Bonjour,
La réponse n'est pas constante:
Elle dépend de la répartition des tirages .
a noter aussi que 50 ne donne pas exactement une proportion 2/3 ;1/3.

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Je trouve entre 146 et151

Bonsoir dpi , non non la réponse est en dehors de l'intervalle que tu propose  disons plus à droite de  151

bonjour,

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sans grande conviction, je trouve 166, 67 ...

Bonsoir Leile ... valeur trop elevée

Bonsoir,
je ne vois aucune méthode mathématique pour traiter le problème, j'ai donc fait une simulation.

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En répétant un million de fois l'expérience je trouve qu'après cinquante tirages il y a en moyenne 157,596 litres dans la cuve A.

Bonjour Verdurin , tres bonne approximation , de mon coté j'ai fais également une simulation que j'ai comparé à des calculs qui sont les suivants :

je note  Q_a,k  la quantité de liquide dans A apres l'étape k
Q_b,k  la quantité de liquide dans B apres l'étape k
avec Q_a,0=Q_b,0=100

si on s'interesse à la quantité de liquide dans A , alors ;
on a  Q_a,k=Q_a,k-1 + (5/100).Q_b,k-1
avec une proba de 2/3 , soit on a  Q_a,k-1=0.98.Q_a,k-1  avec une probabilité de 1/3  et donc l'esperance de Q_a,k notée E(Q_a,k)=(149/150).Q_a,k-1 + (1/30).Q_b,k-1. en pssant une nouvelle fois par l'esperance à gauche et à droite de cette égalité on obtient  :
E(Q_a,k)=(149/150).E(Q_a,k-1 )+ (1/30).E(Q_b,k-1) , comme E(Qa,k-1))+ E(Qb,k-1) vaut toujours 200  quelque soit l'etape du processus , alors l'expression precedente est simplifiée plus géneralement  en :
Q_a,n=500/3 - (200/3).(144/150)ⁿ  ( obtenu apres resolution ) , si n = 50  , on trouve  158,07  qui colle bien avec la simulation que j'ai faite

Bonjour à tous,
J'ai fait une étude complète:
Comme 50 ne permet pas une proportion exacte 2/3,1/3 ,observons
le 48 ème coup:
pour les séquences Pile et Face nous étudions
1/FFP
2/FPF
3/PFF
4/32 Fois F puis 12 P (Hypothèse mini )
4/16 fois P puis 32 F (hypothèse majorante)

On obtient pour A
1/149.12
2/149.74
3/150.35
4/139.05
5/160.71

On s'intéresse maintenant aux coups 49 et 50
il ne peut y avoir que : FF, FP,ou PP
Soit 15 valeurs:

Il y a un petit décalage dans mon tableau ,je le donne en détail:

Bonsoir dpi , pas trop compris comment fonctionne ton tableau et comment tu procède

Voir mon  explication de 8h13 .

Bonjour,

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Simulation :

import random

total = 0
for j in range (1,10001):
  A = 100.0
  B = 100.0
  for i in range (1,51):
    r = random.random()
    pile = 1
    face = 0
    if float(r) < 2/3:
      face = 1
      pile = 0
    if face==1 :
      A = A + 0.05*B
      B = 0.95*B
    if pile == 1:
      B = B + 0.02*A
      A = 0.98*A
  total = total + A  
print(total/10000)

Résultat : A contient au final 158 L ... à rien près.

Mon raisonnement est qu'il est impossible au 50 ème coup d'avoir
respecté exactement la proba 2/3 F et 1/3 P/
D'où mon idée de tester sur 48 et d'extrapoler les 2 coups suivants (07/05 9h31)

On peut aussi tester sur 51 et en déduire le coup précédent,ce que
j'ai fait sur ce tableau:
FFP veut dire que les séquences successives sont les mêmes
puis FPF puis  PFF
Ensuite on constate que 34 fois F puis 17 fois P
sera le minimum et par opposition 17 fois P puis 34 fois F le maximum.
J'ai donc obtenu 5 valeurs pour le 51 ème coup
respectant 2/3 F et 1/3 P.
Comme au coup précédent ,il ne peut y avoir que F ou P j'ai déduit ces deux cas.

Des tirages aléatoires donneront des résultats dans cette fourchette ,mais personne ne peut donner une réponse unique

Bonsoir dpi, la, réponse attendue est 158 litres et des poussières,

>flight
Je ne suis pas d'accord ,il ne peut y avoir une seule réponse mais une
fourchette de réponses,il suffit de réaliser l'expérience pour s'en rendre compte d'autant que pour 50
il n'existe pas de 2/3;1/3. Pour  un  aléatoire moyen ,je penche vers 150.
Pour 158 qui est proche de la fourchette haute ,il faut vraiment
un nombre de Pile successifs de l'ordre de 15 au début.
De toute façon on n'aura  soit  33/17 soit 34/16.
Qui  montrera la succession de coups qui donne  158 ?

Voici le tableau complet qui prouve mon raisonnement.
On peut aussi faire un aléatoire pseudo 2/3 1/3 c'est à dire soit 34 F et 16 P dans n'importe quel ordre soit 33 F et 17P

Bonjour dpi .... personnellement je ne comprend pas ton raisonnement que représente FFP, FPF  et PFF  ??

de plus je te confirme que ton resultat final est tres approximatif il n'y a pas plusieurs possibilités mais une seule pour le resultat de l'esperance

As-tu au moins fait l'expérience?
Regarde bien les 50 coups :
FFP sigifie Face Face Pile
FPF Face  Pile Face
PFF  Pile Face F ace
Si tu es capable de me trouver un 158 fais le et tu constateras
que les tirages respectent difficilement  2/3 1/3 au fil des coups.
Je maintiens ma position:
Il est impossible d'avoir une réponse unique *
Ce que prouve mes divers tableaux.

Bonjour
Depuis le départ Flight parle de moyenne ( espérance ) , il l'a révélé récemment
Imod

Merci Imod d'arbitrer cette discussion
Je trouve curieux que la moyenne calculée soit 158.
En effet tu as pu voir que les tirages les plus justes par rapport à deux
Faces pour 1 Pile ,soit FFP ou FPF ou PFF donnent une moyenne de 150.446..
158 est pratiquement impossible sauf avec des tirages qui sont loin de respecter la proba de l'énoncé.
Exemple de 158 tiré par les cheveux (amusez-vous ...)

Je n'arbitre rien du tout , je signalais simplement que le résultat attendu était unique car il s'agissait d'une moyenne

Personnellement j'aurais appliqué 50 fois la matrice de coefficients 2,98/3 ; 0,1/3 ; 0,02/3 ;2,9/3 au couple (A,B)=(100,100) mais je suis nul en proba et peu intéressé .

Imod

Bonjour,
J'aime bien quand un résultat purement mathématique confirme
l'expérimentation et réciproquement .
Quand l'écart est faible ,il s'agit en général de petits paramètres.
Ici *,j'aimerai qu'un sachant trouve pourquoi ...

*mes divers résultats de la semaine.

Bonjour,

La réponse (espérance) demandée est évidemment unique.

Avec une proba de 2/3, on a : A(n+1) = A(n) + 0,05*(200-A(n))
Soit A(n+1) = 0,95.A(n) + 10

Avec une proba de 1/3, on a : A(n+1) = 0,98.A(n)

Donc, en moyenne on aura :

A(n+1) = [2 * (0,95.A(n) + 10) + 1 * 0,98.A(n)]/3

A(n+1) = (2,88.A(n) + 20)/3
Avec A(0) = 100

On trouve facilement (par exemple avec un tableur) que :

A(50) = 158,0076...

Ce qui est confirmé par la simulation de mon message du  07-05-24 à 20:12

Rebonjour,

Il me semble que ce qui perturbe dpi est qu'il est impossible qu'une "expérience" donne comme résultat 158,0076 ...

Mais cela n'est pas nécessaire pour que l'espérance demandée soit bien de 128,0076...

Rappel piqué sur wiki :  

En théorie des probabilités, l'espérance mathématique (ou tout simplement espérance, ou premier moment) d'une variable aléatoire réelle est, intuitivement, la moyenne des valeurs obtenues si l'on répète un grand nombre de fois la même expérience aléatoire. Étant donné que c'est une moyenne, il se peut qu'elle ne soit pas dans les valeurs réalisables, et donc ce n'est pas forcément une valeur que l'on s'attend à trouver durant une expérience.
*********
Il ne peut pas être question "d'arranger" les chutes de dès dans une expérience pour tomber sur un résultat que l'on juge crédible.

L'espérance demandée est la moyenne des résultats obtenus sur un très grand nombre d'expériences (de 50 lancers) ... sans trafiquer de quelque manière que ce soit les résultats des dès en cours des expériences individuelles. Cette moyenne est de 158,0076... même si il est impossible d'obtenir cette valeur comme résultat d'une expérience.

Zut, dans mon message précédent, lire :

Mais cela n'est pas nécessaire pour que l'espérance demandée soit bien de 158,0076...

Merci candide2

Je ne demande que deux choses:
1/Pourquoi en simulant le tirage "idéal" FFP* jusqu'au 50ème coup
on  trouve  151.64 ce qui est 4 % en dessous de l'espérance.
2/sans chercher  158.0076 mais une valeur entre 157.5 et 158.5
quelqu'un  pourra-t-il me donner la séquence des P ou F correspondante?

*FFPFFPFFPFFPFFPFFPFFP  etc ...

As-tu déjà rencontré le français moyen , mi homme mi femme , un tiers blond , deux-tiers brun ...

Imod

Ce n'est pas sympa de te moquer d'un octogénaire qui ne demande que de comprendre pourquoi  une espérance et si éloignée
de 95 % des cas rencontrés
Avec les tendances actuelles ,je suis sûr que ton trans bi-capillaire
existe ....il suffit d'aller dans une rave.

Bonjour,

Je ne sais pas ce que tu cherches dpi, il n'y a rien de sorcier.

Par exemple, si on fait une épreuve en imposant des séries de FFP, on arrive au 50 ème tirage à A final = 160,4847...
(Voir par exemple sur mon dessin, partie gauche).

Si on se contente de modifier le 50 ème tirage (partie droite dans le fond de mon dessin), on arrive à A final = 155,2368...

Et la moyenne de ces 2 épreuves est (160,4847 + 155,2368)/2
= 157,86...
Soit donc très près de la valeur théorique pour l'espérance (158,007), écart d'environ 0,1 %

C'est très loin des valeurs  que tu avances.

Enfin ,merci candide 2 qui m'a fait comprendre mon erreur.
il suffit de voir  ma réponse au même cas colonne jaune 10/05 6h59.
Ma formule qui commence bien a dérivé *dès le coup 2
*mauvaise parenthèse.
Dommage qu'un correcteur ne l'ait pas vu ,ce qui aurait coupé court
au  "débat".
Je présente donc mes excuses à tous ceux qui m'ont répondu.
Ma remarque reste valable :

@Dpi  : je ne me moque pas , j'ajoutais simplement un peu d'humour . J'aurais pu compléter avec la forme des pieds , le groupe sanguin , les musiques préférées , ...

Le français moyen est un monstre

Pour ce qui est des corrections , c'est ingrat et jamais facile surtout quand tous les éléments ne sont pas exposés .

Imod

Tout est bien qui finit bien ok pour 158

J'ai aussi été perturbé par la proba 2/3;1/3 qui n'est pas
applicable exactement à 50 ;   (0.33 et 0.17 ou 0.34 et 0.16) au

Tu restes toujours coincé sur les nombres décimaux qui ne sont qu'une infime minorité des nombres existants .

Pour moi 25/3 est un nombre comme les autres

Imod

Donc on retourne  100/3 coups Face et 50/3 coups Pile.

Tu lances une pièce équilibrée numérotée 1 sur une face et 3 sur l'autre : en moyenne quel est le numéro de la face visible ? Mais quel est donc ce lancer mystérieux qui réalise cette moyenne

Imod

Pour m'excuser auprès des autres participants je donne mon étude
rectifiée respectant les tirages idéaux principaux:
Mon doute ne m'habite plus.

Bonjour,

Une observation au passage
Si on poursuit l'expérience indéfiniment la contenance de la cuve A  n'atteindra JAMAIS  168 litres .