Bonsoir.
Pour commencer tu peux regarder A=]0;1]{2}.

Je trouve cette question étonnante en BTS.

A=]0,1]U{2} int(A)=vide car il ne contient pas d'intervalle ouvert je me trompe ? dans ce cas adh(int[A))=vide aussi et  ca fait deja deux ensemble qui sont pareille.
je reformule ma question y a t'il  un ensemble A dont l'interieur ne soit ni un intervalle ni le vide

merci encore

Bonjour,

Pour ta question subsidiaire, il suffit de prendre deux intervalles disjoints. Ainsi l'intérieur n'est pas un seul intervalle ouvert. Pour la question de ton exercice, très honnêtement je ne vois pas.

je ne comprend pas ? 2 intervalles disjoint ,par exemple [1,2]U[3,4[ leur interieur ]1,2[U]3,4[ qui est un intervalle (union) quand on  fait l'adherence on a [1,2]U[3,4] et si on fait l'interieur encore une fois on reviens a  ]1,2[U]3,4[ et ca fait deja deux ensemble pareille desole de ne pas etre clair dans ma question je reformule donc voila :

y a t'il  un ensemble A dont l'interieur ne soit ni un intervalle ni une union d'intervalles ni le vide  avoir un exemple de ce genre va beaucoup m'aider pour resoudre cet exercise merci de votre aide

bonjour (ici A est une partie de R munit de la topologie usuelle)


je cite "mais je voudrais savoir une chose : l'interieur d'une parti de R est_elle toujours un intervalle ouvert  ? si c'est le cas donc construire cette partie A est impossible car si int(A)=]a,b[ donc adh(int(A))=[a,b] int(adh(int(A)))=]a,b[ (a,b dans R)et ca fait deux ensemble non distinct "

-admettons que A soit non vide et non singleton et selon
*A=[a,b] est un fermé alors int(A)=]a,b[ est un ouvert et cela signifie  donc que A=adh(int(A))
dans ce premier cas int(A)=]a,b[ est un ouvert et on ne peut pas construire A à cause de l'égalité A=adh(int(A))

**A=]a,b] est un ouvert alors int(A)=]a,b[ est un ouvert et cela signifie  donc que adh(int(A))=[a,b] n'est pas égal à A et que  int(adh(int(A)))=]a,b[  n'est pas égal à A
dans ce premier cas int(A)=]a,b[ est un ouvert et on peut construire A  

à present à la question l'interieur d'une partie A de R est-elle toujours un intervalle ouvert ?

oui car voyons à present les deux autres options  

1)si A est un singleton alors l'interieur de ce singleton est vide et est donc un ouvert (car l'ensemble vide est un ouvert-et d'ailleurs il est aussi fermé : vide complement de vide = vide)

puisque l'interieur d'un ensemble fini (là A est un singleton est donc fini) est toujours vide

2)si A est vide alors son interieur est vide et est donc un ouvert  

pardon mais vous avez ecrit je cite :""**A=]a,b] est un ouvert alors int(A)=]a,b[ est un ouvert et cela signifie  donc que adh(int(A))=[a,b] n'est pas égal à A et que  int(adh(int(A)))=]a,b[  n'est pas égal à A
dans ce premier cas int(A)=]a,b[ est un ouvert et on peut construire A   "" non l'exo dit que toute les parties doivent etre differentes entre elle pas seulement differente de A dans l'exemple que vous donnez :
int(A)=]a,b[=int(adh(int(A)))=]a,b[ elle ne sont pas comme A mais pareille entre elle donc c'est toujours pas ce que demande l'exo .
d'autre part vous avez dit que l'interieur d'une partie A de R est toujours un intervalle ouvert ou le vide (ou union d'intervalles ouvert ) dans ce cas construire l'ensemble A de l'exo  est impossible . ?

mince vous avez raison!! toutes les parties doivent êtres différentes !! et c'est pas le cas dans le deuxième cas non plus

(pour le étoile deux ** je voulais parler du second cas )



j'en deduis que A n'est pas constructible car là il ne reste plus que les deux autres options 1) et 2) et là

c'est pas possible non plus

moi honnêtement : je dit ça : on peut pas construire A

(j'ai mal lu , je pensais qu'il suffisait que  int(A) et adh(int(A))  et que  int(adh(int(A)))=]a,b[  n'est pas égal à A)

tres bien donc a votre avis y'a pas d'autre option possible donc un tel ensemble A n'existerais pas ca serais une erreur dans l'exo ?

oui mais là mon avis ne compte plus ! JUSTEMENT!

si on vous a donné cet exo c'est qu'il y a bien une solution et que c'est moi qui dit des conneries non ?'

y a quelqu'un là pour ratraper mes conneries là ?

bon là je m'aplatis tres bas! et sans ironie aucune! ...pardon camarades!

salut

considérer l'ensemble

je me trompe peut etre ? mais dans ce cas int(A) est vide  non ?(sinon merci de m'expliquer)
je me repete encore une fois je ne veux pas que vous repondiez a ma place juste une indication
et aussi comment peut_on avoir une partie dont l'interieur ne soit ni vide ni un intervalle merci
(pas grave amethyste pas de quoi s'aplatir)

tu as une union de quatre ensembles ...

tu prends l'intérieur, l'adhérence ...

c'est quoi l'intérieur d'un intervalle ? l'adhérence d'un intervalle ?

pour l'adherence c'est pas un problemme dans ce cas ca donne juste :
[0,2]U[3,4]U{5}
pour l'interieur c'est le plus grand ouvert inclus dans A et la c'est le vide pour la topologie usuel de R biensure

non ...

et tu ne réponds pas à mes questions ... donc j'abandonne ....

pardon vous avez dit c'est quoi l'intérieur d'un intervalle A par exemple:  he bien c'est le plus grand intervalle ouvert inclus dans A  du genre ]a,b[ pour l'adherence d'un intervalle c'est le plus petit intervalle ferme qui le contient comme [a,b] je me trompe ?

ok ....

pour tout intervalle d'extrémités a et b avec a < b l'intérieur est ]a, b[ et l'adhérence est [a, b]


quelle est l'intérieur de Q ? son adhérence ?

interieur de Q est le vide car on peut pas metre d'ouvert dedans et son adherence est R

donc tu as tout pour répondre avec mon exemple ...

ok merci je vais reflechir

pardon pouvez-vous me dire si je me trompe sur l'adherence dans votre exemple normalement adh(A)=[0,2]U[3,4]U{5}

je viens juste de comprendre

mais pour l'interieur ]0,1[U]1,2[ je me trompe ?

à mon avis tu oublie de mettre en union ce que tu viens de donner pour interieur de A avec l'interieur de [3,4] INTER Q

INT (A)= ]0,1[U]1,2[U (l'interieur de [3,4] INTER Q)

int([3,4]inter Q)=int[3,4]inter(int(Q))=]3,4[inter (vide)=vide .
en plus de cela je rapelle que int(AUB)n'est pas egale a (intA)U(int B)

ah mon avis non (Carpediem n'est pas là -evidemment apres ma connerie de tout à l'heure là je vais pas la ramener- mais

int([3,4]intersection  Q) c'est en fait l'ensemble de tous les rationnels (et donc exceptés les irrationnels)  dans l'intervalle ouvert  ]3,4[


tu dit ce qu'est  [3,4]intersection  Q  puis une fois fait tu recherche son interieur

non la je suis sur de moi
int((A)inter(B))=intA inter intB
la A=[3,4] et B=Q
int(A)=]3,4[ et int(Q) = vide
vide inter ]3,4[=vide
et aussi comme vous l'avez dit c'est juste les rationnels de ]3,4[  impossible qu'il contienne un ouvert

oui l'interieur des rationnels Q est vide (le seul ouvert dans Q est vide )

mince!!

bon vraiment désolé...je vais revoir tout ça ...

merci de votre aide j'ai compris

de rien