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Complexes et formules d'Euler

Posté par
Sulfurique 25-02-13 à 11:11

Bonjour,
Voici l'exercice :

Citation :
On donne : S = 1 + cosx + cos2x + ... +cosnx
et S' = sinx + sin2x + ... + sinnx

On suppose x \neq 2k\pi (k \in \mathbb{Z})

1. Montrer que S + iS' = \frac{1-e^{(n+1)ix}}{1-e^{ix}}

2. Factoriser e^{\frac{i(n+1)x}{2}} au numérateur de l'expression de S + iS' et e^{\frac{ix}{2}} au dénominateur

3. En déduire une expression de S et S' qui ne fait pas intervenir une somme de n termes.


J'ai réussi la question 1. Voilà ce que j'ai fait pour la question 2 :

S + iS' = \frac{e^{i\frac{(n+1)}{2}x} [e^{\frac{2-i(n+1)x}{2}} - e^{\frac{i(n+1)x}{2}}]}{e^{\frac{x}{2}} [e^{-i\frac{x}{2}} - e^{i\frac{x}{2}]}}

(J'espère que c'est lisible sinon n'hésitez pas à me demander)

Pour la question 3, je suis un peu bloquée. J'ai essayé de simplifier l'expression avec les formules d'Euler, je trouve ceci au dénominateur : e^{\frac{ix}{2}} \times (-2isin(\frac{x}{2})) mais pour le numérateur... je ne vois pas comment simplifier.

Merci à la personne qui pourra m'aider !

Posté par
Camélia Correcteurre : Complexes et formules d'Euler 25-02-13 à 11:56

Bonjour

Tu as une erreur au numérateur de S+iS'

1-e^{(n+1)ix}=e^{i(n+1)x/2}(e^{-i(n+1)x/2}-e^{i(n+1)x/2})

Posté par
Sulfuriquere : Complexes et formules d'Euler 25-02-13 à 15:05

Bonjour,

Merci pour cette réponse.

Du coup ça marche et j'ai S + iS' = \frac{e^{\frac{i(n+1)x}{2}} \times 2isin(\frac{(n+1)x}{2})}{e^{\frac{ix}{2}} \times (-2isin(\frac{x}{2}))}

Par contre, exprimer S et S' sans une somme de n termes, ça ne me saute pas aux yeux.
A part faire : S = \frac{e^{\frac{i(n+1)x}{2}} \times 2isin(\frac{(n+1)x}{2})}{e^{\frac{ix}{2}} \times (-2isin(\frac{x}{2}))} - iS' mais je suis obligée de revenir à l'expression de iS' de départ, qui inclue une somme de n termes... à moins qu'on puisse l'exprimer autrement ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Complexes et formules d'Euler 25-02-13 à 15:11

A partir de la jolie expression de S+iS' tu peux sortir la partie réelle et la partie imaginaire directement! Simplifie déjà par i puis multiplie en haut et en bas par le conjugué du dénominateur, puis... un peu de persévérance!

Posté par
Sulfuriquere : Complexes et formules d'Euler 26-02-13 à 18:15

J'ai bien peur de m'embrouiller dans mes propres calculs... au secours ^^' Voilà ce que j'ai fait :

Complexes et formules d\'Euler
Complexes et formules d\'Euler

Posté par
Camélia Correcteurre : Complexes et formules d'Euler 26-02-13 à 18:21

Je ne me sens pas le courage de lire... mais ça me parait trop compliqué!

Les résultats sont

S=\dfrac{\sin(n+1)x/2\,\cos(nx/2)}{\sin(x/2)}

S'=\dfrac{\sin(n+1)x/2\,\sin(nx/2)}{\sin(x/2)}

Posté par
Camélia Correcteurre : Complexes et formules d'Euler 26-02-13 à 18:23

Manque de parenthèses:

S=\dfrac{\sin((n+1)x/2)\,\cos(nx/2)}{\sin(x/2)}
S'= \dfrac{ \sin((n+1)x/2)\ \sin(nx/2)}{\sin(x/2)}

Posté par
Sulfuriquere : Complexes et formules d'Euler 26-02-13 à 18:32

Ben... j'ai commencé par transformer les e^{iX} en cos(X) + isin(X) et après j'ai multiplié numérateur et dénominateur par le conjugué et ça me fait une expression super longue...

Posté par
Camélia Correcteurre : Complexes et formules d'Euler 26-02-13 à 18:36

Mais au dénominateur tu ne devrais avoir que -2\sin(x/2)!

Pourquoi tu ne commences pas par multiplier en haut et enn bas par e^{-ix/2}?

Posté par
Sulfuriquere : Complexes et formules d'Euler 26-02-13 à 19:06

En effet, c'est carrément plus simple comme ça... Du coup je trouve ça, par contre j'ai un signe moins au dénominateur :

Complexes et formules d\'Euler

Posté par
Camélia Correcteurre : Complexes et formules d'Euler 27-02-13 à 14:01

Je n'avais pas fait attention, mais ce - disparait parce que quand tu fais S+iS' tu as aussi -\sin((n+1)x/2) au numérateur.

Posté par
Sulfuriquere : Complexes et formules d'Euler 03-03-13 à 16:19

Oui en effet j'avais oublié un - au numérateur, merci beaucoup pour l'aide !


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