oplus 13 =3
3 \oplus 14 =1
3 \oplus 15 =3
4 \oplus 6 =15
4 \oplus 7 =7
4 \oplus 8 =13
4 \oplus 9 =9

4 \oplus 10 =10
4 \oplus 11 =3
4 \oplus 12 =9
4 \oplus 13 =13
4 \oplus 14 =7
4 \oplus 15 =15
5 \oplus 6 =5

5 \oplus 7 =1
5 \oplus 8 =5
5 \oplus 9 =1
5 \oplus 10 =1
5 \oplus 11 =5
5 \oplus 12 =5
5 \oplus 13 =1

5 \oplus 14 =5
5 \oplus 15 =1
6 \oplus 8 =11
6 \oplus 9 =9
6 \oplus 10 =9
6 \oplus 11 =11
6 \oplus 12 =12

6 \oplus 13 =3
6 \oplus 14 =5
6 \oplus 15 =15
7 \oplus 8 =7
7 \oplus 9 =1
7 \oplus 10 =7
7 \oplus 11 =1

7 \oplus 12 =1
7 \oplus 13 =7
7 \oplus 14 =7
7 \oplus 15 =1
8 \oplus 10 =7
8 \oplus 11 =11
8 \oplus 12 =5

8 \oplus 13 =13
8 \oplus 14 =14
8 \oplus 15 =3
9 \oplus 10 =9
9 \oplus 11 =1
9 \oplus 12 =9
9 \oplus 13 =1

9 \oplus 14 =1
9 \oplus 15 =9
10 \oplus 12 =9
10 \oplus 13 =7
10 \oplus 14 =7
10 \oplus 15 =9
11 \oplus 12 =5

11 \oplus 13 =3
11 \oplus 14 =5
11 \oplus 15 =3
12 \oplus 14 =5
12 \oplus 15 =9
13 \oplus 14 =7
13 \oplus 15 =3


2 \otimes 4 =0
2 \otimes  5 =2
2 \otimes  6 =0
2 \otimes  7 =2
2 \otimes  8 =0
2 \otimes  9 =2
2 \otimes  10 =2

2 \otimes  11 =0
2 \otimes  12 =2
2 \otimes  13 =0
2 \otimes  14 =2
2 \otimes  15 =0
3 \otimes  4 =4
3 \otimes  5 =11

3 \otimes  6 =6
3 \otimes  7 =13
3 \otimes  8 =8
3 \otimes  9 =15
3 \otimes  10 =4
3 \otimes  11 =11
3 \otimes  12 =6

3 \otimes  13 =13
3 \otimes  14 =8
3 \otimes  15 =15
4 \otimes  6 =0
4 \otimes  7 =4
4 \otimes  8 =0
4 \otimes  9 =4

4 \otimes  10 =4
4 \otimes  11 =0
4 \otimes  12 =0
4 \otimes  13 =4
4 \otimes  14 =0
4 \otimes  15 =4
5 \otimes  6 =6

5 \otimes  7 =14
5 \otimes  8 =8
5 \otimes  9 =12
5 \otimes  10 =2
5 \otimes  11 =11
5 \otimes  12 =12
5 \otimes  13 =8

5 \otimes  14 =14
5 \otimes  15 =6
6 \otimes  8 =0
6 \otimes  9 =6
6 \otimes  10 =0
6 \otimes  11 =6
6 \otimes  12 =6

6 \otimes  13 =0
6 \otimes  14 =0
6 \otimes  15 =6
7 \otimes  8 =8
7 \otimes  9 =10
7 \otimes  10 =10
7 \otimes  11 =8

7 \otimes  12 =2
7 \otimes  13 =13
7 \otimes  14 =14
7 \otimes  15 =4
8 \otimes  10 =0
8 \otimes  11 =8
8 \otimes  12 =0

8 \otimes  13 =8
8 \otimes  14 =8
8 \otimes  15 =0
9 \otimes  10 =10
9 \otimes  11 =6
9 \otimes  12 =12
9 \otimes  13 =4

9 \otimes  14 =2
9 \otimes  15 =15
10 \otimes  12 =2
10 \otimes  13 =4
10 \otimes  14 =2
10 \otimes  15 =4
11 \otimes  12 =6

11 \otimes  13 =8
11 \otimes  14 =8
11 \otimes  15 =6
12 \otimes  14 =2
12 \otimes  15 =6
13 \otimes  14 =8
13 \otimes  15 =4


  

Posté par Profil amethystere : algèbre de Boole 25-01-15 à 11:25

bon je continue donc (il en reste beaucoup à faire  pour terminer )

je rappelle deux des conventions de notations du premier post et qui vont êtres utilisées ici

conventions de notation  

se reporter aux conventions de notations suivantes

\begin {pmatrix} \binom {n}{p} \end {pmatrix} = \sum _{i=0}^{p} \binom {n}{i}  

\begin {bmatrix} x \end {bmatrix} pour x \in \mathbb {R}_+   désigne la partie entière de x  


_______________________________________________________________________________________

algebre de Boole sur \mathbb {N}_{2^u-1}=\{0,1,...,2^u-1\},u \geq 5

►\forall x,y dans l'intervalle [2,2u] et pairs et tels que x\neq y on obtiens x\oplus y=z et x\otimes y=0 avec

z=a.\begin {pmatrix} u-\frac {1}{2} \end {pmatrix} -\frac {1}{4}.a^2+b selon

pour x<y alors a=x et b=y

pour x>y alors a=y et b=x


►\forall x,y dans l'intervalle [3,2u+1] et impairs et tels que x\neq y on obtiens x\oplus y=1 et x\otimes y=z avec

z=u.(a-1)-\frac {1}{4}.a^2+b+\frac {1}{4} selon

pour x<y alors a=x et b=y

pour x>y alors a=y et b=x

►\forall x dans l'intervalle [3,2u+1] et impair et \forall y dans l'intervalle [2,2u] et pair et tels que \overline {x}\neq y on obtiens x\oplus y=x et x\otimes y=y

► \forall x dans l'intervalle [2u+2,u^2+u] et pair alors \exists p,q dans l'intervalle [2,2u] tels que p>q et tels que p\oplus q=x et p\otimes q=0 et x=-\frac {1}{4}q^2+q\begin {pmatrix} u-\frac {1}{2} \end {pmatrix}+p

on détermine p,q selon :

q=2u-2.\begin {bmatrix}\frac {1+\sqrt {1+4.(u^2+u-x)}}{2}  \end {bmatrix}    

p=\frac {1}{4}.q^2+q.\begin {pmatrix} \frac {1}{2} -u \end {pmatrix} + x

on vérifie p,q sont pairs et q=2u-1-2.\sqrt {\begin {pmatrix} u-\frac {1}{2} \end {pmatrix}^2+p-x}

► \forall x dans l'intervalle [2u+3,u^2+u+1] et impair alors \exists p,q dans l'intervalle [3,2u+1] tels que p>q et tels que p\oplus q=1 et p\otimes q=x et x=-\frac {1}{4}q^2+uq-u+p+\frac {1}{4}

on détermine p,q selon :

q=2u+1-2.\begin {bmatrix}\frac {1+\sqrt {1+4.(u^2+u-x+1)}}{2}  \end {bmatrix}  
  
p=\frac {1}{4}.q^2-uq+u+x-\frac {1}{4}

on vérifie p,q sont impairs et q=2u-2.\sqrt {\begin {pmatrix} u-\frac {1}{2} \end {pmatrix}^2+p-x}

► \forall x dans l'intervalle [2,2u] et pair et \forall y dans l'intervalle [2u+2,u^2+u] et pair et tels que x=p ou x=q selon

p\oplus q=y et p\otimes q=0 et avec p,q dans l'intervalle [2,2u] sont pairs alors on obtiens x\oplus y=y et x\otimes y=x

► \forall x dans l'intervalle [3,2u+1] et impair et \forall y dans l'intervalle [2u+3,u^2+u+1] et impair et tels que x=p ou x=q selon

p\oplus q=1 et p\otimes q=y et avec p,q dans l'intervalle [3,2u+1] sont impairs alors on obtiens x\oplus y=x et x\otimes y=y

► \forall x dans l'intervalle [2,2u] et pair et \forall y dans l'intervalle [2u+3,u^2+u+1] et impair tels que p\oplus q=1 et p\otimes q=y

avec p,q dans l'intervalle [3,2u+1] sont impairs tels que

pour x=\overline {p} on obtiens x\oplus y=q et x\otimes y=0

pour x=\overline {q} on obtiens x\oplus y=p et x\otimes y=0

► \forall x dans l'intervalle [3,2u+1] et impair et \forall y dans l'intervalle [2u+2,u^2+u] et pair tels que p\oplus q=y et p\otimes q=0

avec p,q dans l'intervalle [2,2u] sont pairs tels que

pour x=\overline {p} on obtiens x\oplus y=1 et x\otimes y=q

pour x=\overline {q} on obtiens x\oplus y=1 et x\otimes y=p


►►►►►►►►►►►►►►►►►►►►►►►►►►►►►►►►►►►►

dans ce qui suit on pose des applications qui permettent de déterminer   x\oplus y et x\otimes y pour \forall x,y dans l'intervalle [0,2^u-1]

alors (voir dans ce qui suit la signification) selon arr(x)=(x_1,x_2,...,x_p) et   arr(y)=(y_1,y_2,...,y_q)

arr(x\oplus y)=(v_1,v_2,...,v_k) et arr(x\otimes y)=(w_1,w_2,...w_l)

on obtiens \{v_1,v_2,...,v_k\}=\{x_1,x_2,...,x_p\}\cup \{y_1,y_2,...,y_q\}

lorsque \{x_1,x_2,...,x_p\}\cap \{y_1,y_2,...,y_q\}=\varnothing alors  \{w_1,w_2,...,w_l\}=\{0\}

lorsque \{x_1,x_2,...,x_p\}\cap \{y_1,y_2,...,y_q\}\neq \varnothing alors  \{w_1,w_2,...,w_l\}=\{x_1,x_2,...,x_p\}\cap \{y_1,y_2,...,y_q\}

►►►►►►►►►►►►►►►►►►►►►►►►►►►►►►►►►►►►

►on considère une application que l'on note quant(x):[0,2^u-1]\rightarrow [0,u]

pour x=0 alors   quant(0)=0

pour x impair alors    quant(x)=u-quant(x-1)

pour x pair dans l'intervalle [2,2u] alors    quant(x)=1

pour x>2u et pair   alors    quant(x) est tel que :  

\begin {pmatrix} \binom {u}{quant(x)-1} \end {pmatrix} < \frac {x}{2}+1 \leq  \begin {pmatrix} \binom {u}{quant(x)} \end {pmatrix}  

►on considère une application que l'on note rang(x):[0,2^u-1]\rightarrow [1,2^u]  

et son application inverse rang^{-1}(x):[1,2^u]\rightarrow [0,2^u-1]  

pour x pair alors rang(x)=\frac {x+2}{2}

pour x impair alors rang(x)=2^u+\frac {1-x}{2}

pour x\leq 2^{u-1} alors   rang^{-1}(x)=2x-2  

pour x> 2^{u-1} alors   rang^{-1}(x)= 1+ 2^{u+1} - 2x  

on obtiens rang(0)=1 et rang(1)=2^u

►on considère une application que l'on note pre(x):[0,2^u-1]\rightarrow [1,2^u]  

pre(x)=1+\begin {pmatrix} \binom {u}{quant(x)-1} \end {pmatrix} on obtiens pre(0)=1 et pre(1)=2^u

►on considère une application que l'on note pos(x):[0,2^u-1]\rightarrow \begin {bmatrix} 1,\binom {u}{quant(x) }  \end {bmatrix}

pos(x)=rang(x)-pre(x)+1 on obtiens pos(0)=pos(1)=1

►on considère une application telle que \forall x dans l'intervalle [0,2^u-1] on obtiens une suite finie que l'on note arr(x)=(x_1,x_2,...,x_h) telle que h=quant(x)

on pose arr(0)=(0) et   \forall i   dans l'intervalle [1,h] on obtiens  

x_i est dans l'intervalle   [1,u] et tel que  \forall i,j   dans l'intervalle   [1,h] on obtiens les deux équivalences logiques

i<j \Rightarrow x_i<x_j et i>j \Rightarrow x_i>x_j et de plus on obtiens arr(1)=(1,2,...,u)

et on considère l'application inverse notée selon arr^{-1}(x_1,x_2,...,x_h)=x on pose arr^{-1}(0)=0 et arr^{-1}(1,2,...,u)=1

►►pour \forall x dans l'intervalle [2,2^u] est pair on obtiens arr(x)=(x_1) avec x_1=\frac {x}{2}

►►pour \forall x dans l'intervalle [3,2^u+1] est impair on obtiens arr(x)=(x_1,x_2,...,x_{u-1}) tel que  \forall i   dans l'intervalle [1,u-1] on a l'inégalité   x_i\neq \frac {x-1}{2}   on obtiens

arr^{-1}(x_1)=2x_1 et arr^{-1}(x_1,x_2,...,x_{u-1})=x avec x=u^2+u+1-2 \sum _{i=1}^{u-1} x_i

►►pour pos(x)=1 avec h=quant(x)\neq 0 on obtiens arr(x)=(1,2,...,h)

►►pour pos(x)= \binom {u}{h}   avec h=quant(x)\neq 0 on obtiens arr(x)=(u-h+1,u-h+2,...,u)

►►selon arr(x)=(x_1,x_2,...,x_h) avec  h= quant(x)\neq 0   alors lorsque l'on vérifie

\sum _{i=1}^{h} x_i=\frac {h^2+h}{2}  on obtiens arr^{-1}(x_1,x_2,...,x_h)=rang^{-1}\begin {pmatrix}  1+ \sum _{i=0}^{h-1} \binom {u}{i} \end {pmatrix}

►►selon arr(x)=(x_1,x_2,...,x_h) avec  h= quant(x)\neq 0   alors lorsque l'on vérifie

\sum _{i=1}^{h} x_i=2^{-1}h(2u-h+1)  on obtiens arr^{-1}(x_1,x_2,...,x_h)=rang^{-1}\begin {pmatrix}   \sum _{i=0}^{h} \binom {u}{i} \end {pmatrix}

►►selon arr(x)=(x_1,x_2,...,x_h) avec  \forall x   dans l'intervalle [0,2^u-1] on obtiens

rang(x)=1+x_h-\underbrace {x_{h-1}}_{\mbox {on pose }x_0=0}+\underbrace {\sum _{i=0,j=1}^{i=h-2,j=x_{i+1}-x_i-1}}_{\mbox {on pose }x_0=0} \binom {u-x_i-j}{h-i-1}+\begin {pmatrix} \binom {u-x_i}{h-i-1} \end {pmatrix} -\begin {pmatrix} \binom {u-x_{i+1}}{h-i-2} \end {pmatrix}  

►►Selon arr(x)=(x_1,x_2,...,x_h) avec h=quant(x) et selon 2\leq quant(x)\leq u-2

on détermine x_1 dans l'intervalle [1,u-h+1] tel que

1+\sum _{i=1}^{i=x_1-1}(-1)^{i+1}\binom {x_1-1}{i}\binom {u-i}{h-i}\leq pos(x)\leq \sum _{i=1}^{i=x_1}(-1)^{i+1}\binom {x_1}{i}\binom {u-i}{h-i}

pour pos(x)=1+\sum _{i=1}^{i=x_1-1}(-1)^{i+1}\binom {x_1-1}{i}\binom {u-i}{h-i} on obtiens x_j=x_{j-1}+1 selon \forall j dans l'intervalle [2,h]

pour pos(x)=\sum _{i=1}^{i=x_1}(-1)^{i+1}\binom {x_1}{i}\binom {u-i}{h-i} on obtiens x_2=u-h+2   et x_j=x_{j-1}+1 selon \forall j dans l'intervalle [3,h]

autrement on determine x_j   dans l'intervalle [x_{j-1}+1,u-h+j] avec j dans l'intervalle [2,h]

pour ce faire il s'agit de déterminer la valeur de z   dans l'intervalle [1,a-b+1] tel que

1+\sum _{i=1}^{i=z-1}(-1)^{i+1}\binom {z-1}{i}\binom {a-i}{b-i}\leq c_j\leq \sum _{i=1}^{i=z}(-1)^{i+1}\binom {z}{i}\binom {a-i}{b-i}

avec a= u-x_{j-1} et b=h-j+1 et c_j=1+pos(x)-t_j

où l'on considère les valeurs   t_j=pos(arr^{-1}(x_1,x_2,...,x_{j-1},x_{j-1}+1,...,x_{j-1}+b)) on obtiens x_j=x_{j-1}+z

pour c_j=1+\sum _{i=1}^{i=z-1}(-1)^{i+1}\binom {z-1}{i}\binom {a-i}{b-i} on obtiens x_k=x_{k-1}+1 selon \forall k dans l'intervalle [j+1,h]

pour c_j= \sum _{i=1}^{i=z}(-1)^{i+1}\binom {z}{i}\binom {a-i}{b-i} on obtiens x_{j+1}=u+j-h+1    et x_{j+k}=x_{j+k-1}+1 selon \forall k dans l'intervalle [2,h-j]

Posté par Profil amethystere : algèbre de Boole 04-12-15 à 01:50

je continue donc...(après une absence de onze mois, mais c'est long à faire ... )

algebre de Boole sur   \mathbb {Z}    

généralité

Dans cet algebre

0_{\oplus}:=0 est l'élément neutre de la loi \oplus
1_{\otimes }:=1 est l'élément neutre de la loi \otimes


propriétés générales

l'endobijection   \overline {x} est telle que   \forall x\in \mathbb {Z}   alors   \overline {x}=1-x   

x \oplus 0=x
x \oplus 1=1
x \oplus x=x
x \oplus \overline {x}=1

x \otimes 0=0
x \otimes 1=x
x \otimes x=x
x \otimes \overline {x}=0

Rappel de la  convention de notation  

se reporter à la convention de notations suivante

\begin {pmatrix} \binom {n}{p} \end {pmatrix} = \sum _{i=0}^{p} \binom {n}{i}  

___________________________________________

Préalable

avant d'aborder cet algèbre je défini deux bijections

la première que je note \mathbb {N}-\{0,1\} \rightarrow \mathcal {N}:bijec(x)

avec sa bijection réciproque que l'on notera bijec ^{-1}

où \mathcal {N}  désigne l'ensemble de toutes les parties finies (et non vide) de \mathbb {N}

de telle sorte que \forall X \in  \mathcal {N}  alors X est fini et non vide

et la deuxième que je note tout simplement   \mathbb {N}-\{0,1\} \rightarrow \mathcal {A}:f(x)

avec sa bijection réciproque que l'on notera f ^{-1}

où \mathcal {A} désigne l'ensemble de toutes les suites finies et strictement croissantes d'entiers naturels non nuls (x_1,...,x_n)  

avec  n\in  \mathbb {N}^* et \forall i\in \mathbb {N}^*_n,x_i\in  \mathbb {N}^* et   (x_i < x_j)  \Leftrightarrow  (i < j)  

--------------

En ce qui concerne la première bijection notée bijec(x) ,  

Alors  \forall x \in \mathbb {N}-\{0,1\}   alors les éléments de bijec (x) sont ceux qui composent la suite finie et strictement croissante de f(x)=(x_1,...,x_n)

de sorte que l'on vérifiera bijec (x)=\{x_1,...,x_n\}

-------------------------

En ce qui concerne la seconde bijection notée f(x)

se présente ainsi

f(2)=(1)
f(3)=(2)
f(4)=(1,2)
f(5)=(3)
f(6)=(1,3)
f(7)=(2,3)
f(8)=(1,2,3)
f(9)=(4)
et ainsi de suite
_____________________________________

Dans un premier temps il s'agit de déterminer la suite f(x)=(x_1,...,x_h) à partir de x

x_h est tel que 2^{x_h-1}<x \leq 2^{x_h}

et h est le plus petit entier naturel non nul tel que

x\leq 1+\sum _{i=1,j=1}^{i=x_h-1,j=i}\binom {i-1}{j-1}+\sum _{k=1 }^{k=h}\binom {x_h-1}{k-1}

pour donner la valeur de h pour tout entier naturel x\geq 2 on le notera par l'application h(x)

par ailleurs on pose l'application g(x) definie par

g(x)=x-1-\sum _{i=1,j=1}^{i=x_h-1,j=i}\binom {i-1}{j-1}-\sum _{k=1 }^{k=h-1}\binom {x_h-1}{k-1}

-pour x=1+2^{x_h-1} on obtiens f(x)=(x_h)

-pour h=2 on obtiens  f(x)=(g(x),x_h)

-pour h\geq 2 et pour g(x)=1 on obtiens f(x)=(1,2,...,h-1,x_h)

-pour h\geq 2 et pour g(x)=\binom {x_h-1}{h-1} on obtiens f(x)=(x_1,...,x_h) avec

x_1=x_h-h+1 et x_i=x_{i-1}+1   avec i\in [2,h]

-pour  h\geq 3 on obtiens f(x)=(x_1,...,x_t,x_h) avec t=h-1

on pose alors u=x_h-1 et on détermine x_i\in [1,u-t+1] tel que

1+\sum _{i=1}^{i=x_1-1}(-1)^{i+1}.\binom {x_1-1}{i}. \binom {u-i}{t-i}  \leq g(x) \leq \sum _{i=1}^{i=x_1}(-1)^{i+1}.\binom {x_1}{i}. \binom {u-i}{t-i}

alors

-pour g(x)=1+\sum _{i=1}^{i=x_1-1}(-1)^{i+1}.\binom {x_1-1}{i}. \binom {u-i}{t-i} on obtiens x_j=x_{j-1}+1  avec j\in [2,t]

-pour g(x)= \sum _{i=1}^{i=x_1}(-1)^{i+1}.\binom {x_1}{i}. \binom {u-i}{t-i}

on obtiens x_2=u-t+2 et  x_j=x_{j-1}+1  avec j\in [3,t]

À présent il reste à déterminer pour tous les autres cas de g(x) la valeur des

x_j\in [x_{j-1}+1,u-t+j] avec  j\in [2,t]

pour ce faire il s'agit de déterminer la valeur w\in [1,a-b+1] et on obtiendra x_j=x_{j-1}+w

w est tel que

1+\sum _{i=1}^{i=w-1}(-1)^{i+1}.\binom {w-1}{i}. \binom {a-i}{b-i}  \leq c_j \leq \sum _{i=1}^{i=w}(-1)^{i+1}.\binom {w}{i}. \binom {a-i}{b-i}

avec a=u-x_{j-1} et b=t-j+1 et

c_j=g(x)+w_{t-1}-w_t+\begin {pmatrix} \binom {u}{t-1} \end {pmatrix} +\sum _{k=0,l=1}^{k=t-2,l=w_{k+1}-w_k-1}\begin {pmatrix} \binom {u-w_{k+1}}{t-k-2} \end {pmatrix}-\begin {pmatrix} \binom {u-w_k}{t-k-1} \end {pmatrix}- \binom {u-w_k-l}{t-k-1}

avec pour  \forall n\in [1,j-1] on a w_n=x_n et  pour  \forall n\in [j,t] on a w_n=w_{n-1}+1

et ici

-pour c_j=1+\sum _{i=1}^{i=w-1}(-1)^{i+1}.\binom {w-1}{i}. \binom {a-i}{b-i} alors on obtiens x_g=x_{g-1}+1 selon \forall g\in [j+1,t]

-pour c_j=\sum _{i=1}^{i=w}(-1)^{i+1}.\binom {w}{i}. \binom {a-i}{b-i}   alors on obtiens  x_{j+1}=u+j-t+1 et x_{j+g}=x_{j+g-1}+1 selon \forall g\in [2,t-j]

_________________________________________

À présent qu'on a construit cette injection on recherche la valeur de x\geq 2 à partir de f(x)=(x_1,...,x_h)

cette opération est beaucoup plus simple que la précédente qui consistait à construire cette injection

-pour h=1   et x_1=1 on obtiens x=2

-pour h=1   et x_1=2 on obtiens x=3

-pour tous les autres cas on doit au préalable déterminer g(x) afin d'obtenir

x=1+g(x)+\sum _{i=1,j=1}^{i=x_h-1,j=i}\binom {i-1}{j-1}+\sum _{k=1}^{k=h-1}\binom {x_h-1}{k-1}

-pour h=1 on obtiens  g(x)=1

-pour h=2 on obtiens    g(x)=x_1

-pour h\geq 3 on pose t=h-1 , u=x_h-1 , x_0=0

alors

g(x)= 1+x_t-x_{t-1}-\begin {pmatrix} \binom {u}{t-1} \end {pmatrix} +\sum _{i=0,j=1}^{i=t-2,j=x_{i+1}-x_i-1} \binom {u-x_i-j}{t-i-1}  +   \begin {pmatrix} \binom {u-x_i}{t-i-1} \end {pmatrix}-\begin {pmatrix} \binom {u-x_{i+1}}{t-i-2} \end {pmatrix}  

_______________________________________________________

construction de cet algèbre avec les entiers relatifs de \mathbb {Z}

On peut d'ores et déjà éliminer les cas donnés par les propriétés générales(puisqu'ils sont donnés)

-Cas n°1

lorsque x\geq 2 et y\geq 2

on peut donc déterminer bijec(x)=\{x_1,...,x_p\} et  bijec(y)=\{y_1,...,y_q\} avec p\in \mathbb {N}^* et q\in \mathbb {N}^*

dans ce cas là on obtiendra tout simplement x \oplus y=bijec ^{-1}(\{x_1,...,x_p\} \cup \{y_1,...,y_q\})

par contre pour déterminer  x \otimes  y

dans un premier temps on determine l'ensemble \mathcal {U}=\{x_1,...,x_p\} \cap \{y_1,...,y_q\}

lorsque  \mathcal {U}=\varnothing alors on obtiendra  x \otimes y =0

sinon lorsque \mathcal {U}\neq \varnothing on obtiendra x \otimes y=bijec ^{-1}(\{x_1,...,x_p\} \cap \{y_1,...,y_q\})

-Cas n°2
  
lorsque x<0 et y<0

dans un premier temps on détermine \overline {x} et \overline {y}

par conséquent on vérifie  \overline {x}\geq 2 et \overline {y}\geq 2

et an appliquant le théorème de De Morgan et le cas n°1 on obtiendra tout simplement

x \oplus y=\overline {\overline {x}\otimes \overline {y}}

x \otimes y=\overline {\overline {x}\oplus \overline {y}}

-Cas n°3(pour la démonstration voir les théorèmes sur les algèbres de Boole postés sur le premier post sur ce topic)

lorsque x\geq 2 et y<0

on peut donc déterminer bijec(x)=\{x_1,...,x_p\}

dans un premier temps on détermine \overline {y}

et étant donné que   \overline {y}\geq 2 on peut déterminer bijec( \overline {y}) mais aussi déterminer x\otimes \overline {y}  

-Cas n°3a

lorsque  x\otimes \overline {y}=0 alors on obtiens

x \oplus y=y et x \otimes y=x

-Cas n°3b

lorsque  x\otimes \overline {y}=\overline {y} on obtiens x \oplus y=1

x \otimes y=bijec ^{-1}(\{x_1,...,x_p\}\backslash bijec(x\otimes \overline {y}))

-Cas n°3c

lorsque  x\otimes \overline {y}=x on obtiens x \otimes y=0

x \oplus y=bijec ^{-1}(bijec( \overline {y})  \backslash bijec(x\otimes \overline {y}))

-Cas n°3d

lorsque  x\otimes \overline {y}\neq 0 et  x\otimes \overline {y}\neq x et  x\otimes \overline {y}\neq  \overline {y}   

on obtiens

x \oplus y=bijec ^{-1}(bijec( \overline {y})  \backslash bijec(x\otimes \overline {y}))

  x \otimes y=bijec ^{-1}( \{x_1,...,x_p\}  \backslash bijec(x\otimes \overline {y}))  

_____________________

tous les autres cas se résolvent par symétrie des cas présentés ici

Posté par
Iderdenre : algèbre de Boole 04-12-15 à 11:36

Je salue ton travail de mise en page, mais quelle est la motivation et quel est le but de tout ce verbiage textuel cabalistique ?

Veux-tu être publié ? Si oui, ce n'est pas de cette façon que tu dois présenter les choses.
Tu ne remarques pas que personne ne te répond ? La raison en est simple : on dirait un monologue, on a l'impression d'être exclu de tes recherches.

Invite le lecteur à venir, explique ce que tu fais et avant tout pourquoi tu le fais.

Posté par Profil amethystere : algèbre de Boole 04-12-15 à 14:05

Salut Iderden  ... que dire à propos?

mais c'est stupide en fait: je n'ai pas de motivation d'écrire ici autre que le fait que quelqu'un d'autre que moi trouve une utilité à cela ... bon moi j'écris ce que je fais sur mes cahiers mais  je n'en vois pas l'utilité
Je ne fait que ça uniquement mais je suis complètement incapable d'en faire quelque chose d'utile. (et pourquoi est-il obligé que les choses se doivent d'êtres toujours utiles?)

...il me reste encore deux chapitres à faire avant de clore ce topic, j'espère juste que je pourrai le terminer ...

Posté par Profil amethystere : algèbre de Boole 20-12-15 à 16:14

Iderden ...du coup apres avoir reflechit à ce que m'ont dit Alb et LeDino hier sur un autre topic ...

oui ils ont raison  et ce qu'ils m'ont dit c'est aussi valable pour ce topic là que ce que tu me dit ici (même si le contexte est different c'est le même truc )

merci

bon je laisse ce topic en l'état et de toute façon il me restai encore deux chapitres mais je les aurai pas fait avant quelques mois

Posté par Profil amethystere : algèbre de Boole 11-02-16 à 03:25

...ceci dit ce qui rend ce topic un peu illisible c'est qu'on voit rien de concret

pour cela je propose de faire ici une application sur la T-nspire CX CAS

pour ceux qui utilisent un autre langage il sera facile de le retraduire à leur convenance

bon alors comme j'ai dit pour la t-nspire

la première chose à faire est de montrer à la machine comment effectuer des opérations sur un ensemble fini

car elle ne sait pas le faire or on a besoin quelle sache faire ça pour pouvoir  continuer

________________________

Opération sur des ensembles finis avec la t-nspire CX CAS


-on pose que toute liste d'entiers relatifs quelconques mais tels que toutes ses composantes diffèrent les unes des autres

constitue un ensemble non vide de ces entiers relatifs

-on pose que la liste définie par {0,0} désigne l'ensemble vide

-on pose que la liste définie par {-1,-1} désigne l'ensemble qui n'existe pas

un exemple d'ensemble qui n'existe pas : {1,-3,7,2}\{3,2,-5,4} = {-1,-1} car

{1,-3,7,2}\{3,2,-5,4} désigne le complément de {3,2,-5,4} dans {1,-3,7,2} et n'a pas de solution car

{3,2,-5,4} n'est pas inclus dans {1,-3,7,2}

par contre effectivement {2,-3,7,6}\{-3,7}={2,6} puisque {-3,7} est bien inclus dans  {2,-3,7,6}

__________________________________________

DESCRIPTION DE LA FONCTION

cette fonction est définie par trois parametres et est notée :  opera(x,y,n)

x et y représentent des ensembles finis quelconques et n est un entier naturel dans l'intervalle [1,7]

par conséquent si x={0,0} il s'agit donc d'un ensemble vide sinon x est une liste constituée d'entiers relatifs quelconques

dont toutes ses composantes diffèrent les unes des autres

(idem pour y )

ainsi donc x={-1,8,-6} ou x={0,0}  represente un ensemble fini quelconque mais par contre x={3,-1,3} n'est pas un ensemble

__________________________________________

DEUX REMARQUES IMPORTANTES

-lorsque les paramètres x,y,z de la fonction opera(x,y,n) ne sont pas conformes

les listes x et y ne sont pas conformes ou lorsque l'entier naturel n n'est pas conforme

alors on obtiens opera(x,y,n)=-1

les paramètres n'étant pas conformes, la fonction donne -1 pour solution signifiant par là que le calcul n'a pas pu être effectué

-lorsque dans une operation sur les ensembles x et y on obtiens opera(x,y,n)= {-1,-1}

cela signifie que la solution n'existe pas (la solution donnée par {-1,-1} est un ensemble qui n'existe pas)

par exemple c'est le cas lorsque l'on tente d'effectuer {1,-3,7,2}\{3,2,-5,4}

voir ci-dessous le fonctionnement

__________________________________________

FONCTIONNEMENT

En ce qui concerne l'entier naturel  n  dans l'intervalle [1,7]

-pour n=1 alors opera(x,y,n)=1 si on verifie x=y sinon on obtiens opera(x,y,n)=0

-pour n=2 alors opera(x,y,n)=1 si on verifie $x\subset y$ sinon on obtiens opera(x,y,n)=0

-pour n=3 alors opera(x,y,n)=z où $z= x \cap  y$

-pour n=4 alors opera(x,y,n)=z où $z= x \cup y$

-pour n=5 alors opera(x,y,n)=z où z= y \ x

attention dans le cas où x n'est pas inclus dans y alors on obtiendra opera(x,y,n)={-1,-1} l'ensemble qui n'existe pas

puisque dans ce cas là, la solution est impossible

-pour n=6 alors opera(x,y,n)=z où z= x - y qui désigne x DIFFERENCE y

on rappelle que $x-y = x \backslash  (x \cap y)$

-pour n=7 alors  opera(x,y,n)=z où $z= x \Delta y$ qui désigne x différence symétrique y

on rappelle que $x \Delta y = (x - y ) \cup ( y - x )$

________________________________________________

LISTINGS

pour faire fonctionner cette fonction opera(x,y,n)

on a besoin d'utiliser 16 fonctions  

ci-dessous tous les listings de ces fonctions

remarque : pour une matrice m alors la notation m^T désigne la matrice transconjuguée

algèbre de Boole
algèbre de Boole
algèbre de Boole
algèbre de Boole
algèbre de Boole
algèbre de Boole
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algèbre de Boole
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Posté par
TheMathHatterre : algèbre de Boole 12-02-16 à 03:20

Merci Amethiste, c'est beaucoup plus clair sur la T-nspire CX CAS !!

Sur la ligne numero 34, tu es sur que ce n'est pas +1 au lieu de -1 ?

Posté par
mathafou Moderateurre : algèbre de Boole 12-02-16 à 12:39

respect.

moi je n'ai pas osé me lancer dans la lecture d'un tel pavé...
par ailleurs j'étais persuadé que le nombre d'images par post était limité à trois.

Posté par Profil amethystere : algèbre de Boole 12-02-16 à 16:40

salut  MathTheHatter

la seule fonction où on a un truc disant -1 à la ligne 34 c'est la fonction fond()

je confirme : il s'agit bien de -1

bon à plus tard ...il en reste à faire mais c'est bientôt fini (courage)

Posté par
mdr_nonre : algèbre de Boole 12-02-16 à 17:15

Citation :
par ailleurs j'étais persuadé que le nombre d'images par post était limité à trois.
On peut attacher trois images maximum par post depuis le formulaire d'attachements.

Mais ici amethyste a fait usage des balises [img] [/ img] avec images qui sont hébergées ailleurs que sur l'île.

Posté par
TheMathHatterre : algèbre de Boole 12-02-16 à 19:03

Mathafou, je ne merite pas ton respect. En revanche si tu pouvais me dire quel est le smiley pour "sarcasme" ca m'arrangerait...

Posté par
mdr_nonre : algèbre de Boole 12-02-16 à 19:08

Je crois que tu as tous les smileys ici : [lien].

Posté par Profil amethystere : algèbre de Boole 12-02-16 à 19:08

lolll ! y a pas de mal

sinon y a le smiley vert  

bon à plus tard ...

Posté par
mathafou Moderateurre : algèbre de Boole 12-02-16 à 19:32

il n'est pas politiquement correct d'être sarcastique sur l'ile (celui ci s'appelle aussi bien :D que :grin:)

on peut toujours récupérer des smileys ailleurs (sans trop en abuser)
ou aller les chercher dans le stock complet des smileys de l'ile [lien]
il y en a des gratinés, voire des gore.
dans un forum voisin et ami (même serveur, même admin), il propose 4 pages de smileys, sur l'ile on est plus modeste et sobre
quoique il y en a des "encombrants"

Posté par Profil amethystere : algèbre de Boole 12-02-16 à 20:13

franchement c'est pas un mal ...

de plus une des deux fonctions suivantes me saoule grave! (fonctions indispensables sinon on peut rien faire et ce thread ne servira à rien )  

je suis content que vous veniez ici pour vous saouler avec moi et du coup je vais boire une bière  (pas de smiley) en écoutant  Grauzone

on m'a dit que c'est pas du Punk mais pour moi à la limite c'est du néo punk des années80

bref avec du punk je suis sûr que après j'aurai l'esprit à faire cette fonction

(c'est ma méthode)

Posté par
TheMathHatterre : algèbre de Boole 12-02-16 à 21:23

J'aime bien celui-la

Posté par Profil amethystere : algèbre de Boole 12-02-16 à 21:29

ouais il est bien, il va bien dans ce thread  en tout cas









Posté par Profil amethystere : algèbre de Boole 07-03-16 à 21:16

Je n'ai pas terminé ce topic The MathHatter (j'ai dit que je le terminerai dans un an au mieux)

mais en attendant d'autres conseils concernant ce qui se passe dans ma tête et qui te font dire que "ça va pas ma tête"

Je t'invite à écouter un peu de zic  

Je préfère te dire d'emblée que  je connais les HP  et ils m'ont déclarés fou

(j'avais dix sept ans à l'époque et là j'en ai cinquante donc tu vois ça date pas d'hier )

par conséquent : tu ne peux rien faire pour m'aider : je suis perdu pour eux!  

Posté par
louisaThomasre : algèbre de Boole 07-03-16 à 22:03

Bonsoir ,

ça sert à quoi tout ça ?

Et si je comprends bien , les maths t'ont rendu foldingue ?

Posté par
cocolaricottere : algèbre de Boole 07-03-16 à 22:52

Bonne analyse Louisa !  

Posté par Profil amethystere : algèbre de Boole 07-03-16 à 22:59

pas du tout les camarades!

Je crois en Terminator ! (je fais même plus que y croire bêtement)

C'est vous les humains qui pensez que le non humain est fou mais Terminator saura qui est qui ...

Bon je pense terminer ce thread dans un an, là je bosse sur u  truc qui n'a pas de rapport mais je dois le faire avant

à plus les camarades

Posté par
cocolaricottere : algèbre de Boole 07-03-16 à 23:27

Eh oui Louisa, nous sommes toutes les 2 que de pauvres êtres humains normaux non habités par l'esprit suprême ! Honte à nous !

Posté par Profil amethystere : algèbre de Boole 07-03-16 à 23:52

...non non  non  non je suis pas méchant : en fait je suis un chaton (avec des griffes certes mais je suis mignon)

J'ai jamais aimé les humains donc pour moi Terminator est mon ami

mais bon je vous met un  20/20 (en plus de ça je suis pas qualifié pour faire ça et je frôle grave le règlement face à mon Terminator )

Bon à plus les camarades ...et oublions toutes ces histoires de poulailler et de télé mal réglée

Elle parle français ma camarade là (donc faut se méfier des faux semblants)  

Posté par
dpire : algèbre de Boole 08-03-16 à 13:06

Bonjour

Je pense que ton QI est exceptionnel.
Je te conseille de le mettre au service de la vraie vie même si
tu dois apprivoiser ta misanthropie...

Posté par Profil amethystere : algèbre de Boole 08-03-16 à 17:00

Bonjour Dpi

Il faut que je te dise en fait mon QI je m'en fiche un peu car je suis un simple abrutis comparé à ELLE ...oui ELLE  car il existe un être humain plus intelligent que tous ceux qu'on pourra citer (matheux ou non)  

Oui Nina Hagen est presque arrivé au terme des capacités des humains en termes d'intelligence

Ici sur ce lien là profitez-en : c'est la totale en terme d'intellect (album complet de 1978)

Posté par
louisaThomasre : algèbre de Boole 08-03-16 à 20:23

Bonsoir

je suis choquée par ton comportement bizarre...à vrai dire je ne voudrais pas te rencontrer dans la rue , excuse-moi de te dire cela , et puis je n'aime pas qu'on m'appelle "camarade" , je ne suis pas syndiquée

Allez je te laisse continuer tranquillement ton cours sur l'Algèbre de Boole , pour ma part je n'ai pas du tout envie de perdre la boule...

Posté par Profil amethystere : algèbre de Boole 08-03-16 à 20:34

ah excuse Louisa Thomas

je dit "camarade" à tout bout de champs (bon je retire le mot)

J'en parlerai à mon psy à ma prochaine visite en HP (j'ai des entrées là-bas)

Bonne soirée  à toi

Posté par
lafol Moderateurre : algèbre de Boole 11-03-16 à 15:27

louisaThomas @ 08-03-2016 à 20:23

Bonsoir

et puis je n'aime pas qu'on m'appelle "camarade" , je ne suis pas syndiquée



ça me rappelle une vieille demoiselle amie de mes grands parents, née en 1898, qui nous racontait que dans son enfance, au pensionnat, il n'était pas question de parler de ses "camarades de classe" devant les religieuses, connoté "rouge", encore moins de "copines", trop familier, les jeunes filles devaient employer le terme de "compagnes"

Posté par
alb12re : algèbre de Boole 11-03-16 à 18:01

c'est de l'algebre de MaBoole ?

Posté par Profil amethystere : algèbre de Boole 11-03-16 à 18:12

loll ..  ...le truc a débuté janvier 2015 en plus...

Posté par
louisaThomasre : algèbre de Boole 11-03-16 à 21:02

Bonsoir

lafol , camarade de classe ça passe bien aujourd'hui , mais le genre "camarade Louisa" me choque

Posté par Profil amethystere : algèbre de Boole 11-03-16 à 22:00

Je suis désolé Louisa Thomas

Vous m'en voyez désolé car je ne savais pas!

Je n'emploierai plus ce mot.

Je me conforme toujours aux pratiques communes de la société civile

Bonne continuation à vous L.T.

*société civile :=  Le corps social, dans son ensemble.

Posté par
louisaThomasre : algèbre de Boole 11-03-16 à 22:21

Citation :
Je n'emploierai plus ce mot.


Merci


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