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Niveau Maths sup
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Courbe et tangences sur une surface

Posté par
Bonjours123
14-07-15 à 14:23

Bonjour,

voici un problème auquel je n'arrive pas à répondre et pour lequel j'espère que vous pourrez m'éclairer...

Soit une surface de révolution d'équation paramétrique $ \phi(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))=(v, r(v) cos(u), r(v) sin(u))$. La fonction $ r(v)$ est connue. Dans l'exemple que je présente, $ r(v)$ est tel que la surface ressemble à une espèce de diabolo... La position de la surface de révolution est bien entendu fixée.

Soient également deux points $ P_0:(x_0,y_0,z_0)$ et $ P_3:(x_3,y_3,z_3)$ n'appartenant pas à la surface dons les coordonnées sont fixée.

Ces points et surface sont représentés (du mieux que j'ai pu le faire...) sur la photo jointe.



Imaginons maintenant que l'on tend une ficelle, une corde, entre $ P_0 $ et $ P_3 $ et en la faisant passer par le diabolo. La courbe décrite par cette corde va entrer en contact de manière tangentielle avec la surface en un point $ P_1:(x_1,y_1,z_1)$. Elle en sortira également de manière tangentielle en un point $ P_2:(x_2,y_2,z_2)$.

La question est la suivante : comment pourrions-nous trouver les coordonnées de points $ P_1 $ et $ P_2 $?

(il faut peut-être imposer d'autres contraintes au problème posé; n'hésitez pas à le faire pour trouver une solution )

Merci pour votre aide!

Courbe et tangences sur une surface

Posté par
Robot
re : Courbe et tangences sur une surface 14-07-15 à 15:04

La partie P_1P_2 est une géodésique sur la surface de révolution, et un outil fondamental pour l'étude de ces géodésiques est l'invariant de Clairaut (voir ici ).



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