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Des p'tites limites !

Posté par
Baal 16-03-11 à 14:42

Bonjour à tous. Je me trouve face à un exercice qui me demande de calculer un peu plus d'une 30ène de limite de logarithme néperien. J'en ai effectué une 20ène mais certaines me posent quelques soucis. L'aide me conseil d'utiliser les limites usuelles de la fonction ln (me les demander si cela pose problème), de la citer et de calculer la limite lorsque cela est possible. Voici les quelques limites :

.lim(xln(1+(1/x))) lorsque x -> + infini

.lim (ln(x+1)-ln(x)) lorsque x -> + infini

.lim (ln(x))/(x²-1) lorsque x -> 1

.lim (ln(x))/(x²-1) lorsque x -> + infini

.lim (ln(x/3))/(x-3) lorsque x -> 3

.lim (((ln(x))²)/x lorsque x -> + infini

.lim ln |(2x+1)/(x-3)| lorsque x -> + infini

.lim (ln(x+1))/(xln(x)) lorsque x -> 0

.lim (1(/x)+ln(x))


Je sollicite votre attention, pour m'aider et me donner des pistes, merci d'avance ! =D

Posté par
mdr_nonre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 14:58

bonjour

1)   un changement de variable    X = 1 + 1/x

ensuite essaye d'utiliser dérivabilité de ln en 1

Posté par
mdr_nonre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 14:59

2) utilise des propriétés de ln

à savoir  ln(a) - ln(b) = ln(a/b)

Posté par
mdr_nonre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 15:04

3) factorise le dénominateur  en utilisant identité remarquable

et comme en 1)  dérivabilité de ln en 1

4) ln(a/b) = ??
tu dois en avoir l'habitude maintenant ...

Posté par
mdr_nonre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 15:11

5) utilise  croissance comparée

ici  faut faire   (ln(x) / x)²

un changement de variable

Posté par
Baalre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 15:17

Merci beaucoup pour ces informations. Cependant, j'ai une petite question. A quoi sert de dérivé ln x en 1 (pour les limites 1 et 3) ?

Par exemple, pour la 1), on obtient si on pose X=1+(1/x) :
lim x ln(X), ce qui donne +infini*0 si on tente une dérivabilité de  ln(X) en 1 non ?

Posté par
Baalre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 15:21

Hmm, j'ai fais une erreur :

Si on pose X=1+(1/x)

alors on a xln(X), x -> +infini et Ln(X) = Ln 2. Donc on a +infini*Ln 2 donc, le tout tend vers +infini ?

Posté par
mdr_nonre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 15:21

si tu poses    X = 1 + 1/x

que vaut alors    x ???



ensuite tu ne peux pas faire de calcul de limite avec plusieurs variable

ici   lim  x ln(X)

quand x tend vers  ... ok

mais  X tend vers quoi ??


Citation :
rappel, une fonction dérivable en a si

lim [f(x) - f(a)]/(x - a) = réel
x a


pour ln en 1

ça donne

4$ \rm \lim_{x \to 1} \frac{ln(x) - ln(1)}{x - 1} = \frac{1}{1} = 1

voilà ce qu'il faut faire apparaitre pour s'en sortir

Posté par
Baalre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 15:26

Citation :
quand x tend vers  ... ok

mais  X tend vers quoi ??


X tend vers 1, non ?

Posté par
mdr_nonre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 15:30

oui   et ensuite ?

comment vas tu rédiger

je te répète  que on ne calcul pas de limite avec deux variables !


je remet la question

X = 1 + 1/x

que vaut   x ???

Posté par
Baalre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 15:32

x = (1+1)/X ?

Sachant que X tend vers 1, alors x=2 ?

Posté par
mdr_nonre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 15:34

lim ln |(2x+1)/(x-3)| lorsque x -> + infini

6) appliques théorème limite fonction rationnelle en l'infini

ensuite déduis la limite

.lim (ln(x+1))/(xln(x)) lorsque x -> 0

7)  écris sous la forme   ln(x + 1)/x * 1/ln(x)

calcul à part  limite   ln(x + 1)/x      et ensuite  1/ln(x)    après produit des deux

Posté par
mdr_nonre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 15:36

Citation :
x = (1+1)/X ?

Sachant que X tend vers 1, alors x=2 ?

non tu écris n'importe quoi


\lim_{x \to +\infty} x.ln\(1 + \frac{ 1 }{x}\)

on pose    X = 1 + 1/x    (x tend toujours vers +inf !!!  , il ne vas pas changer d'un coup)

donc   quand   x +inf      X 1 + 0 = 1


es ce que jusqu'ici   tu arrives à suivre ?

Posté par
mdr_nonre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 15:37

4$ \rm \lim_{x \to +\infty} x.ln\(1 + \frac{ 1 }{x}\)

Posté par
Baalre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 15:40

Oui, jusque là c'est simple, on a donc X qui tend vers 1...

Posté par
mdr_nonre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 15:42

X = 1 + 1/x

donc    X - 1 = 1/x

donc   1/(X - 1) = 1/(1/x) = x

x = 1/(X - 1)


je pense que ici t'es d'accord


AINSI

4$ \rm \lim_{x \to +\infty} x.ln\(1 + \frac{ 1 }{x}\) = \lim_{X \to 1} \frac{ln(X)}{X - 1} = ?

tu comprends ça ??    j'ai remplacé   x    et   1 + 1/x

Posté par
Baalre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 15:49

J'arrive à comprendre oui. Mais i on effectue le calcul de ta dernière limite, on trouve ln(X)=ln(1)=0 et X-1=1-1 = 0, ce qui revient à une F.I du type "0/0"

Posté par
mdr_nonre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 15:52

oui tu comprends ça, mais tu as oublié TOUT ce que j'ai dis plus haut !!!!  :/

Citation :
rappel, une fonction dérivable en a si

lim [f(x) - f(a)]/(x - a) = réel
x a


pour ln en 1

ça donne

4$ \rm \red \lim_{x \to 1} \frac{ln(x) - ln(1)}{x - 1} = \frac{1}{1} = 1

voilà ce qu'il faut faire apparaitre pour s'en sortir

Posté par
Baalre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 15:56

Donc,

lim (ln(X))/(X-1)= lim ((ln(x)-ln(1))/(x-1)=1 ?
X->1               x->1

Posté par
mdr_nonre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 15:59

POURQUOI  CHANGES TU DE VARIABLE ?


c'est   X   qui tend  vers   1

x tend   vers   +inf   !!

4$ \rm \lim_{x \to +\infty} x.ln\(1 + \frac{ 1 }{x}\) = \lim_{X \to 1} \frac{ln(X)}{X - 1} = \lim_{X \to 1} \frac{ln(X) - ln(1)}{X - 1} = 1

Posté par
Baalre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 16:02

Erreur d'écriture, désolé. Je comprends celle-ci. je passes aux autres. Merci beaucoup de m'accorder du temps

Posté par
Baalre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 16:11

Pour la n°2 :

J'utilise la relation ln(a)-ln(b) = ln(a/b) comme tu me l'as conseillé.
J'obtient donc:

lim (ln(x+1))/(ln(x)) = +inf/+inf  C'est une F.I encore, où me suis-je trompé ?
x->+inf

Posté par
Baalre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 16:12

J'ai rien dit xD. Je suis bête !

Posté par
mdr_nonre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 16:13

ln(a) - ln(b) = ln(a/b)

a = x + 1
b = x

Posté par
mdr_nonre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 16:13

^^

Posté par
Baalre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 16:20

Ca fait plutôt,

lim ln ((x+1)/x)= +inf/+inf non ?
x->+inf

Posté par
mdr_nonre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 16:24

non,   il faut que tu apprennes à chercher à lever une indétermination

exemple   (x + 1)/x = x/x + 1/x = 1 + 1/x

y a plus d'indétermination maintenant.

Posté par
Baalre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 16:29

Oui mais c'est pas ln ((x+1)/x), c'est (ln(x+1))/(x)

Posté par
Baalre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 16:31

Non mais ej crois que je suis vraiment débile.... Désolé x)

Posté par
Baalre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 16:45

j'en suis à la 4).

Je trouve donc

(ln(x)-ln(3))/(x-3)=(ln(x))/(x-3) - (ln(3))/(x-3)

Et là je bloque, j'essai de changer l'expression mais à chaque fois je retombe sur une F.I...

Posté par
mdr_nonre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 16:47

RAPPEL

UNE FONCTION EST  dérivable en a

4$ \rm \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \in \mathbb{R}


essaye de retenir ça /  c'est la définition d'une fonction dérivable
aussi appelé taux de variation

ON S'EN SERT TOUT LE TEMPS

Posté par
Baalre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 16:50

Il faut que je calcul sa dérivée ? (je suis coulé)

Posté par
Baalre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 16:52

En calculant je trouve que la limite = -1/3. Est-ce juste ?

Posté par
mdr_nonre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 16:53

On sait  que   x ln(x)   EST dérivable  sur  ]0 ; +inf[

en particulier en x = 3

On sait également que   ln(x)' = 1/x
donc   ln(3)' = 1/3

AINSI

4$ \rm \lim_{x \to 3} \frac{ln(x) - ln(3)}{x - 3} = \frac{ 1 }{3}

tu comprends ?

Posté par
Baalre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 16:54

J'ai juste fait une erreur de signe. Je suis pas si coulé que ça en fait . Cool^^. merci encore !

Posté par
Baalre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 17:06

lim (((ln(x))²)/x lorsque x -> + infini

Peux tu ré expliquer la démarche s'il te plait ? Je n'ai pas tout saisi

Posté par
mdr_nonre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 17:10

On commence par mettre  tout  dans la parenthèse au carré

4$ \rm \frac{(ln(x))^2}{x} = \frac{(ln(x))^2}{\sqrt{x}^2} = \(\frac{ln(x)}{\sqrt x}\)^2


Maintenant   pose   X = x


et calcul la limite de ce qui est entre parenthèse, en te servant d'une limite connue de ton cour

Posté par
Baalre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 17:17

(ln(x))/x -> 0, donc ce qui est entre parenthèse tend vers 0. Mais comment fait-on pour rétablir x au lieu de X ?

Posté par
mdr_nonre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 17:20

rétablir x ??

quand on fait un changement de variable  / il ne faut plus qu'il y ait l'autre variable !

regarde ici :
4$ \rm \lim_{x \to +\infty} x.ln\(1 + \frac{ 1 }{x}\) = \lim_{X \to 1} \frac{ln(X)}{X - 1} = \lim_{X \to 1} \frac{ln(X) - ln(1)}{X - 1} = 1


j'ai fais en sorte de ne plus avoir de (x)  !

4$ \rm \frac{(ln(x))^2}{x} = \frac{(ln(x))^2}{\sqrt{x}^2} = \(\frac{ln(x)}{\sqrt x}\)^2

On va faire pareil

si je pose    X = x

c'est bien, au dénominateur je n'aurais plus de (x)


mais   que   vaut    x ???  exprime x en fonction de   X

Posté par
Baalre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 17:23

x = X² ?

Posté par
mdr_nonre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 17:26

OUI !!

on a donc

4$ \rm \frac{(ln(x))^2}{x} = \frac{(ln(x))^2}{\sqrt{x}^2} = \(\frac{ln(x)}{\sqrt x}\)^2 \\ \\ Soit X = \sqrt x \, alors \\ \\ \(\frac{ln(x)}{\sqrt x}\)^2 = \(\frac{ln(X^2)}{X}\)^2

ici pour rappel

x tend vers +inf

X tend  vers  quoi ??


ensuite, vois tu quelle limite du cours utiliser ?

Posté par
Baalre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 17:29

X tend aussi vers +inf.

Et je pense qu'il faut utiliser la formule usuelle : si x -> +inf, alors (ln(x))/x -> 0

Posté par
mdr_nonre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 17:34

oui

tout simplement

lim ln(x)/x = 0
x vers +inf



ici comment vas t on faire apparaitre ça ?

aide:  ln(a^n) = n.ln(a)

Posté par
Baalre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 17:38

((2.ln(X))/X)² ?

Posté par
Baalre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 17:41

Ve qui donne ( (ln(X))/X + (ln(X)/X )² = (0+0)² = 0 ?

Posté par
mdr_nonre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 17:42

oui

4$ \rm \(\frac{ln(x)}{\sqrt x}\)^2 = \(\frac{ln(X^2)}{X}\)^2 = \(2\frac{ln(X)}{X}\)^2


maintenant le calcul des limites, et plus d'indétermination ..

Posté par
Baalre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 17:46

La limite tend vers 0, c'est ça ?

Posté par
mdr_nonre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 17:52

oui



4$ \rm \(\frac{ln(x)}{\sqrt x}\)^2 = \(\frac{ln(X^2)}{X}\)^2 = \(2\frac{ln(X)}{X}\)^2


On sait que:

4$ \rm \lim_{X \to +\infty} \frac{ln(X)}{X} = 0 \, \Rightarrow \, \lim_{X \to +\infty} 2\frac{ln(X)}{X} = 2\times0 = 0 \\ \\ \Rightarrow \lim_{X \to +\infty} \(2\frac{ln(X)}{X}\)^2 = 0^2 = \lim_{x \to +\infty} \(\frac{ln(x)}{\sqrt x}\)^2

Posté par
Baalre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 17:56

Oui, c'est ce que j'ai noté ! Parfait . Encore une grand merci, avant d'attaquer la 7ème (je ferrai les 2 dernières demain, car je n'ai plus le courage là ^^).

Je comptais commencer par utiliser ln(a/b) = ln(a) - ln(b). C'est un bon début ou c'est inutile ?

Posté par
mdr_nonre : Des p'tites limites ! 16-03-11 à 18:04

ça marchera pas

mais ça fais parti de la phase de recherche   ptetre que ça peut marcher ^^


moi je t'avais proposé plus haut

Citation :
7)  écris sous la forme   ln(x + 1)/x * 1/ln(x)

calcul à part  limite   ln(x + 1)/x      et ensuite  1/ln(x)    après produit des deux

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