Il faut préciser que le DL est cherché aux alentours d'une valeur donnée de x.

Le DL proposé est pour les alentours de x = 1

La série entière est :

ln(x) = (x-1) - (x-1)²/2 + (x-1)³/3 - (x-1)^4/4 + ... + (-1)^(n+1) * [(x-1)^n]/n + ...

Cette série (entière) converge dans l'intervalle ]0 ; 2]
-----
Souvent, on préfère exprimer le développement de ln(1+x) aux alentours de x=0 qui est:

ln(x+1) = x - x²/2 + x³/3 - x^4/4 + ... + (-1)^(n+1) * (x^n)/n + ...
Série qui converge pour x dans ]-1 ; 1]

Et donc DL à l'ordre 2 de ln(1+x) aux alentours de x=0 :
x - x²/2 + 0(x²)
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Sauf distraction.  

salut J-P

ne ne comprends pas, pourquoi ne dit-on pas que le DL de ln(x) en 1 est

ln(x) = (x-1) - (x-1)²/2 + o( (x-1)² ) ?

ce qui me gêne c'est l'apparition des monômes x² dans les (x-1)^n suivants...

tu peux détailler, stp ?

en fait, c'est pour répondre à la question posée du DL de ln(x) en x=1

si on représente ln(x) et qu'on désire son approximation en x=1, c'est :

y = (x-1)-(x-1)²/2 soit

y = -x²/2 + 2x -3/2

qu'il faut donner, non ?

comme le montre cette représentation :

Bonjour

Le développement de ln(x) au voisinage de 1 à l'ordre 2 est bien

(x-1)-(x-1)²/2 +o(x-1)²

par simple application de la formule de Taylor :ln(1)=0, ln'(1)=1, ln"(1)=-1

merci Camélia

... échange de bons procédés!

étonnant de voir la qualité de l'approximation au d° 3



Une question de béotien

il doit être certain que la courbe verte (^3) est plus proche de la rouge (lnx) au voisinage de 1

En revanche, elle semble s'en éloigner plus vite que la bleue, pour x>1

est-ce tjs le cas ?

ma question n'est pas claire

je reformule

on se doute que le DL va approximer la courbe en une abscisse donnée

on peut donc penser que le DL à l'ordre n+1 sera plus proche de la courbe que celui à l'ordre n au voisinage de l'abscisse donnée,

mais également ce DL(n+1) sera plus proche que DL(n) le plus éloigné possible de cette abscisse

est-ce une fausse idée ? l'exemple ci-dessus semble le montrer...

est-ce généralisable ? pour toutes les fonctions ? ça se démontre ?

merci

D'une certaine manière oui... La différence entre la vraie fonction et l'approximation d'ordre n est "en (x-a)ⁿ". tant que x-a est plus petit que 1, (x-a)ⁿ < (x-a)^n-1
mais dès que l'on s'éloigne, la différence en (x-a)ⁿ croit très vite. De plus, ici on est avec une série de rayon 1...

Ton dessin est très instructif, on a souvent du mal à faire comprendre qu'un DL donne une approximation seulement sur un "petit" voisinage. Comme les calculs de majoration d'erreur sont passés de mode, il est bon de voir un tel dessin.

Quelque chose me chagrine néanmoins dans ta f₃



et comme f'''(1)=2, il y a un x³/3

le DL est en (x-1)^3/3 et non sur 6, non ?

j'ai dit une bétise, je crois

Si on applique bêtement la forrmule de Taylor c'est

En revanche pour le comportement lointain, ai-je été assez claire?

oui c'est clair

d'autant que le dessin faux faisait penser à un mauvais raisonnement

avec le bon, la verte est bien plus proche que la bleue

donc, même en s'éloignant, la verte reste quand même plus proche que la bleue qui s'en éloigne la première de la rouge (lnx)

Tant que l'on est près, la verte est plus proche, dès qu'on a dépassé la distance 1, l'écart s'inverse.

merci Camélia

tu peux "vulgariser" cette notion de distance 1 ? en lien avec la notion de "rayon=1" que tu évoquais ?

bien sûr je pourrais me replonger dans un cours, mais si tu savais "le faire sentir", avec des notions simples ?

On voit peut-être mieux ici:

posts croisés, Camélia